讓學生真正經歷數(shù)學學習的過程

田云　孫道斌

【摘要】北師大版“§64多邊形的內角和與外角和（1）”在整個教材編排體系中起著承上啟下的作用，所蘊含的轉化、從特殊到一般等思想，為學生更好地學習各種特殊四邊形、圓的相關內容提供了重要的思路和方法.因此，把這節(jié)課設計成一節(jié)探索活動課，通過將多邊形問題轉化為三角形問題，體會轉化的數(shù)學思想，并掌握由特殊到一般的學習方法，探索求得多邊形內角和公式，從而讓學生經歷知識與技能形成與鞏固過程，經歷數(shù)學思維的發(fā)展過程，經歷應用數(shù)學能力解決問題的過程，進而形成積極的數(shù)學情感與態(tài)度.

【關鍵詞】多邊形內角和；數(shù)學思想方法；探索活動設計

目前，在教學中仍有不少教師囿于教材，按教材內容分配的課時進行教學.但新課程理念強調：教材不僅僅是知識的載體，更重要的是成為促進學生全面發(fā)展的一種工具、方式和途徑.因此，教師要創(chuàng)造性地用教材，要對教材知識進行重組和整合，要以“學生發(fā)展為本”的教學理念來設計教學活動，讓學生真正經歷數(shù)學學習的過程.2015年6月25日，筆者隨牡丹區(qū)名師團隊送課下鄉(xiāng)，牡丹區(qū)第二十一中學的田云老師在李莊中學執(zhí)教了一堂公開課，執(zhí)教的內容是“§64多邊形的內角和與外角和（1）”（北師大版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊），田老師正是秉承了這樣的教學理念，創(chuàng)造性地把這節(jié)課設計成了一節(jié)探索活動課，通過將多邊形問題轉化為三角形問題，讓學生體會轉化的數(shù)學思想，并掌握由特殊到一般的學習方法，探索求得多邊形內角和公式，從而讓學生經歷知識與技能形成與鞏固過程，經歷數(shù)學思維的發(fā)展過程，經歷應用數(shù)學能力解決問題的過程，進而形成積極的數(shù)學情感與態(tài)度.

教材分析

“§64多邊形的內角和與外角和（1）”（北師大版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊），它是在學習了三角形的概念以及三角形的內角和的基礎上，拓展研究多邊形的內角和.它起著承上啟下的作用，為后續(xù)學習平面鑲嵌、各種特殊四邊形、圓的相關內容以及工程技術中的應用打下基礎.

學情分析

學生已經學完三角形的內角和，對內角和的問題有了一定的認識，加上八年級的學生好奇心、求知欲強，互相評價、互相提問的積極性高.因此對于學習本節(jié)內容的知識條件已經成熟，學生參加探索活動的熱情已經具備，所以把這節(jié)課設計成一節(jié)探索活動課是切實可行的.

教學目標

知識技能：能夠利用多邊形的內角和公式進行簡單的計算.

數(shù)學思考：經歷探索多邊形內角和的過程，在活動中進一步發(fā)展學生的合情推理能力.

問題解決：通過將多邊形問題轉化為三角形問題，體會轉化的數(shù)學思想，并掌握由特殊到一般的學習方法.

情感態(tài)度：在數(shù)學活動中，體驗成功的樂趣，養(yǎng)成主動探究和合作交流的習慣，體會數(shù)學的應用價值.

教學重點

多邊形的內角和；培養(yǎng)學生主動探究新知識的方法.

教學難點

探索多邊形的內角和公式；探索多邊形內角和時，如何把多邊形轉化為三角形.

突出重點、化解難點的措施

1.教師自制教具，操作演示；

2.隨時總結學習幾何命題的一些規(guī)律，在得出結論前“引導分析”；

3.教學中既注重各部分知識之間的聯(lián)系，又注意保持各部分知識之間相對的獨立性，使其條理清楚，層次分明；

4.利用表格使所學知識形成網(wǎng)絡；

5.設計有目的、有梯度、循序漸進的練習題組，強化訓練.

教學過程

一、創(chuàng)設情境，激趣導入

師：同學們，你們手上都有長方形的紙片（如圖1）.如果現(xiàn)在讓你任意地剪去長方形紙片的一個角，你可以有幾種不同的剪法，剪后剩下的圖形是什么形狀的？請大家動手做一做，然后和同學們交流自己的想法.

