《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教學(xué)的研究

馮麗萍

【摘 要】《復(fù)變函數(shù)與積分變換》是工程數(shù)學(xué)的一門基礎(chǔ)課程，本文針對該課程課時少而內(nèi)容多的特點，對這門課程的教學(xué)提出幾點個人看法。

【關(guān)鍵詞】復(fù)變函數(shù)；積分變換；教學(xué)

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程是大學(xué)本科理工科類專業(yè)的一門基礎(chǔ)課。復(fù)變函數(shù)論主要是在研究流體力學(xué)、電力學(xué)、空氣動力學(xué)、熱力學(xué)以及理論物理學(xué)中發(fā)展起來的，為解決這些學(xué)科的一些實際問題起了相當(dāng)大的作用。復(fù)變函數(shù)與積分變換理論和數(shù)學(xué)的其他分支也有密切聯(lián)系。復(fù)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的拓展和延伸，其中的保形映射在偏微分方程中有著重要的應(yīng)用；積分變換中的傅立葉變換在微分方程、積分方程、概率與數(shù)理統(tǒng)計論、泛函分析學(xué)以及數(shù)論等學(xué)科中都是重要的工具。即使是最簡單的函數(shù)，比如多項式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，也只有在復(fù)變函數(shù)中才能體現(xiàn)其本質(zhì)。另外，作為一種特別有用的工具，復(fù)變函數(shù)當(dāng)中的留數(shù)理論可以用來解決很多高等數(shù)學(xué)中難以解決的問題。因此，復(fù)變函數(shù)與積分變換以它的完美的理論與精湛的技巧成為大學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要組成部分。

雖然《復(fù)變函數(shù)與積分變換》這門課程有著重要的作用，不過大部分高校對此課程設(shè)置的課時都比較少，基本上都是三十二學(xué)時或者四十八學(xué)時，相對于《高等數(shù)學(xué)》來說，這些課時是非常有限的。在有限的時間內(nèi)，如何能讓學(xué)生充分利用每周的少量課時，理解和掌握這門課程的精髓，并為以后的各門專業(yè)課打下堅實的基礎(chǔ)，這一點對于每一位授課老師以及學(xué)生來說都是極其重要的。以下根據(jù)我任教十幾年來對該門課程的理解，簡單談?wù)勎覍?fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)的幾點看法。

1 總結(jié)同一概念和性質(zhì)在復(fù)變函數(shù)和高等數(shù)學(xué)中的相似與不同，加強理解和記憶

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》這門課程的內(nèi)容主要有兩部分，前半部分是復(fù)變函數(shù)，后半部分是積分變換。其中復(fù)變函數(shù)以理論為主，積分變換以應(yīng)用為主。復(fù)變函數(shù)是以高等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，同時也是高等數(shù)學(xué)中實數(shù)域向復(fù)數(shù)域的擴展，因此復(fù)變函數(shù)中的大部分概念都是和高等數(shù)學(xué)的概念類似，性質(zhì)也基本上都是相同的。其中第一章復(fù)變函數(shù)的概念中，區(qū)域的概念，復(fù)變函數(shù)的概念，復(fù)變函數(shù)的極限的概念，復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)等和實數(shù)域中相似；第三章復(fù)變函數(shù)的積分中，積分的概念和實數(shù)域的定積分，重積分的概念一致，都是通過對所求變量按照“分割，近似替代，求和，取極限”這四個過程來定義的；第四章級數(shù)中，復(fù)變函數(shù)的冪級數(shù)，泰勒級數(shù)也與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的級數(shù)，泰勒級數(shù)的概念一致。在講授這些內(nèi)容的時候，任課老師可以先和同學(xué)們一起簡單的回憶《高等數(shù)學(xué)》中的概念和性質(zhì)，與復(fù)變函數(shù)結(jié)論有區(qū)別的地方可以重點說明，接著講解新內(nèi)容，相似點可以直接類比，對于不同的地方需要重點強調(diào)，而且可以啟發(fā)學(xué)生去思考不同之處的根源。復(fù)變函數(shù)中的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是無界函數(shù)，指數(shù)函數(shù)是周期函數(shù)，對數(shù)函數(shù)是多值函數(shù)等，這些內(nèi)容如果任課教師在講臺上只是一味的照本宣科，學(xué)生會覺得這是內(nèi)容的重復(fù)，聽起課來肯定興趣不高；如果老師能充分調(diào)動學(xué)生的積極性，讓他們自己去帶著問題思考，帶著問題聽課，讓他們自己找到相似點和區(qū)別，不僅師生之間可以有良好的互動性，學(xué)生也會對自己總結(jié)的這些知識加深印象。

