函數(shù)列的收斂與一致收斂

時杰

摘 要：從收斂和一致收斂的概念出發(fā)，討論數(shù)學分析中函數(shù)列的收斂與一致收斂的關系，這為如何掌握并進一步研究函數(shù)列的收斂與一致收斂問題提供了方法。

關鍵詞：函數(shù)列；收斂；一致收斂

函數(shù)列收斂與一致收斂理論是數(shù)學分析中的重要概念之一，同時也是教與學的難點。但是學生往往對定義理解不透徹，生搬硬套“？著-N”語言，加之各種版本的數(shù)學分析教科書將函數(shù)列的收斂問題與函數(shù)項級數(shù)的收斂問題放在一起，使得教與學更為困難。本文從實數(shù)數(shù)列的收斂問題中引出函數(shù)列的收斂，進而引出一致收斂，逐步推進，使得這部分內(nèi)容更易學習并掌握。

實數(shù)序列的收斂問題是定義在實數(shù)集上的，其實函數(shù)序列的收斂性也是如此，函數(shù)序列的收斂性反映的是函數(shù)列在點集上的局部性質(zhì)，也就是說，函數(shù)列在點集上的收斂性就是實數(shù)序列的收斂問題。下面就從這個角度討論函數(shù)列的收斂與一致收斂問題。

一、收斂的幾個定義

實數(shù)列的收斂性定義

定義1：設xn是實數(shù)序列，a是實數(shù)，若對任意給定的正數(shù)？著，都存在相應的正整數(shù)N，使得當n>N時，恒有xn-a<？著，則稱實數(shù)列xn收斂于a，記為limxn→∞=a，或簡記為xn→a（n→∞）。

幾何上，xn→a的意思是：數(shù)軸上跳動的點xn與定點a之間的距離，隨著n的無限變大而無限變小，無論？著是怎樣小的數(shù)，做點a的？著鄰域（a-？著，a+？著），跳動的點遲早有一次將跳進去，再也跳不出來，這個次數(shù)便可作為N。

但是例如序列：（1+ ），（1+ ）2，（1+ ）3，…，（1+ ）n，…有極限ex，這個序列的特點是每一項都是函數(shù)，極限也是x的函數(shù)，這樣構(gòu)成的序列就不是實數(shù)序列了，而是函數(shù)序列，可以記為：fn（x），收斂定義如下：

定義2：設函數(shù)列fn（x）每一項fn（x）及函數(shù)f（x）均在數(shù)集E上有定義，若？坌x∈E，函數(shù)列fn（x）收斂于f（x），則稱函數(shù)列fn（x）在E上收斂于f（x），并稱函數(shù)f（x）是函數(shù)列fn（x）的極限函數(shù)。

定義2也可以用“？著-N”語言描述：設函數(shù)列fn（x）每一項fn（x）及函數(shù)f（x）均在數(shù)集E上有定義，對？坌x∈E，？坌？著>0存在正數(shù)N，使得當n>N時，總有fn（x）-f（x）<？著，則稱函數(shù)列fn（x）在E上收斂于f（x），并稱函數(shù)f（x）是函數(shù)列fn（x）的極限函數(shù)，記為limf（x）→∞=f（x）。

我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)列fn（x）的收斂問題不僅要考慮fn（x）的趨向，還要考慮極限函數(shù)f（x），但是我們也發(fā)現(xiàn)取定x0∈E時，代入fn（x）即得實數(shù)序列：f1（x0），f2（x0），…，fn（x0）…，這時就是實數(shù)序列的收斂性問題了。

函數(shù)列fn（x）收斂的定義中是對每一個固定的x∈E，根據(jù)給定的？著找N，一般來說，這樣找到的N不僅與？著有關，而且與x有關，可記為N（？著，x）。但是對于函數(shù)列，僅停留在談論一點上的收斂是遠遠不夠的，重要的是研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具有的解析性質(zhì)的關系，例如能否根據(jù)函數(shù)列每項的連續(xù)性和可導性來判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性和可導性，或極限函數(shù)的導數(shù)或積分，是否分別是函數(shù)列每項的導數(shù)或積分的極限，顯然只研究函數(shù)列在一點處的收斂不能滿足要求。

例如：函數(shù)列fn（x）=xn（x∈[0，1]），n∈N，它處處收斂于函數(shù)f（x）=0 x∈[0，1）1 x=1，但是極限函數(shù)f（x）不連續(xù)，也就是說收斂性不能保證極限函數(shù)的連續(xù)性。

那么是否能根據(jù)正數(shù)？著找到一個公共的N，使得N只與？著有關，不妨記為N（？著），對此我們引進比點點收斂更強一點的收斂概念，那就是一致收斂，定義如下：

定義3：設函數(shù)列fn（x）每一項fn（x）及函數(shù)f（x）均在數(shù)集E上有定義，若對任意？著>0，總存在正數(shù)N，使得當n>N時，對一切x∈E，都有fn（x）-f（x）<？著，則稱函數(shù)列fn（x）在數(shù)集E上一致收斂于f（x），記為fn（x）？圯f（x）（n→∞）。

