如何提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用題解答能力

□周麗娜

如何提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用題解答能力

□周麗娜

文章結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例，從數(shù)學(xué)讀題能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)3個(gè)方面探討了提高學(xué)生解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題能力的問(wèn)題。

高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)應(yīng)用題；解題能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) (實(shí)驗(yàn))》把“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”作為課程基本理念之一，要貫徹落實(shí)這一理念就必須重視數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)。通常把來(lái)源于客觀世界具有實(shí)際意義或?qū)嶋H背景的、能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式表示、可運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)獲得解決的一類問(wèn)題稱為數(shù)學(xué)應(yīng)用題。解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題，需具備一定的數(shù)學(xué)綜合能力，包括數(shù)學(xué)讀題能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)解題能力等。應(yīng)用題在高考試卷中占據(jù)重要地位，但學(xué)生的得分率卻較低。為此筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，就提高學(xué)生解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力進(jìn)行了初步的探索。

一、數(shù)學(xué)讀題能力的培養(yǎng)

圖1

“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)。”數(shù)學(xué)閱讀既是一個(gè)心理認(rèn)知過(guò)程，也是一個(gè)不斷假設(shè)、證明、想象、推理的數(shù)學(xué)思維過(guò)程。數(shù)學(xué)讀題能力的培養(yǎng)需要將文字、數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)和圖形等語(yǔ)言有機(jī)互譯，靈活轉(zhuǎn)化。

【案例1】（2015年高考江蘇卷第17題）某山區(qū)外圍有兩條互相垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，設(shè)兩條互相垂直的公路為l1、l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，見(jiàn)圖1，M、N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1、l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1、l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l1、l2所在的直線分別為x、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xoy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)（其中a、b為常數(shù)）模型。

（1）求a、b的值。

（2）設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t。①請(qǐng)寫(xiě)出公路長(zhǎng)度的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出其定義域；②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度。

1.指導(dǎo)學(xué)生有效讀題的一般程序

第一遍快速瀏覽了解概況：本題是修路問(wèn)題，跟長(zhǎng)度有關(guān)，應(yīng)馬上聯(lián)想到一些求距離的公式，讀懂圖1，注意曲線C的模型和字母M、N；第二遍收集有效信息，劃出關(guān)鍵詞句，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行理解分析：確定點(diǎn)M坐標(biāo)（5，40），N坐標(biāo)（20，2.5），函數(shù)模型已知，兩個(gè)方程兩個(gè)未知量足以；第三遍仔細(xì)閱讀，找出附加或限制條件作上記號(hào)，為后續(xù)解題做好充分準(zhǔn)備。

2.教師的教學(xué)策略

（1）指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成自主讀題的習(xí)慣。平時(shí)學(xué)生一般不重視數(shù)學(xué)讀題，教師也總喜歡把自己的理解灌輸給學(xué)生，這就使得學(xué)生普遍缺乏閱讀數(shù)學(xué)課本和資料的習(xí)慣，這種現(xiàn)狀迫切需要改變。蘇教版高中數(shù)學(xué)每?jī)?cè)教材的“探究拓展”欄目中都配有一定數(shù)量生動(dòng)、新穎的應(yīng)用題，教師可引導(dǎo)學(xué)生多讀、多練，從而逐步養(yǎng)成自主讀題的習(xí)慣。

（2）提高學(xué)生的讀題技能，加強(qiáng)讀題交流。按有效讀題程序加強(qiáng)訓(xùn)練，在第一遍讀題后，可請(qǐng)不同層次的學(xué)生口頭表達(dá)自己的理解過(guò)程，再讓其他學(xué)生補(bǔ)充，教師及時(shí)給予評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)。應(yīng)用題的讀題一定要舍得花時(shí)間，只有學(xué)生的理解分析能力提高了，讀題速度和水平才會(huì)提高，成功解題的自信心也才會(huì)增強(qiáng)。

二、數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)

“數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。”培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，不僅是貫徹落實(shí)新課程基本理念的需要，更是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，改變學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的需要。

【案例2】某公園有個(gè)池塘，其形狀為直角△ABC，∠C=90°，AB=200米，BC=100米。①現(xiàn)在準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚(yú)，在AB、BC、CA上分別取點(diǎn)D、E、F（見(jiàn)圖2），使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF中喂魚(yú)，求△DEF面積的最大值；②現(xiàn)在準(zhǔn)備新建一個(gè)河塘，在AB、BC、CA上分別取點(diǎn)D、E、F（見(jiàn)圖3），建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休息，且使△DEF為正三角形，求△DEF邊長(zhǎng)的最小值。

圖2

圖3

1.指導(dǎo)學(xué)生掌握建模的一般程序

（1）實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化。從問(wèn)題出發(fā)，把三角形面積、邊長(zhǎng)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題。