（學生獨立思考，操作；匯報交流）圖1圖2

生1：長方形紙片剪去一個角，我認為可以得到三角形或者是梯形.請大家看.

（學生在實物投影儀上展示自己的操作方法，如圖2，3所示）

生2：長方形紙片剪去一個角，我認為除了可以得到三角形或者梯形以外，還可能是五邊形.

（生2展示，如圖4）

師：很好！通過大家動手操作，我們發(fā)現(xiàn)長方形紙片剪去一個角可以得到三角形或者梯形以外，還可能是五邊形.大家是否知道這些圖形的共同名字？

生眾：多邊形.

師：對，這些圖形就是我們前面學習的多邊形.這節(jié)課我們就來學習多邊形的內角和與外角和的相關問題，首先我們來學習多邊形的內角和.（板書課題：§64多邊形的內角和與外角和（1））

點評利用現(xiàn)代化的教學手段“創(chuàng)設問題情境”可以有效地激發(fā)學生的好奇心和求知欲，使學生很快進人角色，同時還可以及時鞏固多邊形的定義和有關的概念.

二、合作交流、探索新知

師：大家學習了多邊形及其有關概念，那么你知道多邊形的內角和是多少嗎？你能以四邊形為例來說明嗎？

生3：是360°.

師：請說明理由.

生4：因為正方形、長方形的每個內角都是90°，所以四邊形的內角和是360°.

生5：不對，正方形、長方形都是特殊的四邊形，這不能說明所有的四邊形的內角和都是.

師：你真能善于明辨問題.我們小學學過的長方形和正方形，它們的內角和都是360°，由此我們猜測一般四邊形內角和也是360°.這個結論是否正確呢？我們要從理論上加以驗證.

點評以小學學過的長方形、正方形每個內角都是90°為依托，猜想一般四邊形內角和的度數(shù).向學生滲透由具體到抽象、由特殊到一般的數(shù)學思想方法.

師：我們知道處理復雜問題普遍實用的方法，就是把未知轉化為已知，用已有知識研究新問題.所以，研究四邊形的問題可轉化為已學過的知識去解決.

生眾：轉化為三角形問題來解決.

師：對！同學們回答的非常好！把四邊形問題轉化為三角形知識解決.

師：轉化的關鍵？

生眾：作輔助線.

點評研究四邊形的問題可轉化為三角形知識去解決，向學生滲透“化歸”的數(shù)學思想方法.

師：請同學們考慮說明的方法.

（學生動手畫圖，教師巡視，發(fā)現(xiàn)不少同學都給出了把四邊形分割成幾個三角形的辦法，歸納起來，有三種，如圖5，6，7）圖5圖6圖7

師：請三位同學（代表三種不同的分割方法）到黑板上利用實物投影儀展示，并說明探索思路.

生6：如圖5，把四邊形分成兩個三角形，可得四邊形的內角和是360°.

生7：如圖6，把四邊形分成四個三角形，可得四邊形的內角和等于四個三角形的內角和減去一個周角的度數(shù)，也是360°.

生8：如圖7，把四邊形分成三個三角形，可得四邊形的內角和等于三個三角形的內角和減去一個平角的度數(shù)，也是360°.

師：很好，同學們對四邊形內角和問題的解決已經有了三種方法.請同學們觀察圖6，點O是AC與BD的交點，點O自由嗎？如果讓這個點動起來，結論還成立嗎？（打開幾何畫板如圖6的圖形）讓我們觀察點O動起來的情況（把點O拖動至如圖8）.圖8圖9

生眾：仍然成立，這與圖6的情況是一樣的.

師：點O不在線段AC上可以嗎？（拖動點O，如圖9）

生眾：可以，還是與圖6的情況是一樣.

生9（像是有了重大發(fā)現(xiàn)，激動地）：點O可以是四邊形內部的任意一點.

師：對，看來點O還是很自由的，那么點O的自由度有多大呢？它還能運動到別的地方去嗎？請同學們先獨立思考，再交流討論.

（學生討論交流后，紛紛舉手）

生10：點O可以運動到四邊形的邊上，就是圖7的情況，點O也可以與四邊形的一個頂點重合，像圖5的情況.

