反例在近世代數(shù)中的作用和構(gòu)造方法

李永玲++李煜玲

【摘要】在日常的學習和生活中，人們會經(jīng)常因為某一個問題“費盡心機”也還是不得其解，但若是從問題的另一個角度進行反面思考的話，卻能起到意想不到的效果，這種方式就是反例，而且這種方法在數(shù)學的教學過程中最能體現(xiàn)出其精髓。本文將通過簡要介紹近世代數(shù)的概念引出反例的作用，并對反例的構(gòu)造方法進行介紹。

【關鍵詞】近世代數(shù) 反例作用 構(gòu)造方法

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）02-0172-02

引言

近世代數(shù)主要探討的是代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)和構(gòu)造的一門數(shù)學學科，是上世紀初形成的代數(shù)學結(jié)構(gòu)體系，成為當今現(xiàn)代數(shù)學研究分支的基礎，同時也是數(shù)學專業(yè)學生的重要基礎課程之一，但是近世代數(shù)的課程理論較多，并且具有高度的抽象性，學生學習和掌握的效果并不讓人十分滿意，如何提高近世代數(shù)的教學效率和學生學習成績成為數(shù)學教育工作者的重點研究內(nèi)容。構(gòu)造反例是通過否定命題的方式對數(shù)學命題進行說服論證，因而對于數(shù)學命題特別是近世代數(shù)的教學內(nèi)容具有十分重要的意義。

一、近世代數(shù)反例的要點

在數(shù)學中的反例，就是指出某一命題不成立的例子。早在十七世紀，數(shù)學家費馬曾說當n是自然數(shù)的時候就是質(zhì)數(shù)，而后來這一觀點被歐拉以當n為5是質(zhì)數(shù)的反例論證的方式將費馬的觀點予以推翻，由此，后來的人們開始通過對反例的運用來論證觀點的正確與否。

1.反例可以對命題的真假進行判斷。在近世代數(shù)中，有一些數(shù)學命題或者是數(shù)學例子往往通過正面論證很難完成，計算量太大，效率不高而且又浪費時間。而通過用特殊方法或者是特殊值的形式進行檢驗，如果將特殊值進行代入不能夠滿足命題的條件和公式，則能夠說明該近世代數(shù)的命題肯定是不成立的，因此，這種反例的形式十分簡明而且準確。

2.反例可以對概念加深理解。近世代數(shù)是一門抽象性學科，而數(shù)學概念只能通過理解才能加深印象真正掌握，通過反例的形式能夠加深學生對于抽象數(shù)學概念的認識和理解。比如說，對于定理和的乘法來說同態(tài)，如果是群，那么也是群。那么反過來是否也正確呢？我們可以通過反例論證，設={n|不能被3整除的整數(shù)}，={1，-1}，設是到的同態(tài)滿射，那么當時，n被3整除其余數(shù)為1，而若是等于-1時，n被3整除余數(shù)為2，盡管是到的同態(tài)滿射，可以得到和同態(tài)，但是是群，不是群。這樣通過反例的形式能有效加深概念理解。

3.反例可以用來區(qū)分概念性質(zhì)。在近世代數(shù)的學習過程中，會有很多數(shù)學定理非常相似，很難讓人能夠準確區(qū)分，譬如同態(tài)映射和同構(gòu)映射、群同構(gòu)和群同態(tài)、零理想和單位理想等等都是一字之差，很容易讓學生混淆。通過構(gòu)造反例則能夠很清楚地對反例概念進行區(qū)分。比如說，若存在滿射的話，，使b，那么（ab）=（a）（b），是群同態(tài)滿射，和同構(gòu)。若存在雙射的話，，依據(jù)上述條件，（ab）=（a）（b），是群同構(gòu)映射，和同構(gòu)。這就使得對于群和群是同構(gòu)還是同態(tài)的區(qū)別標志就是是否存在滿射或是雙射，通過反例則非常容易進行區(qū)分。假設={[2]，[3]}，B={2，3}，進行映射：，[2]2，[3] 3，那么是到的同構(gòu)映射，就表示和同構(gòu)。

二、近世代數(shù)中構(gòu)造反例的方法

1.否逆構(gòu)造反例法。否逆構(gòu)造法反例的方法是通過否定結(jié)論的方式反過來倒推尋找命題成立的條件，從而進行反例的構(gòu)造。例如：假設有群和群，如果和是同態(tài)，那么和是同態(tài)滿射?？梢詫Υ思僭O進行分析，如果要想使得兩個群同態(tài)的話，那么這兩個群必須是同態(tài)滿射；而如果是這兩個群不同態(tài)的話，那么只需要通過選取一個元素比群少的就可以。由此就能通過反例進行論證，任意選取一個群和另一個群，作映射（n）=1（n），那么就可以稱群到群是同態(tài)滿射，則和也是同態(tài)。這樣通過對近世代數(shù)命題進行否逆構(gòu)造反例的方法來論證命題的真假。

2.逆向構(gòu)造反例法。逆向構(gòu)造反例的方法是通過對結(jié)論的證明成立從而推導命題的成立條件，再對反例進行構(gòu)造。例如：“階是素數(shù)的群就一定是循環(huán)群”的逆命題“循環(huán)群的階一定是素數(shù)”不成立。可以進行分析，如果說逆命題成立的話，那么就說明所有的循環(huán)群的階都是素數(shù)；而如果要使其結(jié)論不成立的話，那么就只需要構(gòu)造一個階是偶數(shù)的循環(huán)群，就能夠?qū)Y(jié)論進行否定了。由此可以通過反例來進行論證，循環(huán)群={[1]，[2]}=（[1]）是一個階為偶數(shù)的群，那么就否定了“循環(huán)群的階一定是素數(shù)”的命題。

3.順向構(gòu)造反例法。順向構(gòu)造反例法是通過遵循否定性原則的基礎上利用符合的條件對結(jié)論進行否定，順著命題的方向來進行反例的構(gòu)造。例如：“有限群的每一個元的階都有限”，其逆命題“每一個元的階都有限的群是有限群”不成立。可以對此進行分析，假設群的每一個元的階都有限，那么就會存在nN使得X的n次方等于e，這樣就使得群成為無限群，n可以取任何值。由此可以進行反例構(gòu)造，假設群包含的x的n次方，x是復數(shù)的話，那么對于群普通乘法作為一個群[5]，單位元等于1?？梢允沟脁的n次方等于1，那么群中每一個元的階都是有限的，但是群是無限群。

三、結(jié)語

綜上所述，對于近世代數(shù)的數(shù)學命題的驗證或者是數(shù)學概念定理的理解，不是對所有的知識點和想法都只能夠是集中在正面生搬硬套地進行解答，特別是對于近世代數(shù)這類非常靈活的學科而言，要嘗試從不同的角度進行思考論證。反例方法對于近世代數(shù)具有重要的作用，因此，在教學過程中，要十分注重對學生反例思維的培養(yǎng)，讓學生能夠多角度、辯證地思考問題，更好地掌握和學好近世代數(shù)。

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