普通高校概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)之體會(huì)

黃麗容（福建江夏學(xué)院數(shù)學(xué)物理教研部，福建福州350108）

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普通高校概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)之體會(huì)

黃麗容
（福建江夏學(xué)院數(shù)學(xué)物理教研部，福建福州350108）

摘要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門(mén)頗具特色的數(shù)學(xué)學(xué)科。由于其廣泛的應(yīng)用性，普通高校的許多非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)因?qū)I(yè)學(xué)習(xí)的需要都開(kāi)設(shè)此課程。本文主要針對(duì)該課程的特點(diǎn)，結(jié)合筆者在普通高校的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)如何提高概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)效果提出幾點(diǎn)措施。

關(guān)鍵詞：普通本科高校；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；教學(xué)方法

Abstract:Probability and Mathematical statistics is an important branch in Mathematics. Since probability and statistics has been used extensively, it is a compulsory course for students not only in mathematics, but also in other specialities. According to the authorˊs experience in the teaching of this course, the paper proposes several methods to improve the teaching of probability and statistics.

Keywords:the general undergraduate colleges; probability theory & mathematical statistics; teaching methods

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門(mén)頗具特色的數(shù)學(xué)學(xué)科。由于其應(yīng)用性很強(qiáng)又很廣，因此，高校包括普通高校的很多非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)，如經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、物流管理、財(cái)務(wù)會(huì)計(jì)、工程等由于后續(xù)課程的學(xué)習(xí)或是因?yàn)閷?zhuān)業(yè)發(fā)展的需要須開(kāi)設(shè)此課程。但由于該課程研究的是具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的隨機(jī)現(xiàn)象，而不是確定性現(xiàn)象，因此，在學(xué)習(xí)方法上與高校學(xué)生之前所學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)、線(xiàn)性代數(shù)等其它數(shù)學(xué)課程有較大的區(qū)別。在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)遇到較多獨(dú)特的概念和分析方法，因此，初學(xué)者往往會(huì)感到很不習(xí)慣，甚至覺(jué)得很困難。為活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，該課程的應(yīng)用性極強(qiáng)的特點(diǎn)使得教師們都在嘗試或努力通過(guò)案例教學(xué)等方法提高課堂教學(xué)效果。這也是教授此課程的教師們都已在嘗試或努力把握的方向。對(duì)于重點(diǎn)高校的學(xué)生來(lái)說(shuō)，由于學(xué)生總體數(shù)學(xué)功底較好，邏輯思維較強(qiáng)，只要有了學(xué)習(xí)的動(dòng)力與興趣，學(xué)習(xí)效果就比較明顯。相反，普通高校的學(xué)生總體上數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)比較薄弱，數(shù)學(xué)的思維和邏輯性等都乃待繼續(xù)提高。因此，在普通高校的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中，教師不僅要注重加強(qiáng)案例教學(xué)等教學(xué)方法，提高課堂學(xué)習(xí)的趣味性并理論聯(lián)系實(shí)際，提高學(xué)生抽象思維的能力并學(xué)以致用，而且還需循序漸進(jìn)，注重基本數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，基本方法的鞏固與提高。

一、選取典型實(shí)際例題，注重啟發(fā)，解決入手困難的問(wèn)題

由于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)該課程的特點(diǎn)決定了大部分內(nèi)容都存在與實(shí)際生活相關(guān)的案例，因課時(shí)的限制，教師應(yīng)注重選取典型的例題，通過(guò)教師深入淺出、巧妙地引導(dǎo)，讓學(xué)生深刻地體會(huì)到概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)既然是一門(mén)數(shù)學(xué)的分支，它離不開(kāi)學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)分支一樣的思維方法，但是，又由于其獨(dú)特性，有其自身的獨(dú)特的分析方法。如在教授幾種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布時(shí)，講完二項(xiàng)分布、泊松分布及泊松定理后，教師可舉如下實(shí)際例子。設(shè)某地有2500人參加某種人壽保險(xiǎn)，每人在年初向保險(xiǎn)公司交付保險(xiǎn)金200元，如果在1年內(nèi)投保人死亡，則其家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取5萬(wàn)元，設(shè)該類(lèi)投保人死亡率為0.002，試計(jì)算保險(xiǎn)公司“虧本”和“獲利不少于10萬(wàn)元”的概率。

