圓錐曲線中有關(guān)線段最值問題的解決方法

☉湖北省武漢中學(xué)　鄒錦輝

圓錐曲線中有關(guān)線段最值問題的解決方法

☉湖北省武漢中學(xué)鄒錦輝

在圓錐曲線中，經(jīng)常遇到求圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)到某個(gè)點(diǎn)或者直線距離的最值問題，往往會(huì)考慮這個(gè)點(diǎn)就是圓錐曲線的特殊點(diǎn)，這很容易產(chǎn)生錯(cuò)誤.在圓錐曲線中距離也可延續(xù)到面積和線段長(zhǎng)度的組合問題等，這些問題都可以根據(jù)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程用適當(dāng)?shù)男问睫D(zhuǎn)化線段，將數(shù)學(xué)問題通過(guò)數(shù)形結(jié)合達(dá)到求解的目的，實(shí)際上就是問題的轉(zhuǎn)化過(guò)程.

一、求圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)到定直線距離的最值問題的解決方法

一般來(lái)說(shuō)，可以直接用點(diǎn)到直線的距離公式，再利用曲線方程的表示形式轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)利用其性質(zhì)解決最值問題，也可以巧妙地利用判別式解決最值問題.其步驟如下：

第一步，設(shè)出與這條直線平行的圓錐曲線的切線y= kx+b.

第二步，切線方程y=kx+b與曲線方程聯(lián)立，消元得到一個(gè)一元二次方程，由Δ=0，求出b的值，即可求出切線方程.

第三步，兩平行線間的距離就是所求的最值.

例1已知點(diǎn)P在直線x+y+5=0上，點(diǎn)Q在拋物線y2= 2x上，則|PQ|的最小值等于_______.

解析：設(shè)與直線x+y+5=0平行且與拋物線y2=2x相切的直線方程是x+y+m=0，則由2m=0.

所以dmin=

例2求拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0的距離的最小值.

解析：設(shè)與拋物線y=-x2相切且與直線4x+3y-8=0平行的直線方程為

二、利用圓錐曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化的方法

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問題，是數(shù)形結(jié)合的最好體現(xiàn)，所以在學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想必將起到重要的作用.此類問題眾多，根據(jù)圓錐曲線的不同性質(zhì)特點(diǎn)將線段轉(zhuǎn)換成特殊位置的線段，比如，可以形成三角形三邊，利用三角形三邊不等式的性質(zhì)解決問題.方法步驟可以為：

第一步，根據(jù)圓錐曲線的定義，把所求的最值轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)線之間的距離等.

第二步，利用兩點(diǎn)間線段最短，或垂線段最短，或三角形的三邊性質(zhì)等找到取得最值的臨界條件，進(jìn)而求出最值.

例3已知A（3，2），F(xiàn)為拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，M為拋物線上任一點(diǎn)，求|MF|+|MA|的最小值及取得最小值時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).

解析：如圖1所示，拋物線y2= 2x的準(zhǔn)線方程為過(guò)M作 MQ垂直準(zhǔn)線于Q 點(diǎn).

圖1

由拋物線定義，得|MQ|=|MF|.

所以|MF|+|MA|=|MA|+|MQ|.

要使|MA|+|MQ|最小，則A，M，Q三點(diǎn)必共線，即AQ垂直于準(zhǔn)線，AQ與拋物線的交點(diǎn)為M.

三、可以利用方程組聯(lián)立轉(zhuǎn)換成函數(shù)的方法

將圓錐曲線方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化成函數(shù)利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解題.

第一步，把所求最值或者最值的目標(biāo)表示為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù).

第二步，通過(guò)研究這個(gè)函數(shù)求最值，是求各類最值最為普遍的方法.

例4若點(diǎn)P在拋物線y2=x上，點(diǎn)Q在圓（x-3）2+y2=1上，則|PQ|的最小值為_______.

所以dmin=

例5設(shè)P、Q分別是圓x2+（y-6）2=2和橢圓上的點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的最大距離是_______.

解析：設(shè)橢圓上的點(diǎn)為（x，y）.

因?yàn)閳Ax2+（y-6）2=2的圓心為（0，6），半徑為所以橢圓上的點(diǎn)與圓心的距離為

四、利用基本不等式法消去參數(shù)得到結(jié)果

其基本步驟為：

第一步，將所求最值的量用變量表示出來(lái).

第二步，用基本不等式求這個(gè)表達(dá)式的最值，并且使用基本不等式求出最值.

例6已知橢圓C1：和動(dòng)圓C2：x2+y2=r2（r>0），直線l：y=kx+m與C1和C2分別有唯一的公共點(diǎn)A和B.

（Ⅰ）求r的取值范圍；

（Ⅱ）求|AB|的最大值，并求此時(shí)圓C2的方程.

分析：（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的方程求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，寫出A、B兩點(diǎn)間的距離，利用k、m、r之間的關(guān)系把兩點(diǎn)間的距離轉(zhuǎn)化為含有r的函數(shù)式，利用基本不等式求|AB|的最大值，并求出此時(shí)圓C2的方程.

由于直線l與C1有唯一的公共點(diǎn)A，故Δ1=64k2m2-16（1+4k2）·（m2-1）=0，從而m2=1+4k2①.

由于直線l與C2有唯一的公共點(diǎn)B，故Δ2=4k2m2-4（1+

由①、②得k2=

由k2≥0，得1≤r2＜4，所以r的取值范圍是［1，2）.

（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）的解答可知x1=

五、圓錐曲線中的最值和范圍問題也可以利用參數(shù)法解決問題

其基本步驟為：

第一步，根據(jù)曲線方程的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)膮?shù)表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo).

第二步，將目標(biāo)函數(shù)表示成關(guān)于參數(shù)的函數(shù).

第三步，把所求的最值歸結(jié)為求解關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù)的最值的方法.

圓錐曲線中線段長(zhǎng)度和距離最值問題在高考中一直是個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，其特點(diǎn)是難度較大，并且運(yùn)算量大，較難得分.如何處理好這個(gè)問題，通過(guò)本節(jié)介紹的方法歸類盡量簡(jiǎn)化計(jì)算達(dá)到做題的目的.F