例談數(shù)學(xué)思想方法在課堂教學(xué)中的應(yīng)用

邵亞斌

摘要 在高等教育的體系中高等數(shù)學(xué)教育有很重要的地位，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)以及體驗(yàn)在整個(gè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和積極的創(chuàng)新意識(shí)起著很重要的作用。從高等數(shù)學(xué)中“存在性”的教學(xué)以及博弈論中的一個(gè)經(jīng)典例子為教學(xué)案例，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)并學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的作用。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，能夠?qū)W會(huì)猜想及去驗(yàn)證猜測的正確性。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)思想方法 高等數(shù)學(xué) 課堂教學(xué)

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.07.051

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教育中，高校教師重視數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)解題技能的講解，而一般不會(huì)涉及“數(shù)學(xué)思想”的講解，但是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真諦應(yīng)該是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，學(xué)生在實(shí)踐中的任何領(lǐng)域都可以運(yùn)用數(shù)學(xué)思想。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育中，我們只是一味地強(qiáng)調(diào)知識(shí)的記憶、熟練的程度以及解題方法與技巧的掌握程度，這樣讓學(xué)生很容易產(chǎn)生挫敗感而對失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，所以，在網(wǎng)絡(luò)發(fā)達(dá)的今天，在“互聯(lián)網(wǎng)+教育”背景下，推進(jìn)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革，尤其是課堂教學(xué)，廣大教師應(yīng)當(dāng)充分利用網(wǎng)絡(luò)環(huán)境，充分利用合作參與式教學(xué)方法，加強(qiáng)并重視數(shù)學(xué)思想方法的養(yǎng)成教育，對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性、掌握知識(shí)的有效性以及創(chuàng)新能力的持續(xù)性有著十分重要的意義。

1數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

（1）數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是大學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)向數(shù)學(xué)觀念轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)，也是高校素質(zhì)教育的重要途徑。任何知識(shí)都必須形成一個(gè)系統(tǒng)的知識(shí)體系，最終在認(rèn)得大腦里形成基本的觀念，數(shù)學(xué)也必須遵循這個(gè)規(guī)律，但是要將書面的、固有的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的、科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，在課堂教學(xué)中，教師在講清基本數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，還應(yīng)當(dāng)給學(xué)生灌輸有關(guān)的數(shù)學(xué)思想與基本的數(shù)學(xué)方法。例如數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的實(shí)際背景，與鄰近數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)生已有知識(shí)以及相關(guān)學(xué)科的辯證關(guān)系等。學(xué)生通過了解數(shù)學(xué)思想，他們能夠形成自己的數(shù)學(xué)精神，最終實(shí)現(xiàn)我們的數(shù)學(xué)素質(zhì)教育。

（2）加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，是提高教學(xué)質(zhì)量和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)與科學(xué)素養(yǎng)的重要途徑。高等數(shù)學(xué)知識(shí)不僅包括了各種概念、各種運(yùn)算法則、各種理論和在物理甚至其他學(xué)科中的基本應(yīng)用，同時(shí)還包括這些概念、運(yùn)算、定理的深層所反映出來的美妙的數(shù)學(xué)思想和令人驚嘆的數(shù)學(xué)方法。在課堂教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)，通過設(shè)計(jì)和諧巧妙的課堂情景，利用啟發(fā)式、問題體驗(yàn)式、合作參與式的教學(xué)方式，關(guān)注學(xué)生碎片化的獲取知識(shí)的方法，引導(dǎo)學(xué)生從基本的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法出發(fā)，進(jìn)一步揭示數(shù)學(xué)知識(shí)所包含的實(shí)際背景以及其產(chǎn)生、發(fā)現(xiàn)和發(fā)展的過程，才能把數(shù)學(xué)中的各種概念和原理徹底掌握，學(xué)生所學(xué)到的高等數(shù)學(xué)的知識(shí)才可能是完整的、可利用的和深刻的“活水”。在教學(xué)過程中，有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想，有意識(shí)地加強(qiáng)數(shù)學(xué)史的教學(xué)、有意識(shí)地呈現(xiàn)某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的問題及發(fā)展前景，有意識(shí)地加強(qiáng)與某一些知識(shí)點(diǎn)有關(guān)的現(xiàn)代研究的方向與前沿，無不對學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)方法以及培養(yǎng)他們的科學(xué)精神有著不可替代的作用。