教師先觀察學(xué)生的反應(yīng)情況，如果大部分學(xué)生一開(kāi)始不知如何入手，比較茫然，這時(shí)教師可以做如下啟發(fā)：在該問(wèn)題背景下，保險(xiǎn)公司虧本或獲利受什么影響？這時(shí)學(xué)生的思考就有了目標(biāo)和方向：虧本或獲利由一年內(nèi)保險(xiǎn)公司的理賠的次數(shù)，即投保人中一年內(nèi)的死亡人數(shù)來(lái)決定，這是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵。這對(duì)普通高校的普通專(zhuān)業(yè)的學(xué)生而言，是難點(diǎn)之一，因?yàn)閷W(xué)生面對(duì)實(shí)際問(wèn)題，往往不知如何入手，而概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課程又是充滿(mǎn)很多實(shí)際生活問(wèn)題的一門(mén)課程。在該門(mén)課程的教學(xué)中，對(duì)于每一個(gè)問(wèn)題教師必須通過(guò)逐步啟發(fā)，巧妙的引導(dǎo)，打消學(xué)生畏懼解決實(shí)際生活問(wèn)題的心理。通過(guò)教師有意識(shí)的訓(xùn)練，一段時(shí)間后就會(huì)慢慢轉(zhuǎn)化為學(xué)生的自發(fā)的思考。

通過(guò)啟發(fā)，于是就引出隨機(jī)變量X表示投保人中一年內(nèi)的死亡人數(shù)，根據(jù)題意，X～B(n,p)，這里n=2500，p=0.002。“保險(xiǎn)公司虧本”意味著收入小于支出，即200×2500＜50000X，即事件（保險(xiǎn)公司虧本）=(X＞10)，因此，保險(xiǎn)公司虧本的概率為。但是，由于n很大，p很小，人工計(jì)算卻不容易。經(jīng)過(guò)不懈努力，法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的泊松定理為我們快速而又較準(zhǔn)確算出p(X=k)=Cknpk(1-p)n-k的值帶來(lái)極大的方便。泊松定理告訴我們?cè)趎很大，p很小時(shí)可用泊松分布作為二項(xiàng)分布的近似計(jì)算，連接這兩者的橋梁是λ=np,其中λ是泊松分布的參數(shù)。于是，由泊松定理可得，X近似的服從參數(shù)λ=5泊松分布。而泊松分布有現(xiàn)成的泊松分布函數(shù)表，只要查相應(yīng)的值即可得到相應(yīng)的概率。通過(guò)分析，保險(xiǎn)公司虧本的概率為。同理，可算出保險(xiǎn)公司獲利不少于10萬(wàn)元的概率為。由此可見(jiàn)，保險(xiǎn)公司虧本的概率很小，而盈利不少于10萬(wàn)的概率卻很大。

二、要有前瞻性，注重細(xì)節(jié)，為后面內(nèi)容打下伏筆

獨(dú)立同分布的概念是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念，特別是概率論極限理論的內(nèi)容及數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分，這個(gè)概念都被廣泛應(yīng)用，許多定理中都要求所給隨機(jī)變量系列是獨(dú)立同分布的。如果教師在上隨機(jī)變量的獨(dú)立性概念后，順便牽出同分布的概念，這樣會(huì)讓學(xué)生在后續(xù)課程中一旦出現(xiàn)獨(dú)立同分布這個(gè)概念就有其深刻的印象。例如，設(shè)離散型隨機(jī)變量X-1和X-2是相互獨(dú)立且就有如下的分布規(guī)律：

i=1，2，3，…，n。于是，得到隨機(jī)變量系列X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的且同分布。經(jīng)過(guò)教師的逐步引導(dǎo)啟發(fā)，學(xué)生就會(huì)對(duì)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的且同分布留下深刻的印象。那么，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分的教授時(shí)，學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的概念就很容易接受了：若隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn為總體X的一個(gè)容量為總體n的樣本，若滿(mǎn)足（1）獨(dú)立性，即X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立；（2）同分布性，即每一個(gè)Xi(i=1，2，…，n)都與總體X服從相同的分布，則這樣的樣本稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱(chēng)為樣本。

三、了解學(xué)生的實(shí)際，循序漸進(jìn)，強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)的環(huán)節(jié)

而對(duì)于此題的詳細(xì)過(guò)程基礎(chǔ)知識(shí)比較扎實(shí)的學(xué)生就能理解的很清楚，但基礎(chǔ)不太扎實(shí)的學(xué)生往往沒(méi)辦法按正確的邏輯思維逐步考慮，經(jīng)常會(huì)有學(xué)生認(rèn)為當(dāng)時(shí)，則這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生做題目只是憑感覺(jué)，但他們往往還自認(rèn)為是正確的，這時(shí)教師應(yīng)能直接點(diǎn)出問(wèn)題之所在：當(dāng)時(shí)，由概率密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系可知：,這樣學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)是錯(cuò)誤的，問(wèn)題在于沒(méi)有根據(jù)，想當(dāng)然的解法往往容易造成錯(cuò)誤。

