脈沖微分方程的block-by-block方法

馬群長，曹俊英，孫　濤，王自強(qiáng)

(1.貴州民族大學(xué) 理學(xué)院，貴州 貴陽 550025；2.上海金融學(xué)院 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，上海 201209)

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脈沖微分方程的block-by-block方法

馬群長1，曹俊英1，孫濤2，王自強(qiáng)1

(1.貴州民族大學(xué) 理學(xué)院，貴州 貴陽 550025；2.上海金融學(xué)院 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，上海 201209)

摘要：針對(duì)脈沖微分方程初值問題，首先，將脈沖微分方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)積分方程，然后，對(duì)等價(jià)的積分方程利用block-by-block方法構(gòu)造了一個(gè)高階數(shù)值格式，并分析了該數(shù)值格式的收斂性和穩(wěn)定性。數(shù)值算例驗(yàn)證了理論分析的正確性。

關(guān)鍵詞：脈沖微分方程；block-by-block方法；數(shù)值格式；收斂性；穩(wěn)定性分析

0引言

許多反映客觀現(xiàn)實(shí)的物理模型都具有脈沖現(xiàn)象，即物理模型在發(fā)展的某些階段,由于受到外部的作用或系統(tǒng)內(nèi)部自身的原因，使得系統(tǒng)瞬間改變?cè)械臓顟B(tài)。脈沖微分系統(tǒng)能夠更深刻、更精確地反映瞬間突變事物的變化規(guī)律。正因?yàn)槿绱?，脈沖微分方程引起了國內(nèi)外眾多學(xué)者的研究興趣。文獻(xiàn)[1-2]利用Runge-Kutta方法分析了一類線性脈沖微分方程，并證明該數(shù)值方法是穩(wěn)定的。文獻(xiàn)[3]分析了脈沖微分方程的配置點(diǎn)法，并給出了數(shù)值算例。文獻(xiàn)[4]利用 Runge-Kutta方法研究了具有時(shí)間變化的脈沖微分方程，并分析了格式的收斂性。文獻(xiàn)[5]分析了二階脈沖微分方程三點(diǎn)邊值問題解的存在性。文獻(xiàn)[6]分析了脈沖微分方程精確解與數(shù)值解的漸近穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[7]分析了脈沖微分方程Runge-Kutta方法的漸近穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[8]分析了脈沖微分方程的迭代學(xué)習(xí)控制問題。

但是，以上針對(duì)脈沖微分方程初值問題構(gòu)造的數(shù)值算法的缺點(diǎn)是精度低、計(jì)算量大。 文獻(xiàn)[9]對(duì)經(jīng)典的block-by-block方法求解分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值格式給出了最優(yōu)誤差估計(jì)。 文獻(xiàn)[10]利用修正的block-by-block方法求解二維分?jǐn)?shù)階Volterra積分方程。 本文將利用經(jīng)典的block-by-block方法數(shù)值求解脈沖微分方程，主要針對(duì)線性脈沖微分方程建立了一個(gè)新的高階數(shù)值格式，并分析該數(shù)值格式的收斂性和穩(wěn)定性，最后，通過數(shù)值算例驗(yàn)證了數(shù)值算法的有效性。

1數(shù)值格式

考慮如下脈沖微分方程：

(1)

由文獻(xiàn)[8]可知：當(dāng)f,Ik分別滿足單邊Lipschitz 條件和經(jīng)典 Lipschitz 條件時(shí),問題(1)可以轉(zhuǎn)化為如下等價(jià)積分方程：

(2)

因此，由方程(1)可得脈沖項(xiàng)的表達(dá)式為：

(3)

(4)

(5)

將式(5)代入式(4)并整理可得：

(6)

因此，第2m+1步的數(shù)值格式為：

(7)

(8)

此即第2m+2步的數(shù)值格式：

(9)

聯(lián)立式(7)和式(9)，對(duì)于m=1,2,…,N-1,有如下block-by-block數(shù)值格式:

(10)