（2）針對(duì)函數(shù)值域問(wèn)題，確定相應(yīng)的自變量和應(yīng)變量。問(wèn)題①是一個(gè)直角三角形面積的最值問(wèn)題，自變量自然要轉(zhuǎn)到兩條直角邊上。由于點(diǎn)E在直角△ABC的邊BC上滑動(dòng)，根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)△ABC、△CEF、△BDE為相似三角形，故可設(shè)CE或BE為x，用x表示兩條直角邊EF、DE；問(wèn)題②可把正三角形邊長(zhǎng)作為應(yīng)變量，聯(lián)系三角知識(shí)，可轉(zhuǎn)化到正、余弦定理，故應(yīng)變量自然要選擇角，設(shè)直角△CEF的其中一個(gè)銳角為自變量。通過(guò)逆向思維，可找到符合本題的數(shù)學(xué)知識(shí)。

（3）分析本題，將數(shù)學(xué)問(wèn)題符號(hào)化。

2.教師的教學(xué)策略

（1）聯(lián)系數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行教學(xué)。平時(shí)多結(jié)合數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行教學(xué)，問(wèn)題情境設(shè)計(jì)多選擇生產(chǎn)生活的實(shí)例，蘇教版教材中也有很多可以引用的具體例子。此外，還可引導(dǎo)學(xué)生在日常生活中多用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)嘗試解決周圍的實(shí)際問(wèn)題。

（2）針對(duì)學(xué)生現(xiàn)實(shí)因材施教。教師要轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)教學(xué)觀念和方法，重視數(shù)學(xué)知識(shí)的生活來(lái)源與應(yīng)用價(jià)值的介紹、數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程與方法的教學(xué)，同時(shí)要認(rèn)真分析學(xué)情，針對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際水平，分層設(shè)計(jì)一些有新意的建模情境，激發(fā)學(xué)生探究的欲望。

（3）緊扣教材進(jìn)行提升拓展。新教材很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活的理念。近年來(lái)江蘇省高考數(shù)學(xué)卷中的應(yīng)用題背景都能在教材中找到，如2014年的古橋保護(hù)問(wèn)題、2013年三角形背景的下山行程問(wèn)題、2012年炮彈發(fā)射問(wèn)題等。所以教師應(yīng)緊扣教材進(jìn)行提升拓展，爭(zhēng)取實(shí)現(xiàn)學(xué)生能力發(fā)展與高考成績(jī)的雙豐收。

三、數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)

“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一?！惫P者認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力應(yīng)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的核心。

【案例3】某企業(yè)投入81萬(wàn)元經(jīng)銷某種產(chǎn)品，經(jīng)銷時(shí)間共60個(gè)月，市場(chǎng)調(diào)研表明，該企業(yè)在經(jīng)銷這個(gè)產(chǎn)品期間第x個(gè)月的利潤(rùn)符合f（單位：萬(wàn)元），為獲得更多利潤(rùn)，企業(yè)將每月獲得的利潤(rùn)投入到次月的經(jīng)營(yíng)中，設(shè)第x個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率g（x）=如g（10）；②求第x個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率g（x）；③該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，哪個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率最大，并求該月的當(dāng)月利潤(rùn)率。

1.指導(dǎo)學(xué)生掌握解題的一般程序

（1）審題很重要。

（2）由特殊到一般。

（4）寫(xiě)成分段函數(shù)形式。

（5）函數(shù)最值問(wèn)題的關(guān)鍵是單調(diào)性。根據(jù)g（x）第一段直接利用單調(diào)性可知g（1）最大，第二段利用基本不等式，最值求出不代表結(jié)束，注意限制條件，“當(dāng)且僅當(dāng)即x=40”。

（6）概念要清晰。分段函數(shù)并不是兩個(gè)函數(shù)，故每段最值必須比較大小，取其中較大那個(gè)

（7）書(shū)寫(xiě)要完整。最后把“答”寫(xiě)上。

2.教師的教學(xué)策略

（1）重視數(shù)學(xué)思想與方法。培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目信息仔細(xì)分析，關(guān)注解題后對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的挖掘和反思，重視基本概念反映的思想與方法，讓解題思路來(lái)得自然一些。

（2）不要過(guò)于重視結(jié)論。目前，學(xué)生存在重結(jié)論輕過(guò)程、重方法輕思想的弊病，因而要加強(qiáng)實(shí)踐演練，使學(xué)生體會(huì)解題的過(guò)程與方法，形成有效解題的策略。

總之，提高學(xué)生解答應(yīng)用題的能力，需要教師提高學(xué)生對(duì)應(yīng)用題學(xué)習(xí)的興趣，重視“數(shù)學(xué)化”思想的教學(xué)過(guò)程，并從數(shù)學(xué)讀題、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)解題3個(gè)方面加強(qiáng)指導(dǎo)和訓(xùn)練。

[1]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[S].北京:人民教育出版社,2003.

[2]沈翔.國(guó)際數(shù)學(xué)教育運(yùn)動(dòng)中應(yīng)用問(wèn)題概述[J].數(shù)學(xué)通訊,1999,(8).

（編輯：易繼斌）

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A

1671-0568（2016）33-0082-02

周麗娜，江蘇省昆山中學(xué)教師。