變形Boussinesq方程組的精確解

李　偉，張金良

(河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 洛陽(yáng) 471023)

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變形Boussinesq方程組的精確解

李偉，張金良

(河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 洛陽(yáng) 471023)

摘要：利用簡(jiǎn)化齊次平衡方法，導(dǎo)出了從一個(gè)線性方程的解到變形Boussinesq方程組的解之間的非線性變換。借助于線性方程的解及非線性變換，求出了變形Boussinesq方程組的多重孤波解、有理函數(shù)解及關(guān)于空間變量的周期解等。

關(guān)鍵詞：變形Boussinesq方程組；簡(jiǎn)化齊次平衡方法；非線性變換；多重孤波解；關(guān)于空間變量的周期解；有理函數(shù)解

0引言

本文討論如下形式的變形 Boussinesq方程組:

(1)

其中：u=u(x,t)為水平速度；H=H(x,t)為偏離液體平衡位置的高度。該方程組是一個(gè)描述色散波的模型。近年來(lái)，齊次平衡方法被廣泛用來(lái)導(dǎo)出非線性變換、精確解[1-6]以及自貝克隆變換[7-9]。文獻(xiàn)[1]用齊次平衡方法得出了變形Boussinesq方程組的單孤波解。簡(jiǎn)化齊次平衡方法[10]的主要思想是用對(duì)數(shù)函數(shù)A(lnφ)取代原始齊次平衡方法中的待定函數(shù)f=f(φ)。本文利用該方法導(dǎo)出了一個(gè)線性方程的解到變形Boussinesq方程組的解之間的非線性變換，求出了變形Boussinesq方程組的多重孤波解、有理函數(shù)解及關(guān)于空間變量的周期解等。這說(shuō)明利用簡(jiǎn)化齊次平衡方法求解孤波方程可以得到更豐富的精確解。

1非線性變換

考慮方程組(1)中uux與Hx、(Hu)x與uxxx的齊次平衡 (2m+1=n+1,m+n+1=m+3?m=1,n=2)，按照簡(jiǎn)化齊次平衡方法,可設(shè)方程組(1)的解具有下列形式：

(2)

其中：A和B為待定非零常數(shù)；φ=φ(x,t)為待定正函數(shù)。將式(2)代入方程組(1)的左端可得：

(3)

(4)

(5)

解方程組(5)得：

A=±2,B=2。

(6)

將式(6)代入式(2)得：

(7)

利用方程組(5)和式(6),式(3)和式(4)可簡(jiǎn)化為：

(8)

(9)

只要φ=φ(x,t)滿足線性方程：

φt±φxx=0。

(10)

由式(7)~式(10)可得：若函數(shù)φ=φ(x,t)是線性方程(10)的一個(gè)解，將之代入式(7)，就可得到變形Boussinesq方程組(1)的解；式(7)與線性方程(10)一起構(gòu)成了由線性方程(10)的解到變形Boussinesq方程組(1)的解之間的非線性變換，從而可借助線性方程(10)的解得到方程組(1)的解。

2變形Boussinesq 方程組的精確解

2.1　變形Boussinesq方程組的多重孤波解

為了解線性方程(10)，假設(shè):

φ=φ(ξ)；ξ=kx+ωt+l,

(11)

其中：k,ω和l為待定常數(shù)。

將式(11)代入線性方程(10)得：

ωφ′±k2φ″=0。

(12)

解方程(12)得到如下解：

(13)

其中：k,ω和l為任意常數(shù)。

將式(13)代入式(7)得：

(14)

(15)

在文獻(xiàn)[1]的式(26)和式(25)中，令c=-ω/k,d=-ω2/k2,e=-ωl/k2,即可分別得到本文式(14)和式(15) (ω/k2的系數(shù)取負(fù)的情況)。

由于k,ω和l是任意常數(shù)，線性方程(10)的解具有線性可加性，可得線性方程(10)的解：

(16)

其中：ki,ωi和li為任意常數(shù)，i=1,2,…,N。

將式(16)代入式(7)得：

此解是方程組(1)的多重孤波解，在文獻(xiàn)[1]中沒(méi)有出現(xiàn)。

2.2　變形Boussinesq方程組的有理函數(shù)解及關(guān)于空間變量的周期解

為了得出線性方程(10)的解，假設(shè)：

(17)

其中：mi(x)為待定函數(shù)，i=0,1,…,N。

將式(17)代入線性方程(10)得：

(m1(x)±m(xù)″0(x))+(2m2(x)±m(xù)″1(x))t+…+(NmN(x)±m(xù)″N-1(x))tN-1±m(xù)″N(x)tN=0。

由于上式中1,t,…,tN線性無(wú)關(guān),可知它們的系數(shù)為0，即:

m1(x)±m(xù)″0(x)=0，…，NmN(x)±m(xù)″N-1(x)=0； m″N(x)=0。

(18)

解方程組(18)得：

(19)

其中：aj為任意常數(shù)。

將式(17)和式(19)代入式(7)，可得方程組(1)的有理函數(shù)解：

此外，容易得出線性方程(10)有如下解：

(20)

(21)

(22)

將式(20)~式(22)分別代入式(7)得到方程組(1)的精確解為：

其中：(u4,Η4)和 (u5,Η5)為關(guān)于空間變量x的周期解； (u3、Η3)、 (u4,Η4)和 (u5,Η5)在文獻(xiàn)[1]中沒(méi)有出現(xiàn)。

3結(jié)論

本文運(yùn)用簡(jiǎn)化齊次平衡方法，得到了從一個(gè)線性方程的解到變形Boussinesq方程組的解之間的非線性變換。利用該非線性變換，變形Boussinesq方程組被線性化了。利用線性方程組的解，得到了變形Boussinesq方程組的多重孤波解、有理函數(shù)解及關(guān)于空間變量的周期解。本文所得到絕大部分解在文獻(xiàn)[1]中沒(méi)有出現(xiàn)，表明簡(jiǎn)化齊次平衡方法是一種更簡(jiǎn)潔高效的求解非線性發(fā)展方程精確解的方法，該方法也可用來(lái)求解其他非線性發(fā)展方程。

致謝：本文得到王明亮教授的指導(dǎo)，在此表示衷心感謝。

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文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.2

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.02.019

文章編號(hào)：1672-6871(2016)02-0092-04

收稿日期：2015-12-03

作者簡(jiǎn)介：李偉(1964-),女,河南偃師人,副教授,碩士,研究方向?yàn)榉蔷€性數(shù)學(xué)物理方程.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11171227);河南省科技攻關(guān)基金項(xiàng)目(132102310309)