2收斂性分析

本節(jié)主要分析block-by-block數(shù)值格式(10)的收斂性。 首先，假設(shè)f(t,x)和Ik(x)關(guān)于自變量x均滿足Lipschitz條件，即存在正常數(shù)L1和L2，使得：

(11)

定理1設(shè)f(·,x(·))∈C4(Ω)且滿足式(11)，則數(shù)值格式(10)收斂，且其收斂精度為O(h4)。

(12)

同理，

(13)

(14)

類似地，

(15)

同理，

(16)

聯(lián)立式(15)和式(16)可得：

(17)

(18)

(19)

同理，

(20)

聯(lián)立式(18)~式(20)可得：

(21)

類似于式(15)的證明，可得：

(22)

同理，

(23)

由式(22)和式(23)可得：

(24)

證明完畢。

3穩(wěn)定性分析

與常微分方程一樣，本節(jié)將研究右端項(xiàng)和脈沖項(xiàng)為

f(t,x(t)):=λx(t);△x(t)=Ik(x(t))=βx(t)

(25)

的數(shù)值格式(10)的穩(wěn)定性，其中，λ，β為非零實(shí)數(shù)。

(26)

其中：C只與L2和λ有關(guān)。

證明將f(t,x(t))=λx(t)代入到數(shù)值格式(10)，有：

(27)

解方程組(27)得：

(28)

(29)

其中：A1=(12-5hλ)/[(2hλ-3)2+3]；A2=[hλ(5-2hλ)]/[(2hλ-3)2+3]；B1=(8hλ+12)/[(2hλ-3)2+3]；B2=[4hλ(hλ+1)]/[(2hλ-3)2+3]。

由式(28)可知：

(30)

為了證明數(shù)值格式(10)的穩(wěn)定性，采用數(shù)學(xué)歸納法證之，詳細(xì)步驟如下：

(Ⅰ)當(dāng)n=0時(shí)，由式(30)有：

(31)

再應(yīng)用離散的 Gronwall不等式，可得：

(32)

其中：C只與λ有關(guān)。

同理，由式(29)可證：

(33)

(Ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k-1時(shí)，結(jié)論成立，即：

(34)

(Ⅲ)當(dāng)n=k時(shí)，

(35)

聯(lián)立式(30)、式(34)和式(35)可得：

(36)

對(duì)式(36)應(yīng)用離散的 Gronwall不等式，可得：

(37)

其中：C只與L2和λ有關(guān)。

同理可得：

(38)

證明完畢。

4數(shù)值算例

本節(jié)將利用前文構(gòu)造的block-by-lock數(shù)值格式(10)求解脈沖微分方程。

例1考慮如下脈沖微分方程初值問題：

(39)

由文獻(xiàn)[2]可知：該問題的精確解為x(t)=0.5e1.3{t}((1+(-0.8))e1.3)[t],其中，{t}和[t]分別代表t的小數(shù)部分和最大整數(shù)部分。

表1　最大絕對(duì)誤差和收斂階隨步長h的變化

5結(jié)論

本文利用block-by-block方法，對(duì)脈沖微分方程構(gòu)造了一個(gè)高階數(shù)值格式，并證明了該數(shù)值格式具有四階收斂精度，同時(shí)，還給出了該數(shù)值格式的穩(wěn)定性分析過程。最后，數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了該數(shù)值格式的有效性。雖然本文僅考慮了一類具有脈沖項(xiàng)的常微分方程模型問題，但是該方法可以很容易推廣到求解具有脈沖項(xiàng)的偏微分方程中。

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文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類號(hào)：O241.8

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.02.017

文章編號(hào)：1672-6871(2016)02-0082-06

收稿日期：2015-08-24

作者簡介：馬群長(1987-),男,貴州威寧人,碩士生；王自強(qiáng)(1981-)，男，通信作者，河南禹州人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)槲⒎址匠虜?shù)值解與復(fù)合材料多尺度分析.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11426074,11501140,11401380);貴州省科技廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目([2014]2098，[2013]2144);貴州省教育廳基金項(xiàng)目([2013]405)