四、選取合適的習(xí)題，注重鞏固提高

正是這門(mén)課程的特點(diǎn)使得初學(xué)者特別是普通高校的學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往感覺(jué)入門(mén)困難，這里提及的入門(mén)主要涉及概率論基本知識(shí)和基本方法的學(xué)習(xí)，許多不同版本的書(shū)一般都把該內(nèi)容安排在第一章，如隨機(jī)事件的概念、概率的古典定義、概率的加法法則、條件概率、乘法法則、事件的獨(dú)立性、全概公式與貝葉斯公式、貝努利公式及應(yīng)用。學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的主要目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)快速并正確的算出自然界和實(shí)際生活中的相應(yīng)事件的概率，初步領(lǐng)會(huì)并接受該學(xué)科的思想與精髓。所以教師要選取典型的例題和習(xí)題強(qiáng)化相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

概率的公理化定義可以推導(dǎo)出概率的一些重要性質(zhì)，其中涉及概率計(jì)算的性質(zhì)有加法公式和減法公式。加法公式告訴我們?nèi)绻麉⑴c運(yùn)算的兩個(gè)事件是互不相容的，則此兩事件的和的概率等于概率的和。減法公式則表明如果參與運(yùn)算的兩個(gè)事件具有包含關(guān)系，則這兩事件的差的概率等于概率的差。但是，有很多學(xué)生在應(yīng)用這兩個(gè)公式時(shí)，經(jīng)常把公式適用的條件給忽略了，對(duì)于所考慮問(wèn)題不論是否符合條件都應(yīng)用了相應(yīng)的結(jié)論，甚至在乘積公式未學(xué)之前也往往就會(huì)有乘積的順口溜：乘積的概率等于概率的乘積。因此，教師在教授和與差的公式中，一定要通過(guò)選取一些典型的例題或習(xí)題加以強(qiáng)調(diào)。例如，通過(guò)讓學(xué)生做如下兩個(gè)練習(xí)并加以強(qiáng)調(diào)總結(jié)。練習(xí)1，袋中有外形一樣的白球與紅球各1，每次取一只球，有放回地取兩次，設(shè)Ai表示第i次取到白球（i=1,2），則P(A2-A1)=?。學(xué)生在完成類(lèi)似以上的習(xí)題時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)這樣的解法：P (A2-A1)=P(A2)-P(A1)=0，而根據(jù)常識(shí)我們知道所求事件即第二次取到白球但第一次取到紅球的概率不會(huì)為零，為什么會(huì)出現(xiàn)這種矛盾呢？問(wèn)題在于該背景下事件A1和事件A2不具有包

含關(guān)系，即不具備應(yīng)用差的公式的條件。所以一旦運(yùn)用了該公式，就會(huì)造成錯(cuò)誤。此時(shí)，再分析正確的做法：截至當(dāng)前，計(jì)算概率的公式只有加法公式和減法公式，根據(jù)題意及現(xiàn)有知識(shí)最可行的做法是想法設(shè)法把參與計(jì)算的兩個(gè)事件轉(zhuǎn)化成有包含關(guān)系，即A2-A1=A2-A2A1，然后利用差的公式即可得出結(jié)論。練習(xí)2，設(shè)隨機(jī)事件A,B及其和事件A+B的概率分別為0.4,0.3和0.6。若B表示B的對(duì)立事件，那么積事件AB的概率P(AB)= ?。學(xué)生在解決習(xí)題2這種基本題時(shí)往往會(huì)有部分學(xué)生利用P(AB)=P(A)P(B)快速的得出結(jié)果。教師這時(shí)通過(guò)啟發(fā)學(xué)生一起回顧所學(xué)知識(shí)來(lái)找出問(wèn)題之所在，并強(qiáng)調(diào)所有應(yīng)用一定要有嚴(yán)格的理論依據(jù)，這是所有數(shù)學(xué)的分支共有的特點(diǎn)，不同在于該課程區(qū)別于以往大家所學(xué)的其它數(shù)學(xué)課程，截至上該節(jié)課時(shí)，該課程涉及的理論較少，因而很容易驗(yàn)證所完成的步驟是否有根據(jù)。總結(jié)并引出思考：從概率的公理化定義中我們學(xué)習(xí)并應(yīng)用了概率的一些性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，其中涉及概率的計(jì)算的有概率的加法公式和減法公式。

總之，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課程的教授過(guò)程中，教師要根據(jù)普通高校學(xué)生的特點(diǎn)采取靈活多樣的方式在不失學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性的基礎(chǔ)上，仍能注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

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作者簡(jiǎn)介：黃麗容(1975，9-)，女，漢，福建福安，博士，講師，研究方向：非線(xiàn)性分析及其應(yīng)用。

中圖分類(lèi)號(hào)：G642

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2096-000X（2016）04-0095-03