以思想方法為線索設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)混合式微課程

【摘 要】同一數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含于多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科中，每一門數(shù)學(xué)學(xué)科也含有多種數(shù)學(xué)思想方法；設(shè)計(jì)微課時(shí)先確定重點(diǎn)要體現(xiàn)的思想方法，根據(jù)數(shù)學(xué)思想方法選擇微課內(nèi)容，通過學(xué)習(xí)資源、活動(dòng)與評(píng)價(jià)促使學(xué)生理解蘊(yùn)含于知識(shí)中的思想方法并會(huì)應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)深層次學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】微課程 數(shù)學(xué)思想方法 混合式

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2016）01C-0137-03

信息技術(shù)的發(fā)展推動(dòng)教育形式變革，將教育模式與教育理念帶入“微課程時(shí)代”，各級(jí)各類微課程制作與評(píng)比活動(dòng)蓬勃開展。在眾多網(wǎng)絡(luò)提供的數(shù)學(xué)微課程中，可以看到設(shè)計(jì)者在設(shè)計(jì)微課程的學(xué)習(xí)資源時(shí)，對(duì)于新技術(shù)的運(yùn)用非常成熟，視頻、音頻、動(dòng)畫等各種素材兼?zhèn)?，但比較其中優(yōu)秀者與普通者，可以發(fā)現(xiàn)：好的微課程需要體現(xiàn)本學(xué)科的核心元素——蘊(yùn)含于知識(shí)中的思想方法。如果僅停留在知識(shí)堆積、素材拼搭的程度，這樣的微課程缺乏靈魂，不能振聾發(fā)聵、促人深省。

數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)方法是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中所采用的各種措施、方式、途徑等。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化。實(shí)際中兩者通常結(jié)合在一起稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)活動(dòng)之中，掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)是領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的前提；而掌握數(shù)學(xué)思想方法之后能更深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)深層次學(xué)習(xí)和應(yīng)用。下面以線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)為例，分別探討以思想方法為線索設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)混合式微課程。

一、線性代數(shù)微課程設(shè)計(jì)研究

（一）線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法

1.化歸思想

化歸思想是將現(xiàn)有問題轉(zhuǎn)化為較易解決的問題或已有解決方案的問題的數(shù)學(xué)思想。如：解方程中通過恒等變形將一般方程化為最簡(jiǎn)形；幾何證明中通過邏輯演繹推理論證的過程；解析幾何中通過坐標(biāo)變換將曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)型的過程等。線性代數(shù)主要研究三大問題：解多元線性方程組、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型、化簡(jiǎn)多元線性變換，這三個(gè)問題中均含有化歸思想，可歸結(jié)為矩陣的轉(zhuǎn)化問題。如：在線性變換Y=AX最簡(jiǎn)化過程中，需對(duì)矩陣A作相似變換P-1AP轉(zhuǎn)化為它的相似矩陣；在線性方程組AX=b的求解過程中，需用初等變換將矩陣A轉(zhuǎn)化為它的等價(jià)矩陣。

2.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是綜合應(yīng)用代數(shù)方法與幾何方法，以形明數(shù)、以數(shù)析形的數(shù)學(xué)思想。一方面通過直觀圖形闡明數(shù)量間關(guān)系，另一方面根據(jù)數(shù)量關(guān)系分析幾何圖形特征與變化規(guī)律。解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范。通過向量建立點(diǎn)與有序數(shù)組間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，將位置量化，進(jìn)而將曲線及曲面看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，建立曲線及曲面的方程。線性代數(shù)中許多概念與解析幾何相呼應(yīng)。三元線性方程的行向量對(duì)應(yīng)三維歐式空間中的向量，構(gòu)成三維行空間。推廣到n元，在n維歐式空間中應(yīng)用坐標(biāo)、正交、基、維數(shù)、子空間等概念，確定n元線性方程組解的存在性，解的形式等。解析幾何為線性代數(shù)提供直觀解釋，這是數(shù)形結(jié)合思想的一大應(yīng)用。

3.近似替代思想

近似替代思想是在局部用簡(jiǎn)單函數(shù)替代復(fù)雜函數(shù)的思想。在一元函數(shù)近似計(jì)算中，需要討論在某個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)用一次函數(shù)近似替代復(fù)雜函數(shù)，即在局部用直線近似替代復(fù)雜曲線問題。將近似計(jì)算問題從一元推廣到多元，就產(chǎn)生多元函數(shù)的近似替代問題，它促進(jìn)線性代數(shù)的產(chǎn)生。多元光滑函數(shù)當(dāng)自變量改變很小時(shí)接近于某個(gè)線性函數(shù)，就是它的全微分。多元光滑函數(shù)的全微分是自變量增量的線性齊次函數(shù)。因而研究多元函數(shù)局部性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為研究多元線性函數(shù)問題。

