優(yōu)化解題方法提升運算能力——談圓錐曲線中橢圓問題的求解方法

☉浙江省奉化市第二中學　董　義

優(yōu)化解題方法提升運算能力——談圓錐曲線中橢圓問題的求解方法

☉浙江省奉化市第二中學董義

圓錐曲線中的橢圓問題始終是高考的熱點之一.縱觀近幾年浙江省數(shù)學高考試題，橢圓問題年年考，且難度不小，試題呈現(xiàn)出綜合性高、靈活多變等特點，尤其是其復雜的運算過程，使學生望而生畏.本文以幾個高考題為例，談談此類問題求解的優(yōu)化方法，化繁為簡，提升運算能力.

一、回歸定義，事半功倍

定義是揭示事物的本質(zhì)屬性，在數(shù)學解題過程中，回歸定義并靈活運用，往往能獲得事半功倍之效果.

分析：按常規(guī)思路，先求對稱點Q的坐標，代入橢圓方程，整理得關(guān)于a、c的方程，其計算量巨大，短時間內(nèi)無法完成.

優(yōu)化方法：如圖1，設F1（-c，0），連接QF1，易知OE為△FQF1的中位線，在Rt△FEO中，tan∠EOF=，求得于是|QF1|=由橢圓定義|QF|+|QF1|=2a，化簡得b=c，得e=

圖1

評注：通過創(chuàng)設另一個焦點，利用橢圓定義，建立一個關(guān)于a、b、c的方程，求得e，整個過程自然流暢，運算簡潔.橢圓中涉及有關(guān)焦半徑問題，應優(yōu)先考慮用定義解題，簡化運算.著名的李邦河院士曾說“數(shù)學是玩概念的”，概念是進行一切數(shù)學活動的基礎(chǔ)，我們不僅僅只記住數(shù)學公式，更應重視對數(shù)學概念、定義的理解及應用，感悟數(shù)學本質(zhì).

二、妙用性質(zhì)，峰回路轉(zhuǎn)

橢圓的幾何性質(zhì)是解析幾何重要內(nèi)容之一，妙用幾何性質(zhì)，可以避免繁雜的代數(shù)運算，化繁為簡，輕松解決問題.

例2（2011年浙江省數(shù)學高考理科第17題）設F1、F2分別為橢圓的焦點，點A、B在橢圓上，若則點A的坐標是______.

優(yōu)化方法：如圖2所示，延長直線AF1交橢圓于點B1，由橢圓的中心對稱性知問題轉(zhuǎn)化為了熟悉的直線與橢圓相交問題，可謂峰回路轉(zhuǎn)，此題求解的方法甚多.

圖2

又x1+5x2=-得x1=0，所以A（0，±1）.

評注：妙用橢圓的中心對稱性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合，深刻直觀地揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，從而提高解題效率.

三、設而不求，出奇制勝

處理圓錐曲線中有關(guān)中點弦問題，“點差法”可謂是一種妙法.利用點差法，實現(xiàn)了舍而不求之目的，簡化了解題過程，具有出奇制勝之效.

分析：省考試院給出的參考答案是利用直線AB與橢圓相交的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組，由韋達定理求得AB的中點坐標，代入直線方程，再結(jié)合Δ≥0，求解m的范圍，計算煩瑣，容易出錯.

圖3

優(yōu)化方法：此題涉及中點弦，可用點差法求解，設AB的中點為M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由兩式相減得），利用點M在橢圓內(nèi)，，故實數(shù)m的取值范圍為m>或

評注：“點差法”避免了解方程組帶來的麻煩，降低了運算量，優(yōu)化了解題過程.

四、伸縮變換，另辟蹊徑

例4（2012年浙江省數(shù)學高考理科第21題）如圖4，橢圓，其左焦點到點P（2，1）的距離為.不過原點O的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，且線段AB被直線OP平分.

圖4

（1）求橢圓C的方程；

（2）求△ABP的面積取最大時直線l的方程.

分析：（1）略；（2）由點差法易求出直線AB的斜率，難度是△ABP面積的表示，雖然思路常規(guī)，但是運算量大，極易出錯.學生普遍反映易入手，但拿高分困難.

圖5

評注：橢圓中的三角形面積問題，若用常規(guī)方法求解運算量大，另辟蹊徑，利用坐標的伸縮變換，把問題轉(zhuǎn)為圓問題來解決，通過運用圓的性質(zhì)，避開了解析幾何煩瑣的運算，化繁為簡，甚是妙哉.這也正體現(xiàn)了數(shù)學中最基本的思想方法之一——轉(zhuǎn)化思想.

橢圓問題的求解方法遠不止這些，在解題教學過程中，我們應引導學生掌握其中的通性通法，感悟其中蘊含的數(shù)學思想方法，更應鼓勵學生親力親為，克服心理障礙，扎實提升運算能力.

1.高娟，卜以軍.圓錐曲線的三個重要結(jié)論及其應用［J］.高中數(shù)學教與學，2015（12）.

2.鐘順榮.利用伸縮變換求解直線與橢圓相切問題初探［J］.中學教研（數(shù)學），2015（3）.F