向量在立體幾何中的幾點(diǎn)應(yīng)用

鄭麗艷

立體幾何題是高考必考內(nèi)容之一，縱觀幾年來(lái)的高考真題，我們可以發(fā)現(xiàn)絕大部分的立體幾何題都可以利用幾何法和向量法求解。但是當(dāng)我們采用幾何法解題時(shí)，常常需要作出一些輔助線，這些輔助線的成功作出要求學(xué)生具有較強(qiáng)的空間想象力，對(duì)有的學(xué)生來(lái)說(shuō)這比較困難。而當(dāng)我們采用向量法解題時(shí)，不再需要作輔助線，只需套用向量計(jì)算公式即可。因此，向量法深受學(xué)生喜愛。

筆者具有多年數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)向量法解題有一定的研究。立體幾何題型大致有以下幾種：求距離、求角和證明。以向量法為解題方式，就如何解決立體幾何題做出以下介紹，希望能夠?qū)τ嘘P(guān)人士有所幫助。

一、向量法在求距離中的應(yīng)用

求距離的問(wèn)題在立體幾何題型中是最常出現(xiàn)的，有些距離問(wèn)題我們通過(guò)線段平移、等效替換和幾何法可以輕松解決。但是有些題目比較復(fù)雜，作出輔助線比較困難，學(xué)生根本無(wú)從下手，這就到了向量法大顯身手的時(shí)候了。

求距離的題目類型較多，在此以向量法為手段，進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。在課堂上，老師要注意讓學(xué)生明白向量法的使用原理，讓他們能夠輕松自如地應(yīng)用向量法。

1.求兩點(diǎn)之間的距離——用向量法求兩點(diǎn)之間的距離。在根據(jù)已知條件作好坐標(biāo)系的情況下，求出所求兩點(diǎn)的向量坐標(biāo)，然后再求出兩向量的模，則模就是兩點(diǎn)之間的距離。這是最簡(jiǎn)單的類型，老師只要讓學(xué)生明白求距離的原理，那么下面的各種題型就會(huì)迎刃而解。

2. 求點(diǎn)到直線之間的距離——如圖1所示：P為直線a外一點(diǎn)，Q為a上任意一點(diǎn)，PO⊥a于點(diǎn)O，所以點(diǎn)P到直線a的距離為 |PO|=d。根據(jù)向量法，求出P、Q兩點(diǎn)的向量坐標(biāo)，在三角形POQ內(nèi)利用∠PQO求出d的大小。這樣的題目也要讓學(xué)生明白求解原理，只有懂了原理學(xué)生才能夠主動(dòng)地應(yīng)用這種解題套路。

3. 求點(diǎn)到平面的距離——如圖2所示：設(shè)A為平面α外一點(diǎn)，AB是平面α的一條斜線，交平面α于點(diǎn)B，而向量n是平面α的法向量，那么向量AB在向量n上的投影就是點(diǎn)A到平面的距離d。從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，那么求解方法就比較簡(jiǎn)單了。老師在課堂上授課的時(shí)候，可以將這種方法反復(fù)講解。因?yàn)樵谡n改以前的解題方式只有幾何法，老師教得多了，學(xué)生應(yīng)用的頻率自然就高了。

4. 求直線與它平行的平面及求兩個(gè)平行的平面之間的距離——這樣的求距離的題目看似很難，是因?yàn)閷W(xué)生的思維模式基本定在幾何的方向上，他們畫出輔助線，卻不能夠找到相關(guān)線段的長(zhǎng)度，致使最后解題無(wú)從下手。其實(shí)只要換個(gè)思路，改用向量法求解，題目就可以轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到直線的距離。這樣，題目就會(huì)變得十分簡(jiǎn)單。

雖然求距離的題型較多，但是其求解方法是萬(wàn)變不離其宗的。我們只要抓住關(guān)鍵，那么求解任何問(wèn)題都是很容易。在此，可以總結(jié)一下，一定要根據(jù)所求題目，作出合理合適的平面直角坐標(biāo)系，然后求出各點(diǎn)的向量坐標(biāo)，再利用所學(xué)的理論知識(shí)，套用公式，最后解出題目。

二、向量法在求角中的應(yīng)用

在立體幾何題型中，第一個(gè)部分不是求距離就是求角度。所以老師在授課時(shí)，一定要抓住這個(gè)重點(diǎn)。讓學(xué)生在高考中輕松地拿下立體幾何的第一部分的分?jǐn)?shù)。同樣的道理，距離的求解使用向量法會(huì)變得有規(guī)律可循，其實(shí)在求角度的問(wèn)題，我們同樣可以使用向量法。老師通過(guò)講解使學(xué)生明白求解原理，形成一種解題套路，最后拿下立體幾何第一部分。