（3）加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的重要途徑。數(shù)學(xué)思想方法是隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而發(fā)展的。歷史上數(shù)學(xué)中的突破性發(fā)展總是伴隨著數(shù)學(xué)思想方法的變革，牛頓之所以創(chuàng)立微積分，黎曼之所以創(chuàng)立流形幾何，龐加萊之所以提出了著名的猜想，不僅在于數(shù)學(xué)知識(shí)的積累，最主要的是這些偉大的數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)思想方法上采取了革命性的創(chuàng)造。因此數(shù)學(xué)思想方法是進(jìn)行數(shù)學(xué)研究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、總結(jié)數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律的概括，從而成為數(shù)學(xué)學(xué)科本身發(fā)展和創(chuàng)新的基礎(chǔ)與源泉，更為其他科學(xué)與技術(shù)的進(jìn)步提供了理論基礎(chǔ)?？v觀數(shù)學(xué)歷史每次數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都是數(shù)學(xué)思想方法出現(xiàn)了變革，因此數(shù)學(xué)思想的教學(xué)可以指導(dǎo)學(xué)生自主地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法去解決問題，有利于培養(yǎng)和提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維與解決問題的能力。

2加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的具體運(yùn)用

2.1從高等數(shù)學(xué)中的“存在性”體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法

關(guān)于存在性問題，古希臘曾經(jīng)有一個(gè)非常典型的幾何學(xué)難題：能否以相同的形狀使體積增為兩倍？這個(gè)問題曾經(jīng)難倒很多哲學(xué)家、幾何學(xué)家（當(dāng)時(shí)希臘幾何學(xué)的作圖工具只有圓規(guī)和直尺），因?yàn)樗麄冋J(rèn)為能夠以相同的形狀使體積增為兩倍。因此才找不到正確答案。這個(gè)問題直到19世紀(jì)被證明了不可能做到而宣告結(jié)束。這個(gè)問題告訴我們，不是所有的問題都存在答案。當(dāng)一個(gè)問題被提出時(shí)，我們要敢于質(zhì)疑，敢于創(chuàng)新，直覺有時(shí)候會(huì)把我們帶入誤區(qū)。在企業(yè)內(nèi)部，每一項(xiàng)新技術(shù)的產(chǎn)生，都要經(jīng)過大量的測試才能應(yīng)用，這便是數(shù)學(xué)思想的再現(xiàn)。如果在做題之前不思考這個(gè)問題是否存在解，那么對于一個(gè)根本不存在解的問題，就會(huì)做了很多的無用功。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，存在性問題處處可見，例如：經(jīng)常需要思考“極限是否存在？函數(shù)是否可導(dǎo)？”等，教材中的習(xí)題偏重于鞏固知識(shí)點(diǎn)，多以計(jì)算為主，開放型題目很少，所以需要教師充分引導(dǎo)，或參與課題，體味數(shù)學(xué)思想的嚴(yán)謹(jǐn)性。

2.2從博弈論的經(jīng)典例子體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用

博弈論是利用數(shù)學(xué)的方法來研究兩個(gè)或多個(gè)決策者的相互行為所發(fā)生直接相互作用時(shí)候的決策以及這種決策的均衡問題的一門學(xué)問，是一種專門研究各種博弈行為中所有參與方是否存在最合理的行動(dòng)或者解決方案，以及怎樣找到均衡解的數(shù)學(xué)理論和方法。