（二）以數(shù)學(xué)思想方法為線索設(shè)計(jì)線性代數(shù)微課

線性代數(shù)課程中主要的數(shù)學(xué)思想方法是化歸思想，下面以化歸思想為例，探討如何將思想方法作為貫穿教學(xué)內(nèi)容的線索設(shè)計(jì)微課程。

在設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容“解多元線性方程組”時(shí)，說明對(duì)多元線性方程組的系數(shù)矩陣做初等變換的目的和結(jié)果，指出系數(shù)矩陣的最簡(jiǎn)形有利于快速確定基礎(chǔ)解系。在設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容“線性變換”時(shí)，說明通過對(duì)線性變換的系數(shù)矩陣做相似變換可以將線性變換的矩陣化簡(jiǎn)，從而能得到相對(duì)簡(jiǎn)潔的形式。在設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容“二次型”時(shí)，說明通過對(duì)二次型的對(duì)應(yīng)矩陣做合同變換，將二次型的矩陣化簡(jiǎn)為對(duì)角形，從而化簡(jiǎn)二次型表達(dá)式。

以微課“矩陣乘法”為例，矩陣乘法是一種特殊運(yùn)算，屬于基本概念課。如果不呼應(yīng)整體課程蘊(yùn)含的化歸思想，將是一節(jié)平平淡淡的課。但如果在設(shè)計(jì)中考慮到矩陣乘法是實(shí)現(xiàn)化歸思想的基本步驟，矩陣的各種變換都是通過矩陣乘法實(shí)現(xiàn)的，那就賦予這節(jié)課靈魂。在這節(jié)微課中，首先通過實(shí)例說明矩陣乘法產(chǎn)生的背景，從實(shí)例中提出問題：從“各單位需求原料表與各種原料價(jià)格表”這兩張數(shù)表中，如何快速得出每個(gè)單位需求原料的總價(jià)格？通過這個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生思考這種矩陣間的運(yùn)算該如何操作，共同分析后得出將需求表與價(jià)格表中對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)先相乘再相加的運(yùn)算規(guī)則，并將這種運(yùn)算定義為矩陣乘法?！靶枨蟊砼c價(jià)格表”實(shí)例表明在實(shí)際工作中運(yùn)用矩陣乘法能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算，同時(shí)指出由于實(shí)際意義不同，矩陣左乘與右乘不一定都能實(shí)現(xiàn)。而后將內(nèi)容深化，說明矩陣乘法是矩陣變換的基本形式，為后文講述矩陣變換做鋪墊。最后介紹矩陣乘法在計(jì)算機(jī)作圖方面的應(yīng)用：改變圖形形狀、圖形銳化、圖形加密等。

二、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)微課程設(shè)計(jì)研究

（一）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的數(shù)學(xué)思想方法

1.隨機(jī)思想

隨機(jī)思想是用確定性方法來研究不確定性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)思想。隨機(jī)變量是概率論中的重要概念，用隨機(jī)變量X屬于某個(gè)實(shí)數(shù)集S來表示隨機(jī)事件，則概率P{X∈S}隨之唯一確定。這樣以數(shù)集S為自變量，以概率P{X∈S}為因變量得到隨機(jī)變量X的取值規(guī)律。在此基礎(chǔ)上定義離散型隨機(jī)變量的概率分布律、分布函數(shù)和連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、分布函數(shù)。

2.極限思想

極限思想是指在運(yùn)動(dòng)變化過程中研究無限逼近問題的數(shù)學(xué)思想。在概率論中，大數(shù)定律與中心極限定理都用到了極限思想。伯努利大數(shù)定律表明當(dāng)n充分大時(shí)，事件“頻率與概率P的偏差小于ε”是幾乎必定要發(fā)生的。它說明了頻率的穩(wěn)定性，奠定概率論的基礎(chǔ)。中心極限定理表明當(dāng)n充分大時(shí)，獨(dú)立同分布隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn的算術(shù)平均近似服從正態(tài)分布。這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大樣本理論的基礎(chǔ)。

3.統(tǒng)計(jì)推斷思想

統(tǒng)計(jì)推斷思想是根據(jù)隨機(jī)樣本統(tǒng)計(jì)特征估計(jì)、推測(cè)總體概率特征的一種數(shù)學(xué)思想。數(shù)理統(tǒng)計(jì)以概率論為基礎(chǔ)，通過分析樣本數(shù)據(jù)，從而對(duì)研究對(duì)象總體的分布、數(shù)字特征或總體間的性質(zhì)做出估計(jì)和判斷。常見的統(tǒng)計(jì)方法有：參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析、回歸分析等。作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)的延伸，統(tǒng)計(jì)學(xué)在社會(huì)科學(xué)中應(yīng)用廣泛。著名數(shù)學(xué)思想家M·克萊茵說過：對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)來說，如果僅僅進(jìn)行收集、統(tǒng)計(jì)并不是一種新思想，它的新穎之處在于統(tǒng)計(jì)方法能夠作為一個(gè)重要的方法來處理社會(huì)科學(xué)問題。

