引例淺談數(shù)列不等式的多角度探究

☉江蘇省錫山高級中學(xué)　葛長松

引例淺談數(shù)列不等式的多角度探究

☉江蘇省錫山高級中學(xué)葛長松

數(shù)列與不等式的交匯是高考壓軸命題的主要形式之一，其中常涉及導(dǎo)數(shù)、函數(shù)等知識.主要考查的知識重點和熱點是數(shù)列的通項公式、前n項和公式，以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)學(xué)歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求等.解題中涉及的方法也是多種多樣，本文以2015年安徽卷中的不等式考題為例，就數(shù)列不等式證明中所涉及的方法進行分析.

引例（2015年安徽卷）設(shè)n∈N*，xn是曲線y=x2n+2+1在點（1，2）處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo).

（1）求數(shù)列｛xn｝的通項公式；

（2）記Tn=

本題是對數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、不等式等主干知識的交叉考查.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線的斜率，再求出直線與x軸交點的橫坐標(biāo)，得到數(shù)列通項，最后可利用如下方法證明不等式.

一、利用放縮法

放縮法證明不等式具有綜合性強、形式復(fù)雜、運算要求高的特點，能考查考生思維的嚴密性、深刻性，以及提取和處理信息的能力，較好地體現(xiàn)高考的甄別功能.

解法1：（1）根據(jù)題意得y′=（x2n+2+1）′=（2n+2）x2n+1，得出曲線y=x2n+2+1在點（1，2）處的切線斜率為2n+2.從而可以寫出切線方程為y-2=（2n+2）（x-1）.令y=0，解得切線與x軸交點的橫坐標(biāo)xn=

（2）要證Tn≥需考慮通項通過適當(dāng)放縮能夠使得每項相消即可證明.先表示出，求出初始條件，當(dāng)n=1時，

點評：放縮法的實質(zhì)是非等價轉(zhuǎn)化，其中放縮的目的性很強，需要按照目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特點進行適當(dāng)放縮，湊出目標(biāo).在本例中，不等式的不等號左邊因子的公共表達式是n），就要考慮把它縮小，縮小的方法有無數(shù)多種，方向是什么呢？方向就是得出的n個不等式右邊部分乘起來后便于約分最終出現(xiàn)的形式.由此想到.當(dāng)然在此過程中，一定要注意放縮的尺度，二是要注意從哪一項開始放縮.

二、利用單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性“對于單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意x1，x2，當(dāng)x1< x2時，f（x1）f（x2））”本身就體現(xiàn)出了從f（x1）到f（x2）的放縮，因此，在證明不等式時，有時可以通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行證明.

解法2：（1）同解法1，易求得xn=

（2）令f（n）=4nTn，則，從而f（n）=4nTn在n∈N*上單調(diào)遞增，f（n）≥1，從而4nTn≥ 1，于是Tn≥

點評：這類非明顯的一元函數(shù)的不等式證明問題，關(guān)鍵是先等價變換成某一個一元函數(shù)分別在兩個不同點處的函數(shù)值的大小比較問題，本例當(dāng)把原不等式變形為4n后，觀察到不等號右邊的1恰好是函數(shù)f（n）=4n的函數(shù)值f（1），這樣原問題就等價為證明不等式f（n）≥f（1），這就很自然地啟發(fā)我們研究f（n）的單調(diào)性.利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式時，一要構(gòu)造好函數(shù)解析式，二要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及應(yīng)用范圍.

三、利用數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法常被用于證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，在數(shù)學(xué)上有著重要的用途，因而成為高考的熱點之一.近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法證明給出的結(jié)論，還加強了對于不完全歸納法應(yīng)用的考查，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要能證明結(jié)論的正確.其操作步驟大致可以概括為如下三步：

第一步，證明當(dāng)n取第一個數(shù)n0時命題成立；

第二步，假設(shè)n=k（k∈N*，k≥n0）時命題成立，并以此為前提證明當(dāng)n=k+1時命題亦成立；

第三步，判定結(jié)論，即命題對于n0以后的所有正整數(shù)均成立.

在完成了上述步驟以后，就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.

綜上所述，Tn≥4，對任意n∈N*恒成立.

點評：數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，有固定模式，條理清晰，步驟嚴密，學(xué)生很容易掌握技巧，但也對同學(xué)們的推理能力提出更高的要求.學(xué)習(xí)中應(yīng)該要深刻理解和體會數(shù)學(xué)歸納法的思想內(nèi)涵，這不僅有利于解題，更有利于我們自身對數(shù)學(xué)思想方法的認識.

四、構(gòu)造對偶式

根據(jù)題中某式①的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造與它形式相似并具有某種對稱關(guān)系的對偶式②，再利用①與②之間的運算（主要是加、減、乘）求得新的關(guān)系式，從而使問題獲得解決，這種方法就叫做構(gòu)造對偶式解題.在數(shù)學(xué)解題的過程中，恰當(dāng)?shù)厥褂脤ε挤?，往往能使得問題得到巧妙的解決，收到事半功倍的效果.

點評：構(gòu)造對偶式的方法有多種，像和差對偶（對于u（x）±v（x）可以構(gòu)造u（x）?v（x））、互倒對偶（對式子中某些元素取倒數(shù)來構(gòu)造）、倒序?qū)ε迹▽褪交蚍e式進行倒序構(gòu)造）、定值構(gòu)造（利用和、差、積、商等運算產(chǎn)生定值構(gòu)造）、奇偶構(gòu)造（利用整數(shù)的分類中奇數(shù)與偶數(shù)的對稱性構(gòu)造）等都是經(jīng)常使用的方法，本例就是采用了奇偶構(gòu)造法，構(gòu)造出了一個“意想不到”的對偶式，從而完成了解答.

解題有法，但無定法，要遵循規(guī)律，因題擇法，數(shù)列不等式的證明更需要解題者的智慧和謀略，要掌握以上所述方法，必須多實踐，在實踐中練就扎實的基本功，悟出規(guī)律，這樣才能在今后的解題中舉一反三.F