博弈論的經(jīng)典例子“價(jià)格大戰(zhàn)”內(nèi)容是：A、B兩個(gè)商家壟斷生產(chǎn)一種商品，如果兩家都維持高價(jià)，則各得到11萬元的高額利潤；如果一家降價(jià)，另一家不降價(jià)，降價(jià)的利潤增加到12萬元，不降價(jià)因失去市場而驟降至2萬元；如果兩家都維持低價(jià)分別得到7萬元的高額利潤。具體模型見表1：

矩陣表1中，首先分析矩陣中數(shù)據(jù)的變動(dòng)，在博弈中，一方降價(jià)另一方不降價(jià)時(shí)，降價(jià)者則會(huì)因?yàn)榈玫礁嗟念櫩蛷亩箚挝划a(chǎn)品的固定成本降低，利潤增加，相反，不降價(jià)者會(huì)因?yàn)槭ゴ笈櫩投鴮?dǎo)致單位產(chǎn)品的固定成本增加，利潤自然降低。若雙方同時(shí)降價(jià)，雖然單位產(chǎn)品的固定成本不變，但單位產(chǎn)品的利潤下降，導(dǎo)致雙方的利潤同步下降。

用箭頭法求解博弈矩陣，先從策略組合（高價(jià)，高價(jià)）出發(fā)，在該策略組合中，商家A、B的得益均為11，商家A和B都認(rèn)為，如果單獨(dú)改變自己的策略就可以增加自己的收益（從11變成12），因此，商家A會(huì)改變自己的策略，是原來的策略組合（高價(jià)，高價(jià)）變成（低價(jià)，高價(jià)）。用從前一個(gè)策略組合的得益數(shù)組，指向后一個(gè)策略組合的得益數(shù)組的箭頭表示這種傾向。同理，商家B為了增加自己的利潤，也會(huì)單獨(dú)改變自己的策略，使策略組合（高價(jià)，高價(jià)）變?yōu)椋ǜ邇r(jià)，低價(jià)），用箭頭表示這種變化的趨勢。如表2所示。

由表2可知，（高價(jià)，高價(jià)）這個(gè)策略組合不穩(wěn)定，但如果策略組合有（高價(jià)，高價(jià)）變?yōu)椋ǖ蛢r(jià)，高價(jià)），商家A會(huì)滿足自己的得益，不會(huì)做任何的改變，但商家B卻會(huì)改變自己的策略，使自己的收益從2到7。同理，如果策略組合從（高價(jià)，高價(jià)）變?yōu)椋ǜ邇r(jià)，低價(jià)）。商家B會(huì)很滿足自己的得益，商家A卻會(huì)改變自己的策略使自己的得益從2到7，仍用箭頭表示這種變化的趨勢。如表3所示：

從表3得到在策略組合（低價(jià)，低價(jià)）下，商家A與B都不會(huì)再改變自己的策略，因?yàn)闊o論任何一方改變策略都會(huì)使自己的得益變得更低，所以雙方都不愿意打破這種平衡，則（低價(jià)，低價(jià)）就是該博弈的均衡解。

從矩陣表1中，可以得到（高價(jià)，高價(jià)）是兩個(gè)商家合作的最優(yōu)戰(zhàn)略，但為何最后的納什均衡解時(shí)（低價(jià)，低價(jià)）？這是因?yàn)椴┺碾p方選擇對自己而言最優(yōu)策略，都為了追求自己利益的最大化，結(jié)果導(dǎo)致最終的解不是對雙方最優(yōu)的結(jié)果。

從而得到：直覺有時(shí)會(huì)使人走進(jìn)誤區(qū)，不能只看到表象，要培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和數(shù)學(xué)思想。

3結(jié)語

數(shù)學(xué)思想的教學(xué)效果不能被量化考核，但是其對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新意識(shí)的效果是很明顯的。數(shù)學(xué)思想能夠讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在意義和知識(shí)形成的來源背景，而不只是對已有的、枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們應(yīng)該加強(qiáng)和重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)以及研究工作，這樣不但有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對學(xué)生以后學(xué)習(xí)其它課程也是很有幫助的。