師：好，同學們對四邊形內角和的研究又深入了一步.以上我們研究了點O在四邊形的內部和邊上運動的情況，點O能否沖破“禁區(qū)”運動到四邊形的外部呢？

眾生猶豫不決.

師：請同學們先思考，再討論.（教師拖動點O，如圖10）

（學生思考，討論）

生11：在圖10中，△AOD、△DOC、△COB三個三角形內角和減去△AOB的內角和就是四邊形ABCD的內角和也是360°.

生12：點O還可以再運動，點O在邊DA的延長線上時，只有兩個三角形了（教師拖動點O，如圖11），這時也能說明四邊形的內角和是360°.

師：你的想法完全正確，先別忙回答，讓同學們先想一想好嗎？

（思考、討論后，有很多學生舉手.）

師（對學生12）：這種情況是你先發(fā)現(xiàn)的，老師知道你能正確地說明理由，能否發(fā)揚一下風格，讓其他同學說說理由.

生12（高興地）：當然可以.

生13：△OCD與△OCB的內角和共是360°，但這中間不包括四邊形ABCD的∠DAB，而∠AOB與∠ABO又不是四邊形ABCD的內角，但根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和可知∠DAB=∠AOB+∠ABO，這樣就可以得出四邊形ABCD的內角和是360°了.

（在生12的帶領下，學生一起鼓掌）

生14（急切地）：老師，點O也可以是AD與BC延長線的交點（教師拖動點O，如圖12），這時∠O+∠A+∠B+∠ODC+∠ADC+∠OCD+∠BCD=540°，再減去△ODC的內角和，就可以得出四邊形ABCD的內角是360°了.

（學生又一次自發(fā)地鼓掌）

師：生14回答得很精彩，點O的確很神奇，它點到哪里都成金??！以上，同學們發(fā)現(xiàn)了探究四邊形內角和的八種方法，這些方法有什么共同特點嗎？

生眾：都是把四邊形分割成了三角形.

師：也就是把未知轉化成了已知.轉化是研究數(shù)學問題最常用的方法.

點評四邊形內角和這一結論的解釋說明是本節(jié)課的一個重點，添加輔助線是關鍵.本環(huán)節(jié)的學習中，探索了多種的說明方法，活躍了學生的思維.在教學過程中，應鼓勵學生通過獨立思考，不拘一格，創(chuàng)造性地解決問題，使學習數(shù)學成為再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程.

三、類比遷移、得出結論

師：同學們通過探索，知道了任意四邊形的內角和都是360°.那么五邊形、六邊形、七邊形等多邊形的內角和又是多少度呢？請同學們選擇你所喜歡的方法進行探索，并將探索的結果填入下表，猜想n邊形的內角和是多少？

師：真了不起.人們經過多年的探究，才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，同學們在短短的一節(jié)課就解決了.不過，數(shù)學家往往愿意用字母公式來表示他們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，因為這樣能把規(guī)律更簡單地呈現(xiàn)出來，請大家也自己嘗試一下，看能不能用一個數(shù)學公式把多邊形內角和的規(guī)律用字母表示出來.

生眾：（n-2）·180°.

師：對！這就是我們這節(jié)課所要學習的內容：n邊形的內角和等于（n-2）·180°.（板書）

點評從探索四邊形的內角和，到五邊形、六邊形、七邊形乃至n邊形，通過增強圖形的復雜性，學生借助表格，自己觀察總結規(guī)律，猜想出n邊形的內角和，讓學生體會由簡單到復雜，由特殊到一般的思想方法，再一次經歷轉化的過程，同時在分組交流的過程中，感受合作的重要性.

四、應用新知，嘗試編題

師：我們已經得到n邊形的內角和等于（n-2）·180°，下面我們圍繞這個公式，自編自解一些習題，好嗎？

（學生情緒高漲，紛紛動起手了）

生21：一個多邊形的內角和等于1260°，它是幾邊形？

生22：八邊形.

生23：正五邊形與正六邊形的每一內角分別是多少度呢？

生24：108°，120°.

師（對生24）：你能給出正邊形的其中一個內角的度數(shù)嗎？

生24（略作思考）：能，n邊形內角和是（n-2）·180°，正n邊形每個內角都相等，所以正n邊形的一個內角是（n-2）·180°[]n[SX）].