4.公理化思想

公理化思想是從盡可能少的原始概念和公理或公設(shè)出發(fā)，利用純邏輯推理原則，把一門數(shù)學(xué)學(xué)科建立成為演繹系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想。公理化思想是常見的數(shù)學(xué)思想方法，在概率論中表現(xiàn)得較為突出。

概率中最基本的三個(gè)概念為：樣本空間Ω、事件域R和概率P，它們描述了一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的基本組成部分，是概率論中的原始概念。其中概率P被定義為建立在樣本空間Ω中事件域R上且滿足三個(gè)條件：非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性的實(shí)值函數(shù)。概率定義中的三個(gè)條件就是三條公理，由這些公理出發(fā)可推出概率的其它一些性質(zhì)，如：不可能事件的概率為0、有限可加性、減法公式等，進(jìn)而導(dǎo)出一般加法公式、條件概率、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式等，形成完整的公理化結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

5.模型思想

模型思想是把所考察的實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，根據(jù)數(shù)量關(guān)系構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，研究模型以解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)模型是由數(shù)字、字母、符號(hào)組成的描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形或算法。模型思想廣泛存在于各個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科中。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程與實(shí)際聯(lián)系緊密，其中大量的概念、公式來源于諸如古典概型、各種隨機(jī)變量、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、可靠性等問題的研究，解決這些問題需要用到模型思想。模型思想實(shí)際就是應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想，是最重要的數(shù)學(xué)思想。

（二）以數(shù)學(xué)思想方法為線索設(shè)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)微課

在概率論中，實(shí)現(xiàn)思維從確定性到不確定性的轉(zhuǎn)變是一方面，采用確定性方法分析、研究不確定性現(xiàn)象是另一方面，蘊(yùn)含其中的主要是隨機(jī)思想。在教學(xué)設(shè)計(jì)中既要注重案例分析，通過案例分析揭示隨機(jī)現(xiàn)象的特征及其中蘊(yùn)含的規(guī)律；又要強(qiáng)調(diào)用確定性方法分析不確定性現(xiàn)象的特點(diǎn)，研究隨機(jī)變量的概率分布、數(shù)字特征等特性，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象整體規(guī)律做出描述。

如微課“貝葉斯公式”，貝葉斯公式描述兩類隨機(jī)事件分別先后發(fā)生時(shí)條件概率間的關(guān)系，是根據(jù)先驗(yàn)概率計(jì)算后驗(yàn)概率的概率公式，是概率教學(xué)中的難點(diǎn)。貝葉斯公式中用到條件概率、乘法公式、全概公式，是對(duì)概率公式的綜合應(yīng)用，也是對(duì)各類隨機(jī)事件的綜合事件的整體處理。設(shè)計(jì)好“貝葉斯公式”這節(jié)課是促進(jìn)思維從確定性到不確定性的轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵步驟。在微課設(shè)計(jì)中，首先講解案例“刺殺里根總統(tǒng)”，辯護(hù)律師指出兇手Hinckley患有腦萎縮，因而為Hinckley做無罪辯護(hù)。通過這個(gè)案例提出問題：已知美國(guó)正常人患腦萎縮的概率為0.02，精神病患者患腦萎縮的概率為0.3，精神病患者占美國(guó)總?cè)丝诘?.5%，分析兇手Hinckley患有精神障礙的可能性。經(jīng)過分析研討，得出判斷Hinckley是否患有精神障礙的公式，即貝葉斯公式。然后指出在“概率論”中有一類問題需要根據(jù)已有的條件概率來反推當(dāng)前提條件發(fā)生轉(zhuǎn)換時(shí)的概率，解決這類問題就需要用到貝葉斯公式。最后介紹貝葉斯公式在生產(chǎn)與決策方面的應(yīng)用。

同一數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含于多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科中，每一門數(shù)學(xué)學(xué)科也含有多種數(shù)學(xué)思想方法。設(shè)計(jì)微課程時(shí)先確定重點(diǎn)要體現(xiàn)的思想方法，根據(jù)數(shù)學(xué)思想方法選擇微課程內(nèi)容，在每節(jié)微課中采用典型素材進(jìn)行設(shè)計(jì)。案例分析中提供的兩節(jié)微課分別以線性代數(shù)中的化歸思想和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的隨機(jī)思想為主導(dǎo)思想，通過典型素材教學(xué)活動(dòng)引發(fā)學(xué)習(xí)者深度思考，促進(jìn)學(xué)生理解蘊(yùn)含于知識(shí)中的深層思想方法。這樣的微課不再是“知識(shí)+練習(xí)”的“記憶+訓(xùn)練”模式，它啟發(fā)學(xué)生理解基本思想、掌握基本概念與理論，將二者融匯貫通，達(dá)到對(duì)知識(shí)的深化理解。

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