探尋多元思維方法，彰顯學生“質(zhì)疑”魅力*

☉浙江省黃巖中學　黃仙萍

探尋多元思維方法，彰顯學生“質(zhì)疑”魅力*

☉浙江省黃巖中學黃仙萍

現(xiàn)行的高考體制已經(jīng)搭建了異常激烈的競爭平臺，部分學生已經(jīng)陷入漫無邊際的“題海戰(zhàn)術(shù)”之中，無暇顧及信息資源的深入探究與思考，更無時間主動發(fā)現(xiàn)問題和提出問題；部分教師為了完成所謂的教學進度，不知不覺中實施著“滿堂灌”的教學方法，忽視了學生對主體知識與規(guī)律的探究過程，同時也扼殺了學生質(zhì)疑的機會；解題是高中數(shù)學學習的主要活動，問題主要來源于課本教材、教輔資料和教師提問，學生過分迷信教師和資料的權(quán)威，即使意識研究對象存在問題時，也容易懷疑自己的判斷能力，不敢提出自己的見解、產(chǎn)生質(zhì)疑；筆者在本文中從實際案例的分析出發(fā)，借助于不同的思維方法，鼓勵學生嘗試發(fā)現(xiàn)問題、提出問題及解決問題，以期提升學生的探究能力、質(zhì)疑能力和創(chuàng)新思維能力，以饗讀者.

一、有機整合“條件與結(jié)論”的思維方法，讓學生“質(zhì)疑”

數(shù)學問題的題設(shè)條件與結(jié)論在整合過程中呈現(xiàn)多樣性、靈活性和價值性特征，整合的具體表現(xiàn)為：①判斷原命題的逆、否命題是否正確；②判斷在改變題設(shè)條件后新命題是否成立；③對一題多解或多題一解的探究；④整合類型、結(jié)構(gòu)、方法相似的變式題.

例1在平面直角坐標系xOy中存在直徑為2的半圓O，如圖1所示，B為半圓上任意一點，OA=2，以AB為邊在△AOB外側(cè)作等邊△ABC，試求：當B點處于何位置，四邊形OACB的面積最大？

教師：請同學們思考，改變題設(shè)條件信息能否構(gòu)建新的問題？（如：等邊△ABC性質(zhì)或位置、動點B的位置……）

圖1

生1：僅將題設(shè)中“外側(cè)”→“內(nèi)側(cè)”，試求：四邊形OACB面積的最大值？

生2：僅將等邊△ABC變?yōu)橹苯侨切吻摇螩=90°，試求：四邊形OACB面積的最大值？

生3：將等邊△ABC改為正方形ABCD，試求：五邊形OADCB的最大面積？

生4：在其他條件不變的情況下，在半圓上是否存在一點B，使得直線OC成為∠AOB的角平分線？

生5：在其他條件不變的情況下，在半圓上是否存在一點B，使得AB=OC或者OC長度最大？

在上述教學實踐中，我們不難發(fā)現(xiàn)：學生的思維活動具有分析性、創(chuàng)造性和實踐性特征；學生1、2、3的問題處理起來相對容易些，學生4和5提出的問題存在一定的難度，在課堂上讓學生進行小組討論、協(xié)作交流、教師點撥等方式，其中某一小組匯報生5問題的解法：根據(jù)題意，可令A(yù)（2，0）、B（cosα，sinα）則=（2-cosα，-sinα），60°）］2=5+4sin（α-30°），當α=120°時，取最大值且則5-4cosα=5+4sin（α-30°），即，即α=150°.

評析：在教師的引導下，學生自主參與觀察、思考、分析，從而產(chǎn)生“質(zhì)疑”（課本教材中沒有的觀念或結(jié)論）.實踐表明，在探究新問題處理方法的過程中，即使是細微的發(fā)現(xiàn)也使得學生獲得內(nèi)心的愉悅，極大地激發(fā)了學生探究問題的積極性和興趣，進而促進學生“質(zhì)疑”能力的提升.

二、靈活運用“歸納、類比、聯(lián)想”的思維方法，讓學生“質(zhì)疑”

在高中數(shù)學中，歸納和類比兩種思維方法都具有創(chuàng)造性特征；由特殊推導至一般即為歸納，根據(jù)兩個研究對象某一方面的相似推理至其他方面也有類似之處的方法即為類比；通過合情推理得到的結(jié)論成為新研究的起點，有助于學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題即“質(zhì)疑”；由某一概念引發(fā)其他相關(guān)概念的思維方法即為聯(lián)想，相對于類比而言，具有自由性、活躍性和發(fā)散性特征.

