三角形面積計算公式的推導(dǎo)方法—淺談小學(xué)教學(xué)三角形面積的計算公式

云南省大理州云龍縣長新鄉(xiāng)豐勝完小 楊炳海

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第九冊《三角形面積的計算》一節(jié)，教材上是這樣安排的：一是明確目標(biāo)；二是用數(shù)格的方式不能確定三角形的面積；三是能否轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過的圖形進(jìn)行計算？四是拿兩個完全一樣的直角三角形可以拼成以前學(xué)習(xí)過的長方形或平行四邊形，所以直角三角形的面積是長方形或平行四邊形面積的一半；五是驗證銳角三角形和鈍角三角形是否也能拼成平行四邊形；六是確定所有類型的三角形能轉(zhuǎn)化成平行四邊形，并且兩者的關(guān)系是“等底等高，面積一半”。

課堂教學(xué)是師生、學(xué)生之間有效互動的過程，具有活力的精彩的課堂取決于課堂中有效的生成，這又源于學(xué)生的思考過程。華羅庚說過，“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來。”要培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和創(chuàng)造能力，就必須重視推導(dǎo)公式的過程教學(xué)，從學(xué)生的認(rèn)知特點出發(fā)組織學(xué)生去大膽地操作實踐， 探求規(guī)律，推導(dǎo)出公式。學(xué)生掌握新知識的過程是在老師的引導(dǎo)下，充分利用已有知識和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，積極主動地參與探求的過程。

一、為三角形面積計算公式推導(dǎo)作準(zhǔn)備

第一，預(yù)設(shè)生成不是借學(xué)生的口說出教師想說的話，而是把教師的預(yù)設(shè)用生成的狀態(tài)呈現(xiàn)給學(xué)生。這需要教師給學(xué)生提供豐富而有價值的探究材料，選擇多樣而有效的學(xué)習(xí)方式，組織學(xué)生通過動手實驗、猜測、驗證、推理與交流等活動，實現(xiàn)知識的“再創(chuàng)造”。

第二，學(xué)習(xí)新知識的基礎(chǔ)是選取復(fù)習(xí)內(nèi)容的依據(jù)，連接點是復(fù)習(xí)的重點。三角形面積這個新知識的基礎(chǔ)是長方形、正方形、平行四邊形的面積公式及三角形底和高的認(rèn)識，知識的連接點是圖形的轉(zhuǎn)化和變換 。在教學(xué)新知識之前除了要復(fù)習(xí)好以上的內(nèi)容外，還要指導(dǎo)學(xué)生回憶平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程，喚起“ 轉(zhuǎn)化圖形、建立聯(lián)系、推導(dǎo)公式”的學(xué)習(xí)方法的認(rèn)識。

第三，用數(shù)方格求面積是有一定局限性的，今天我們來研究如何求三角形的面積？一石激起千層浪，由數(shù)方格方法的局限性這一認(rèn)識的困惑與沖突，有效地引發(fā)了學(xué)生探究面積計算公式的生長點，使學(xué)生有了探究發(fā)現(xiàn)的空間。

二、三角形面積計算公式的推導(dǎo)

第一，操作學(xué)具。啟發(fā)學(xué)生用兩個完全一樣三角形拼成一個學(xué)過的那些圖形？請同學(xué)們通過拼一拼，折一折，剪一剪，轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形。這里把“新”問題轉(zhuǎn)化成了“老”問題來解決，有效地把學(xué)法指導(dǎo)融入到了教學(xué)中，給學(xué)生創(chuàng)造了更廣闊、更真實的自主空間，無疑有利于學(xué)生可持續(xù)性發(fā)展。學(xué)生動手、動腦相互交流，把兩個完全一樣的三角形轉(zhuǎn)化成了平行四邊形、長方形和正方形，得出“兩個完全一樣的直角三角形，可以拼成一個長方形、正方形或平行四邊形”。

第二，觀察與思考。提出問題引導(dǎo)學(xué)生觀察拼成的正方形、長方形或平行四邊形與三角形的關(guān)系。三角形的底和高與正方形的邊長、長方形的長與寬，以及平行四邊形底和高的關(guān)系？解決轉(zhuǎn)化前后圖形間的關(guān)系：一是大小的關(guān)系，通過比較學(xué)生們發(fā)現(xiàn)，兩個完全一樣的三角形拼成的圖形跟三角形關(guān)系是S = S÷2。二是底和高的關(guān)系，拼割前后各部分有什么關(guān)系？因為平行四邊形的面積是底×高，它是由兩個三角形拼成的，所以三角形的面積是底×高÷2。

第三，推導(dǎo)公式。利用圖形之間各部分的對應(yīng)關(guān)系，思考它們面積之間的關(guān)系，最終推導(dǎo)出：因為，平行四邊形面積＝底×高（平行四邊形的面積是兩個與它等底等高的三角形面積的2倍），所以， 三角形的面積 ＝底×高÷2。如果我用S表示三角形的面積，a表示三角形的底，h表示三角形的高，那三角形的面積公式表示為S=a×h÷2。

第四，深化認(rèn)識。為了使學(xué)生加深對三角形面積計算公式的理解，進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生，用一個三角形通過割補的辦法推導(dǎo)出三角形的面積計算公式。一是把一個等腰三角形對折，然后從中間剪開拼成了一個長方形，這個長方形的底是三角形的底的一半，高是三角形的高，因為長方形的面積是長×寬，長方形的面積等于三角形的面積，所以三角形的面積是底×高÷2；二是把一個直角三角形的上面對折下來，然后剪開，把它補在一邊，拼成了一個長方形。這個長方形的長是三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的面積是底×高÷2；三是把一個三角形沿著兩邊的重點對折，然后又把底邊的重點這樣對折，折成了一個長方形，這個長方形的底是三角形底的一半，寬是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面積是底×高÷2；四把一個長方形沿對角線折疊，因為長方形的面積是長×寬，長方形是兩個三角形拼成的，所以，三角形的面積是底×高÷2。學(xué)生通過動手，動腦，相互交流，得出如下計算公式：三角形面積＝底×（高÷2）；三角形面積＝（底÷2）×高。

第五，歸納總結(jié)。發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造思維為重點，引導(dǎo)學(xué)生用多種方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過觀察、操作、比較、歸納、抽象概括推導(dǎo)出公式，沒有通過太多的練習(xí)卻獲得了超常規(guī)的解題能力。這過程是學(xué)生自主探究的過程，是學(xué)生綜合能力培養(yǎng)和提高的過程。不僅深化了對公式的理解而且滲透了轉(zhuǎn)化和變換的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生操作能力和分析概括的能力，發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。