柯召定理的擴(kuò)展及證明*

☉四川省成都市樹德中學(xué)　羅龍熙

柯召定理的擴(kuò)展及證明*

☉四川省成都市樹德中學(xué)羅龍熙

本文將柯召定理中約束條件p的取值進(jìn)行了拓展，從p只能取素?cái)?shù)推廣到了p可以為兩個(gè)素?cái)?shù)之積的形式，推測等式x2-1=yp（p=p1p2，其中p1，p2為大于3的素?cái)?shù)）無正整數(shù)解；并運(yùn)用數(shù)論的理論知識和柯召方法，證明了除外的所有情況下，該等式無正整數(shù)解.

柯召定理擴(kuò)展

一、引言

1842年，法國著名數(shù)學(xué)家Catalan提出的“卡特蘭猜想”是一個(gè)著名的數(shù)論難題：8和9是僅有的兩個(gè)大于1的連續(xù)正整數(shù)，他們都是整數(shù)方冪，用不定方程表示為xmyn=1（m＞1，n＞1），除（x，y，m，n）=（3，2，2，3）以外，沒有其他正整數(shù)解.［1-2］

1962年，我國著名數(shù)學(xué)家，四川大學(xué)柯召院士以精湛的方法解決了卡特蘭猜想的二次情形，并獲一系列重要成果，被世界數(shù)學(xué)界譽(yù)為“柯召定理”，它所運(yùn)用的方法被稱為“柯召方法”.［3］柯召院士證明出了方程x2-1=yp（p為任意大于3的素?cái)?shù)）無正整數(shù)解；［4］并證明出了方程和x2=yp+1（n為大于1的奇數(shù)，p為奇素?cái)?shù)，x和y都是整數(shù)）.［5］

后來，國內(nèi)一些學(xué)者對柯召定理的推廣形式進(jìn)行了研究.曹珍富（1987）避開了文5的結(jié)果，給出了柯召定理一個(gè)簡短的證明，［6］但規(guī)定了不定方程x2-1=yp的約束條件p只能為大于3的素?cái)?shù).不少學(xué)者運(yùn)用柯召方法解決了一大類不定方程問題.

本文試圖對柯召定理中約束條件p的取值進(jìn)行拓展，推測等式x2-1=yp①無正整數(shù)解.其中，p=p1p2，p1，p2為大于3的素?cái)?shù).

二、主要結(jié)果及證明

定理1：x2-1=yp（p=p1p2，其中，p1，p2為大于3的素?cái)?shù)）無正整數(shù)解.

為了證明該定理，本文需要首先證明以下兩個(gè)結(jié)論：

是指對a、b運(yùn)用Jacobi

符號進(jìn)行計(jì)算所得值.

證明：對q和p1進(jìn)行輾轉(zhuǎn)相除有：

q=k1p1+r1；（1≤r1≤p1-1）

p1=k2r1+r2；（1≤r2≤r1）

……

rs-1=ks+1rs+rs+1；（1≤rs+1≤rs）

rs=ks+2rs+1.

所以f（k1p1+r1）≡f（r1）（modf（p1））.

又由（p，q）=1知rs+1=1，所以

證畢.

下面來證明定理1：由方程①得yp=x2-1=（x-1）（x+1）.下面分2|x、2|x+1兩種情況：

（Ⅰ）若2|x，則有x-1與x+1均為奇數(shù)，于是（x-1，x+2）=（2，x+1）=1，其中（a，b）表示a與b的最大公約數(shù).故不妨設(shè)y=y1y2，且（y1，y2）=1，y1＜y2.則此時(shí)有x-1=yp1②，x+1=yp2③.

下面證明方程④無正整數(shù)解，事實(shí)上：

又因?yàn)閥為奇數(shù)，故y1，y2均為奇數(shù)，所以y2-y1≥2，從而y2-y1=2，則yp-12+yp-22y1+…+y2yp-21+yp-11=1.

因?yàn)閥1，y2中至少有一數(shù)大于1，故yp-12+yp-22y1+…+y2yp-21+yp-11＞1，矛盾.

（Ⅱ）若2|x+1，進(jìn)一步可得2|y.

2015年四川省中學(xué)生英才計(jì)劃項(xiàng)目資助.本文獲得了第31屆四川省青少年科技創(chuàng)新大賽一等獎(jiǎng).