例2已知在拋物線y2=2px（p>0）上存在兩個不同點A和B，O為拋物線的頂點，|OA|=|OB|，試求證：A和B兩點關(guān)于x軸對稱.

教師：本題是以拋物線為探究的對象，同學們是否可以借助于不同的思維方法（歸納、類比、聯(lián)想……）構(gòu)建新的命題？

生6：采用類比的方法，將拋物線改變?yōu)闄E圓，構(gòu)建新命題：A為橢圓（a>b>0）的上頂點，過A點作兩條直線l1和l2交橢圓于B、C兩點，且滿足|AB|=|AC|，試求證：B和C兩點關(guān)于y軸對稱.

證明：令A(yù)（0，b），B（x1，y1），C（x2，y2），代入橢圓方程，結(jié)合|AB|=|AC|聯(lián)立表達式并化簡后可得（y1-y2）·

圖2

教師：（生7）觀察能力很強，敢于“質(zhì)疑”的精神可嘉，是我們學習的榜樣！我們是否可以增加些限制條件，讓該命題成為真命題？

生8：由于y1+y2≥-2b，若滿足<-2b，即b>c時，則添加的限制條件b>c，即可成為真命題.

評析：在傳統(tǒng)的高中數(shù)學課堂教學中，學生處于“被動接受→機械儲存→重復(fù)再現(xiàn)”的學習模式，缺乏觀察、發(fā)現(xiàn)、提出問題的過程；然而，這類“歸納、類比、聯(lián)想”創(chuàng)造性思維方法的運用，能夠讓學生“質(zhì)疑”，進而有效建立概念、探討方法、理解性質(zhì)，提升綜合素質(zhì)與能力.

三、有效突顯“一般與特殊”的思維方法，讓學生“質(zhì)疑”

在處理高中數(shù)學問題中，由特殊過渡至一般能夠提供分析問題的方向，采用一般化的思維方法進行“質(zhì)疑”，源于已有的問題和結(jié)論之上；采用特殊化的思維方法進行“質(zhì)疑”，通常存在一般問題的特殊化和否定性結(jié)論的肯定化兩種類型.

教師：同學生思考能否將題中問題進行一般化的處理，構(gòu)建新命題？如何證明？

生9：將題設(shè)中橢圓的上頂點改成橢圓上任意一點，構(gòu)建新命題：橢圓上不存在互相平行的兩條弦（與坐標軸垂直情況除外）有同一條垂直平分線（如圖3所示）.可以采取反證法證明，問題轉(zhuǎn)化為中點弦問題，采取“點差法”進行處理.（過程省略）

圖3

例4函數(shù)y=f（x）對于任意實數(shù)存在f（x+y）+f（x-y）= 2f（x）cosy且f（0）=0，試猜想函數(shù)f（x）具有的“性質(zhì)特點”，對猜想結(jié)論加以說明.

生10：函數(shù)f（x）=sinx滿足題設(shè)條件，猜想性質(zhì)特點：①f（x）是奇函數(shù)；②f（x）是周期函數(shù)；④?x∈R，|f（x）|≤1；⑤f（x）在］上是增函數(shù).

生11：令x=0，即f（y）+f（-y）=2·f（0）cosy=0，即f（-y）= -f（y），則①成立；令y=即f（x+2π）=f（x），則②成立.

生12：函數(shù)f（x）=0滿足題設(shè)條件，則③和⑤不成立；函數(shù)f（x）=3sinx也滿足條件，最大值為3，則④不成立.

評析：例3中引導學生利用一般化的思維方法進行“質(zhì)疑”，有助于數(shù)學問題的深化理解，領(lǐng)悟問題的本質(zhì)；例4中引導學生利用特殊化的思維方法進行“質(zhì)疑”，有助于學生獲取解決問題的有效途徑和方法，進一步提升學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的綜合能力.

總而言之，在高中數(shù)學學習中，質(zhì)疑是學生有效學習的一種獨特方式，在培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力方面的功效不可小覷，正所謂：提出問題比解決問題更難；的確如此，作為高中數(shù)學教師更新教育觀念，盡可能地營造數(shù)學探究性學習的氛圍，不斷鼓勵學生大膽“質(zhì)疑”，靈活運用多種思維方法培養(yǎng)學生的“質(zhì)疑”能力，進而推動新課改的不斷深化發(fā)展.F

*本文系2016年度臺州市規(guī)劃重點研究課題《結(jié)構(gòu)觀下學生數(shù)學提問能力的培養(yǎng)研究》（編號：TZ16046）的階段性研究成果.