師：太好了！大家再想一想，如果已知多邊形的內角和，看能不能求出這個多邊形的邊數(shù)？

（學生思考議論，然后口述編出的題目）

生25：已知多邊形的內角和是900°，它是幾邊形？

生26：七邊形.

師：看樣大家對公式不但掌握熟練，而且還會靈活運用，很了不起.

點評請學生應用公式計算，使他們體會到公式的便利作用，及應用自己研究成果的愉悅；讓學生利用公式進行編題自解，這樣設計不但體現(xiàn)新知的應用價值，而且也讓使學生獲得成功感.

五、達標練習，鞏固提高

師：今天的新課已經學完了，在學案上還有一個達標練習，請同學們迅速完成，看你能達到哪一級的目標.

A級：

1.正五邊形的每個內角分別是度.

2.一個多邊形的內角和等于1800°，那么這個多邊形是邊形.

3.一個多邊形的內角和可能是（）.

A.270°B.560°C.1800°D.1900°

B級：

4.如果一個正多邊形的一個內角等于150°，則這個多邊形的邊數(shù)是（）.

A.12B.9

C.8D.7

5.在圖13中AB∥CD，求x的值.

C級：圖13圖14

6.求圖14中x的值.

7.一個n邊形除了一個內角之外，其余各內角之和是780°，則這個多邊形的邊數(shù)n的值是多少？

（學生分組，比一比哪個組完成的又快又好；每個小組派代表來抽取一組題目；每個小組答完題后，派代表給其它小組講解本組做的題目，評講完，其它小組的同學如果有疑問可以提出，由該小組答疑）

點評通過競賽的方式，不但能激發(fā)學生的學習興趣，而且還能引導他們在做練習的過程中，通過小組協(xié)作來鞏固知識和獲得技能.尤其是“小組答疑”這個環(huán)節(jié)，讓學生從教師的角度去思考問題，對所學知識能有更深層次的理解.

六、課堂小結，體驗收獲

師：通過這節(jié)課的學習，談談你有什么收獲？

生27：掌握了探索多邊形內角和公式的方法.

生28：通過探索多邊形內角和公式，我知道了由特殊到一般的學習方法，還了解了轉化的思想.

生29：我知道了方程的思想在幾何中也有重要的作用.

生30：通過小組合作學習，增強了我與其他同學之間的合作意識，不但掌握了知識，還學會了與他人交流，提高了自己的能力.

師：真精彩！看來同學們今天都動了腦筋.不僅學會了轉化的方法而且還能創(chuàng)造性地運用，同時也能把以前學過的知識運用在解決新的問題上.希望同學們在今后的學習中也能像今天這樣，勤動手、多思考.

點評鼓勵學生暢所欲言，談自己對本節(jié)課的收獲和體會，有利于培養(yǎng)學生歸納概括的能力，讓學生自主建構知識體系.

總評

在整堂課的教學過程中，田老師充分體現(xiàn)了“學生是學習活動的主體，教師始終扮演著組織者、合作者和引導者的角色”.在課堂上，田老師通過組織學生動手實踐，在形成感性認識的同時，又培養(yǎng)了學生的動手能力，有助于激發(fā)學生對數(shù)學的好奇心和求知欲，為培養(yǎng)創(chuàng)造性思維和嚴謹?shù)膶W習態(tài)度奠定基礎.具體說來，本節(jié)課的特點主要體現(xiàn)在以下三個方面：

1.巧妙抓住了教學活動中學生的三次突破，層層推進教學

第一次突破：教學一開始，田老師以一個開放性的數(shù)學問題（如果現(xiàn)在讓你任意地剪去長方形紙片的一個角，你可以有幾種不同的剪法，剪后剩下的圖形是什么形狀的？由此，聯(lián)想到剩下的圖形的內角和是幾度？是比原來的長方形內角和增加了還是減少了？）直接進入這節(jié)課的主題，讓一個看似很容易的問題引起了學生的認知沖突，也引起了學生的探究興趣，讓學生在自覺或不自覺的狀態(tài)下把眼光集中在“四邊形的內角和”上，自然的實現(xiàn)了本節(jié)課的第一次突破.這說明田老師對數(shù)學問題本身的魅力領悟到位，問題運用合理.