定義3的描述等價于：對于定義在同一數(shù)集E上的fn（x）和f（x），滿足條件lim→∞supx∈efn（x）-f（x）=0（n→∞），進一步還等價于lim→∞fn（x）-f（x）=0。顯然定義3比定義2更強，定義3成立必能推出定義2成立。

定義4：設函數(shù)列fn（x）每一項fn（x）及函數(shù)f（x）均在數(shù)集E上有定義，若對任意[a，？茁]？奐E，fn（x）在[a，？茁]上都一致收斂于f（x），則稱fn（x）在數(shù)集E上內(nèi)閉一致收斂于f（x）。顯然定義4比定義3更強，定義4成立必能推出定義3成立。

注1：函數(shù)列fn（x）在數(shù)集E內(nèi)閉一致收斂于f（x），則必在E上收斂于f（x）。

注2：函數(shù)列fn（x）在非閉數(shù)集E上一致收斂于f（x），則必在E內(nèi)閉一致收斂于f（x）。

注3：函數(shù)列fn（x）在閉數(shù)集E上一致收斂于f（x）的充分必要條件是在E內(nèi)閉一致收斂于f（x）。

注4：fn（x）在（-∞，+∞）上內(nèi)閉一致收斂等價于對一切充分大的N>0，fn（x）在[-N，+N]上一致收斂。

注5：fn（x）在（a，？茁）上內(nèi)閉一致收斂等價于對一切充分小的a>0，fn（x）在[a+？滓，b-？滓]上一致收斂。（a，？茁這有限實數(shù)）

注6：fn（x）在（a，？茁]上內(nèi)閉一致收斂等價于對一切充分小的？滓>0，fn（x）在[a+？滓，b]上一致收斂。（a，？茁這有限實數(shù)）

注7：fn（x）在數(shù)集E上一致收斂于f（x），則其任一子函數(shù)列fn（x）均在E上一致收斂于f（x）。

注8：fn（x）在數(shù)集E上內(nèi)閉一致收斂于f（x），則其任一子函數(shù)列fn（x）均在E上內(nèi)閉一致收斂于f（x）。

注7和注8可以類比實數(shù)序列與子序列的收斂關系，其實注7和注8便是對實數(shù)序列與子序列收斂關系的推廣。

下面僅給出注2、注3的簡單證明：

證明注2：

任給[a，？茁]？奐E，因fn（x）在E上一致收斂于f（x），則在[a，？茁]上一致收斂于f（x），即fn（x）在數(shù)集E上內(nèi)閉一致收斂于f（x）。反之未必成立。

證明注3：

必要性：任給[a，？茁]？奐E，由于fn（x）在E上一致收斂于f（x），必在[a，？茁]上一致收斂于f（x），即在E內(nèi)閉一致收斂于f（x）；

充分性：由于fn（x）在E內(nèi)閉一致收斂于f（x），故對閉數(shù)集E？奐E，也有fn（x）在E上一致收斂于f（x）。

二、一致收斂的幾個等價命題

命題1（一致收斂的柯西收斂準則）

函數(shù)列fn（x）在數(shù)集E上一致收斂？圳對任給的？著<0，總存在正整數(shù)N，對一切x∈X，都有fn（x）-fm（x）<？著。

命題1等價于如下命題：

命題2：函數(shù)列fn（x）在數(shù)集E上一致收斂？圳對任給的？著>0，總存在正整數(shù)N，當n>N且x∈E時，對任意自然數(shù)p，都有fn+p（x）-f（x）<？著。

用命題1和命題2進行判別的優(yōu)勢在于不需要知道極限函數(shù)是什么，只是根據(jù)函數(shù)列本身的特點來判斷函數(shù)列是否一致收斂。

例如：設函數(shù)列fn（x）=xn，n∈N，為定義在（-∞，+∞）上的函數(shù)列，證明它的收斂域是（-1，1]，且極限函數(shù)為fn（x）=0，x<11， x=1（*）

證明：任給？著>0，（不妨設？著>1），當0N（？著，x）時，就有fn+p（x）-f（x）<？著，當x=0和x=1時，則對任何正整數(shù)n，都有fn（0）-f（0）=0<？著，fn（1）-f（1）=0<？著，這就證得fn（x）在（-1，1]上收斂，且有（*）式的極限函數(shù)。而當x>1時，則有xn→∞（n→∞），當x=-1時，對應的數(shù)列為：-1，1，-1，1，…顯然它是發(fā)散的。所以函數(shù)列xn在區(qū)間（-1，1]外是發(fā)散的。

以上內(nèi)容通過實數(shù)列的收斂引出函數(shù)列的收斂、一致收斂以及一致收斂的等價命題，據(jù)此我們可以研究數(shù)項級數(shù)的收斂和函數(shù)項級數(shù)的收斂與一致收斂問題。

在數(shù)學學習與研究過程中，函數(shù)列的收斂和一致收斂的證明是一個非常重要的內(nèi)容，這些內(nèi)容在初等數(shù)學和高等數(shù)學中都有很好的體現(xiàn)。這些內(nèi)容更是函數(shù)項級數(shù)的收斂與一致收斂的基礎。以上討論，為學習者理清了思路，幫助學習者掌握其中規(guī)律，增強對函數(shù)列收斂與一致收斂的概念理解。

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編輯 薛直艷