2 把握側(cè)重點，強調(diào)課程的特色

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》這門課的課時一般不多，但是它包含的內(nèi)容卻很多，因此要想在比較少的時間內(nèi)將所有的內(nèi)容都詳細的介紹，那肯定是不可能的。授課老師在上課之前應(yīng)該掌握該課程的側(cè)重點，合理的安排好每個章節(jié)的授課時間。在第一章復(fù)變函數(shù)中，復(fù)數(shù)的輻角和復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的三角表示和幾何表示以及復(fù)數(shù)的運算是以后各章內(nèi)容的基礎(chǔ)，這部分內(nèi)容只有講透，學(xué)生才能在以后的學(xué)習(xí)中有個扎實的基礎(chǔ)。復(fù)數(shù)域中的無窮遠點是唯一的一個點，很多課時少的學(xué)校將這部分內(nèi)容作為選講內(nèi)容，但我個人認(rèn)為這是個基礎(chǔ)知識，無窮遠點可以在很多時候簡化計算量，是個很有用的工具，而且在積分變換的內(nèi)容中也會涉及到這方面的知識，這個知識點需要強調(diào)一下；第二章解析函數(shù)中，解析函數(shù)以及解析函數(shù)的充要條件是重點，也是研究復(fù)變函數(shù)在孤立奇點處留數(shù)的前提；第三章復(fù)變函數(shù)的積分，這部分內(nèi)容可以簡單介紹原理，為以后介紹洛朗級數(shù)和留數(shù)做前提；至于用柯西積分公式，柯西古薩定理和高階導(dǎo)數(shù)公式去計算封閉曲線的積分可以簡單讓學(xué)生理解；第四章級數(shù)，洛朗級數(shù)是重點，任課老師要讓學(xué)生理解洛朗級數(shù)和泰勒級數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別，并學(xué)會如何將同一復(fù)變函數(shù)在不同點，不同的圓環(huán)域內(nèi)，展開成洛朗級數(shù)；第五章留數(shù)是個新的概念，也是復(fù)變函數(shù)的核心，對學(xué)生來說是個全新的知識，任課老師在講授這部分內(nèi)容時可以適當(dāng)放慢速度，利用解析函數(shù)和洛朗級數(shù)的相關(guān)理論讓學(xué)生理解核心概念-留數(shù)的定義，掌握利用留數(shù)和洛朗級數(shù)去解決積分問題的方法。留數(shù)是復(fù)變函數(shù)理論當(dāng)中一個重要知識點，留數(shù)理論也可以用來解決一些高等數(shù)學(xué)中很難求解的積分問題。這樣學(xué)生可以感受到復(fù)變函數(shù)除了是實數(shù)域中理論的拓展，還可以反過來解決實數(shù)域中的很多難題。

3 積分變換是一個工具，側(cè)重于應(yīng)用

積分變換中主要有兩個積分變換-傅立葉變換和拉普拉斯變換。這兩個變換是相互聯(lián)系又有區(qū)別。傅立葉變換是由周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)推廣得到的，拉普拉斯變換是在傅立葉變換的基礎(chǔ)上優(yōu)化得來的，這一部分的概念可以簡單講解。積分變換部分關(guān)鍵是要讓學(xué)生學(xué)會利用這兩個工具解決一些實際問題，比如在現(xiàn)代信號處理的應(yīng)用等等；也可以增加一些時尚的和生活實際的應(yīng)用問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)然這也對授課老師提出了較高的要求，要求教師能夠?qū)Ψe分變換的可能的應(yīng)用領(lǐng)域以及在其他實際中的用途等多方面的知識都有了解，以方便在教學(xué)中隨時可以調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

4 結(jié)合多媒體，縮短板書時間；縮短上課的周期，提高效率

復(fù)變函數(shù)中有部分概念需要很強的空間想象能力，例如基本初等函數(shù)的實部與虛部、復(fù)數(shù)的模與輻角、復(fù)球面的概念，函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)等；積分變換部分，工程上經(jīng)常出現(xiàn)的單位脈沖函數(shù)，這些對于剛剛接觸到這門課程的學(xué)生來說，都是是非常抽象的。如果可以通過多媒體軟件展示這些概念，就會直觀的多，學(xué)生也容易理解。對工科的大部分學(xué)生來說，復(fù)變函數(shù)與積分變換只是一個解決問題的工具，很多結(jié)論沒有必要要求學(xué)生去掌握具體原因，只需要學(xué)會并熟練運用結(jié)論就可以了。比如第三章的柯西-古薩定理，復(fù)合閉路定理，柯西積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式等這些結(jié)論，學(xué)生只要能會運用就可以了。但是這幾個結(jié)論相對來說都很長，如果授課老師板書到黑板上需要浪費很多時間，如果只是照著課本念一下，學(xué)生又沒有什么印象。利用電子ppt，在每次需要用的時候可以直接拿出來，而且可以針對每個結(jié)論，對應(yīng)的舉例說明，那樣就可以節(jié)省不少的時間。

最后對于小學(xué)時的課程，希望能夠縮短上課的周期，變成前半學(xué)期或者后半學(xué)期教學(xué)。這一點部分高校已經(jīng)開始實行，一周一次的課程教學(xué)效果遠遠有一周兩三次的效果好。

當(dāng)然授課老師在課堂上為了增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，可以適當(dāng)滲透一些現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生進一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識提供一些接口；聯(lián)系其他相關(guān)課程的知識和工程實際應(yīng)用，以加強學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。比如利用留數(shù)計算積分是復(fù)變函數(shù)理論中一個重要知識點，課堂上除了詳細介紹這些之外也可以介紹一下留數(shù)計算的物理應(yīng)用，如在數(shù)字濾波器性能分析和形狀設(shè)計中的應(yīng)用等，這對于部分同學(xué)來說也是激起他們學(xué)習(xí)興趣的一些理由。

【參考文獻】

[1]復(fù)變函數(shù).西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室編[M].4版.高等教育出版社.

[2]復(fù)變函數(shù)與積分變換.華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系編[M].2版.高等教育出版社.

[3]積分變換.東南大學(xué)數(shù)學(xué)系張元林編[M].4版.高等教育出版社.

[責(zé)任編輯：楊玉潔]