數(shù)列求和的基本思想方法淺談

寧夏石嘴山市光明中學 卜耀鋒

數(shù)列求和的基本思想方法淺談

寧夏石嘴山市光明中學 卜耀鋒

高中數(shù)學數(shù)列方法

數(shù)列知識是數(shù)學必修五所學內(nèi)容，是高中數(shù)學的重點知識之一，也是高考必考內(nèi)容之一.數(shù)列作為特殊的函數(shù)，數(shù)列知識一直是高考必考的知識點，以等差數(shù)列和等比數(shù)列知識為基礎，通?？疾閿?shù)列求和等問題，對學生的要求較高.通過研究教材中數(shù)列的知識，結合高考中對數(shù)列知識的考查來看，對數(shù)列的考查既注重知識又兼顧方法.本文結合近些年的高考試題和教材的相關內(nèi)容，通過對數(shù)列求和方法的總結研究，歸納出數(shù)列的幾種常見求和方法.

一、基本法（公式法）

教育部考試中心編寫的考試大綱以及考試大綱的說明中明確指出，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.說明對于數(shù)列的求和重點在于等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式及其求和的思想方法.等差數(shù)列的前n項和Sn=等比數(shù)列的前n項和Sn=na1（q=1）

二、倒序相加法

Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an…（1），Sn=an+ an-1+an-2+…+a2+a1…（2）.

將（1）、（2）兩式相加得2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an-1+a2）+（an+a1），這種方法稱之為倒序相加求和法，其特點就是一個數(shù)列的首尾等距的項之和相等.數(shù)列求和，需要對和式化簡，比如在等差數(shù)列求和化簡中，結合和式Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an的結構特點，充分運用了等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，對和式Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an進行化簡.

三、錯位相減法

1.等比數(shù)列求和公式.

在等比數(shù)列｛an｝中，首項為a1，公比為q，

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1（3），

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn（4），

將（3）、（4）兩式相減得（1-q）Sn=a1-a1qn=a1（1-qn），當q=1時，Sn=na1，當q≠ 1時

2.錯位相減法求和.

錯位相減法通常適合一個由等差數(shù)列和等比數(shù)列對應項的乘積構成的數(shù)列求和，即cn=anbn，其中｛an｝是等差數(shù)列，｛bn｝是等比數(shù)列，且｛bn｝不是常數(shù)數(shù)列（即公比q≠1）.在求和時，由前n項和Sn定義寫出Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn，然后構造第二個和式qSn=a1b1q+a2b2q+a3b3q+…+an-1bn-1q+anbnq.兩式相減，化簡合并得到Sn.例如2010年新課標Ⅱ卷解答題第17題設數(shù)列｛an｝滿足a1=2，an+1-an=3·22n-1，（Ⅱ）令bn=nan，求數(shù)列的前n項和Sn.考查錯位相減法求和法的應用.

四、裂項相消法

裂項相消求和法實際上就是分組求和法的綜合應用，即通過把數(shù)列｛an｝的通項an代數(shù)變形，整體拆分成兩項或者三項差的形式，通過合并化簡，求和的方法.通常情況下數(shù)列｛an｝是分式的形式，分母是等差數(shù)列連續(xù)（多間隔）k項的乘積，分子是常數(shù)的數(shù)列.常見的形式為

例如201 1年新課標Ⅱ卷解答題第17題等比數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6.（Ⅱ）設bn=log3a1+ log3a2+…+log3an，求數(shù)列的前n項和.考查裂項求和法的應用.

數(shù)列求和，要從通項公式入手，首先確定通項公式，其次通過對通項公式變形或分析通項公式結構特征，選擇恰當?shù)那蠛头椒?對于非等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和，第一種思路：轉化的思想，即將一般數(shù)列設法轉化為等差數(shù)列或者是等比數(shù)列，這一思想方法往往通過對通項的分解或錯位相減來完成；第二種思路：不能轉化為等差數(shù)列和等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等求和.