第二次突破：當學生在“合作交流、探索新知”時，把重點“鎖”在四邊形內角和這個焦點上的時候，田老師沒有急于求成，反而引導學生先考慮起數(shù)學方法來了.田老師從數(shù)學方法入手去引導學生解決新的數(shù)學問題，這在一般的課堂教學中是不多見的.事實上，這一教學環(huán)節(jié)的關鍵就在引出“轉化”的數(shù)學方法.對于“轉化”的數(shù)學方法教師點到為止，至于如何去運用仍由學生自己去完成.這樣，本節(jié)課的第二次突破也是由學生完成的，由此不難看出田老師對學生主體地位的尊重.有了這個環(huán)節(jié)方法的研究，就使接下去研究五邊形、六邊形、七邊形等過程“有法可依”了.

第三次突破：以四邊形為研究對象，在知識和方法上有了突破之后，順勢提出五邊形、六邊形、七邊形、八邊形的內角和問題，這既是數(shù)學本身發(fā)展的需要，更是滿足學生剛剛燃燒起來的探究欲望的需要，學生對教學的第三次突破也就自然不期而至了.值得注意的是：如果說對四邊形的研究帶有很濃的“摸著石頭過河”的感覺，那么這一環(huán)節(jié)的探究就顯得很開放了，學生的自主地位很明顯，而這正是數(shù)學發(fā)展的必然規(guī)律，學生認知發(fā)展的規(guī)律.可以看出：“讓學生經歷數(shù)學發(fā)展的過程”這是田老師努力追求的.

課堂上，當實現(xiàn)這三個突破后，學生還沒有滿足，這時田老師順勢再加“一把火”，巧妙地讓學生的認識再提高一個層次.這節(jié)課的精彩也就出現(xiàn)了！田老師以新的具體的學習任務（求20、100邊形的內角和），引發(fā)了學生新的認知沖突，而且這種沖突是由學生自己揭示出來的，當然學生解讀沖突的欲望也是最強烈的.可以感受到，在這一環(huán)節(jié)的再次突破過程中，師生都是充滿激情的！

2.給學生充分的學習、思考、交流的時間，教師甘心沉默

學生在討論四邊形的內角和時各持己見，可以看到以上這個環(huán)節(jié)，學生展開了積極的交流，交流是學生之間相互學習、相互提高、思維相互碰撞的過程，盡管交流中發(fā)現(xiàn)學生的想法有錯誤，還沒有討論出最正確的結果，但田老師始終在保持“沉默”，好一個“無聲勝有聲”，這樣的教學等待是我們教師應該提供給學生的.教師甘心沉默才會有后來學生的精彩發(fā)言.這樣的“沉默”還有好幾處，比如到最后田老師要引導學生總結了，還是發(fā)現(xiàn)有學生要補充發(fā)言.看來在課堂教學中，全面的信息反饋、給學生充分發(fā)表自己意見的機會是多么的重要！

3.有意識地滲透學習方法

在此之前，學生已經積累一些說明幾何問題的事實、方法和經驗，為了幫助學生迅速找到新舊知識的結合點，田老師向學生傳遞、滲透一種信息：處理復雜問題普遍實用的方法，就是把未知轉化為已知，用已有知識研究新問題.所以，研究四邊形的問題可轉化為已學過的知識去解決.這樣容易引起學生的聯(lián)想，有利于學生梳理知識，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力.接下去對于“怎樣轉化？轉化的關鍵是什么？”田老師沒做更多的引導，只是提出問題.這樣做，一方面是為解決問題創(chuàng)造一個好的情境，另一方面是指導學生通過自己的努力按既定方向將已有知識、經驗和方法進行重組，從而解決問題，這樣才能真正體現(xiàn)學生學習方法的掌握和自主運用.從課堂教學實際效果看，這個引導是符合多數(shù)學生的認知基礎的，既沒有超越學生的認知能力，又能促進學生積極探索.在探求結論的推導過程中，集中體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想的應用.在這里，教師有意識地進行了滲透，這可以使學生更加深刻地體會到這種思想方法對解決問題的作用.

本堂課不足之處主要是因材施教、分類指導方面有待于進一步加強，在各個教學環(huán)節(jié)中后進生沒有得到應有的重視，特別在練習過程中要特別注意加強對后進生的學法指導.