在求角度的問(wèn)題中也包括很多類型，如求兩條異面直線形成的角、直線與平面所形成的角及二面角等。雖然題型很多，但是求解原理卻是一樣的。在新課標(biāo)的要求下，我們要追隨新理念，摒棄舊思維，堅(jiān)持向?qū)W生灌輸向量法解題的妙處，努力構(gòu)建學(xué)生的另一種解題模式。下面以一道例題為例，講解向量法在求角度中的應(yīng)用。已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E是SB的中點(diǎn)，如圖3所示。求異面直線AE，SD所成的角。

其實(shí)這道題目并不是很難，利用幾何法可以輕松地解決。因?yàn)檫@道題的輔助線作法十分簡(jiǎn)單，一眼就可以看出來(lái)。再利用三角形內(nèi)長(zhǎng)度與角度的關(guān)系，就能夠解出此題。但是我們不能僅僅讓學(xué)生明白這種做法，因?yàn)榱Ⅲw幾何題第一部分求角度或者距離比較簡(jiǎn)單，但是第二部分證明會(huì)比較困難。我們要在一開始就引導(dǎo)學(xué)生使用向量法，這樣證明題也會(huì)變得簡(jiǎn)單。此題，我們先選擇合適的平面直角坐標(biāo)系，如圖4所示。

這樣，有了坐標(biāo)系以后，只要求出A，E，S，D四點(diǎn)的向量坐標(biāo)，再代入求異面直線所成角的公式中就能夠解決此題了。關(guān)鍵就是正確作出坐標(biāo)系，求出個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。這個(gè)準(zhǔn)備工作做好了，解題就不是問(wèn)題了。

三、向量法在證明中的應(yīng)用

證明題是立體幾何題中最難的部分，通常是出現(xiàn)在一道題的第二部分。上面所說(shuō)的求距離、求角度基本都會(huì)出現(xiàn)在第一部分。通過(guò)以上講述，在明白第一部分以后，我們接下來(lái)討論第二部分。

學(xué)過(guò)幾何的同學(xué)都明白，證明題才是幾何的難點(diǎn)與重點(diǎn)。在高考中，學(xué)生能否拿到高成績(jī)與學(xué)生能否解決立體幾何題第二部分有很大的關(guān)系。作為數(shù)學(xué)老師，我之所以強(qiáng)調(diào)學(xué)生多多采用向量法解決立體幾何題就與此有關(guān)，因?yàn)橄蛄糠▽㈦y題轉(zhuǎn)化成一種容易的解題模式，對(duì)于每個(gè)學(xué)生都適用。下面以一道例題為證：在正四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD平面ABCD，E、F分別為AB、SC的中點(diǎn)，如圖5所示，證明：EF//平面SAD。

這是一道簡(jiǎn)單的證明題，求證的是平行的關(guān)系。在幾何法中，證明平行關(guān)系要畫出輔助線，與平面SAD垂直，再證明輔助線與EF垂直即可。這種解題思路估計(jì)每一位同學(xué)都是會(huì)的，我們要使用向量法解題，開拓學(xué)生思維方式，為將來(lái)面對(duì)高考打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在圖5中，已畫出簡(jiǎn)單的平面直角坐標(biāo)系。去SD中點(diǎn)為G，求出點(diǎn)S、B、C、E、F、G的向量坐標(biāo)，再證明向量EF與向量AG是共線向量，就可以證明EF//平面SAD。

其實(shí)，在我看來(lái)，還是向量法比較簡(jiǎn)單。雖然每道題的求解思路是一樣的，但是它的求解過(guò)程是簡(jiǎn)單的。不像幾何法，它需要學(xué)生進(jìn)行復(fù)雜思考，準(zhǔn)確地畫出輔助線，再通過(guò)各種轉(zhuǎn)化與變換證明所求。這對(duì)有的學(xué)生來(lái)說(shuō)比較復(fù)雜，不如向量法大眾化，每一位同學(xué)都可以輕松駕馭。

向量法這種解題方式是在新課標(biāo)改革后才出現(xiàn)的，數(shù)學(xué)老師一定要引起關(guān)注。老師要順應(yīng)時(shí)代的發(fā)展，不能一直止步不前。 在課堂教學(xué)中，適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生灌輸向量法這一解題思路，為學(xué)生面對(duì)高考打好基礎(chǔ)，賦予學(xué)生實(shí)力與信心，使他們面對(duì)高考不再恐慌。