一道高考數(shù)列題的說(shuō)題

蔣慶富

摘 要：說(shuō)題，是時(shí)下比較流行的一種針對(duì)解題的研討方式，通過(guò)說(shuō)題，追溯題源，探究解法，歸納解題思想，變式的處理，以及對(duì)相關(guān)題的觸類(lèi)旁通，都有很好的指導(dǎo)意義.

關(guān)鍵詞：說(shuō)；解法；思想；變式

原題：（2013江蘇19）設(shè){an}是首項(xiàng)為a、公差為d的等差數(shù)列（d≠0），Sn是其前n項(xiàng)和. 記bn=，n∈N*，其中c為實(shí)數(shù).

（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；

（2）若{bn}是等差數(shù)列，證明：c=0.

說(shuō)題目立意

本題本質(zhì)是研究一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件，第一問(wèn)考查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算，難度不大.

（1）考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量運(yùn)算；

（2）考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)；

（3）考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；

（4）考查化歸思想；

（5）考查學(xué)生的運(yùn)算能力、分析轉(zhuǎn)化能力和推理論證能力.

說(shuō)題目解法

解法小結(jié)：解法1是用代數(shù)恒等式來(lái)處理，直接將等式兩邊用基本量“翻譯”建立代數(shù)恒等式；解法2是利用等差數(shù)列的通項(xiàng)特征；解法3從一般性入手，先求再證，思路明確，條理清晰；但解法煩瑣. 如果本題使用2bn=bn-1+bn+1來(lái)做，計(jì)算量會(huì)更大.

說(shuō)數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化化歸思想、分類(lèi)討論思想、方程的思想（等式的恒成立問(wèn)題）.

數(shù)學(xué)方法：等差、等比數(shù)列基本量法，特殊化法

說(shuō)試題背景來(lái)源

試題的背景和近幾年江蘇卷的數(shù)列有些不同，之前考查的數(shù)列對(duì)學(xué)生能力層次要求高，入手難. 題目本身其實(shí)是精彩紛呈的. 而2013年的數(shù)列19題設(shè)計(jì)很樸實(shí)，試題真正地源于課本，青菜做出了鮑魚(yú)味！精妙之處在于其問(wèn)題設(shè)計(jì)，似曾相識(shí)，卻別有風(fēng)味. 試題雖然不很難，卻對(duì)學(xué)生的理解和計(jì)算能力考查很到位，這種能力不是學(xué)生一蹴而就的，是需要長(zhǎng)時(shí)間對(duì)數(shù)學(xué)的感悟和理解；并且該題給人以啟迪，耐人尋味. （有興趣的可查2004年的江蘇高考20題，與此題的相關(guān)度極高）

說(shuō)問(wèn)題變式與拓展

問(wèn)題1 變式：若c=0，且Snk=n2Sk（k，n∈N*），那么數(shù)列{bn}中是否存在連續(xù)的3項(xiàng)成等比數(shù)列？

改編意圖：在變式1的方法結(jié)論基礎(chǔ)上將結(jié)論開(kāi)放，探究.

問(wèn)題2 變式：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an>0，k≠0，k∈R，kSn=anan+1，問(wèn)：a1，a2之間滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

改編意圖：改變條件的關(guān)系式，探究結(jié)論成立的條件.

從以上可以看出，只要我們平時(shí)花時(shí)間研究一定的典型題，尤其是高考題，對(duì)拓寬解題思路，歸納總結(jié)解題的方法和思想，從說(shuō)題的主體看，說(shuō)題可分為“教師說(shuō)題”、“教師和學(xué)生互動(dòng)說(shuō)題”和“學(xué)生說(shuō)題”， “教師和學(xué)生互動(dòng)說(shuō)題”和“學(xué)生說(shuō)題”也是復(fù)習(xí)和習(xí)題教學(xué)中一種行之有效的教學(xué)方法. 對(duì)提升自己的教學(xué)專(zhuān)業(yè)水平和學(xué)生對(duì)題目與相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的透徹理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，一定會(huì)有較大幫助. 教師在不同的課堂教學(xué)中要適時(shí)加以應(yīng)用.