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    多樣化思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

    2016-02-14 23:37:11江蘇省清江中學(xué)黃保球
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年5期
    關(guān)鍵詞:等式導(dǎo)數(shù)分類(lèi)

    ☉江蘇省清江中學(xué) 黃保球

    多樣化思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

    ☉江蘇省清江中學(xué)黃保球

    高中數(shù)學(xué)是一門(mén)非常重要且頗具難度的學(xué)科,其高度的抽象性要求學(xué)生具備很高的邏輯思維能力才能較好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).高中數(shù)學(xué)的解題過(guò)程也往往是非常復(fù)雜的,需要學(xué)生根據(jù)解題思路應(yīng)用不同的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.所以,為了幫助高中生快速有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力,教師應(yīng)當(dāng)在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,貫徹多樣化的思想,培養(yǎng)學(xué)生掌握、運(yùn)用多種實(shí)用數(shù)學(xué)思想方法的解題習(xí)慣.

    一、巧用變量代換

    在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,函數(shù)、導(dǎo)數(shù)以及微積分的求解是一個(gè)重點(diǎn)部分,但是大量、復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式常常會(huì)讓學(xué)生感到難以找到思路,解題找不到良好的辦法,學(xué)生對(duì)這部分的學(xué)習(xí)自然無(wú)法順利展開(kāi).在進(jìn)行這一部分的教學(xué)時(shí),教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用變量代換法來(lái)進(jìn)行解題.應(yīng)用變量代換法,可以用簡(jiǎn)單的變量代換一個(gè)復(fù)雜的式子,將原本復(fù)雜的方程式變得簡(jiǎn)單明了,然后再進(jìn)行解題就會(huì)十分簡(jiǎn)單.導(dǎo)數(shù)題主要有三類(lèi)比較難,分別是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解以及積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解.這三種導(dǎo)數(shù)的求解,都需要反復(fù)地變換函數(shù)等式的形式,學(xué)生在解題時(shí)難度很大,而應(yīng)用變量代換法可以簡(jiǎn)化題中復(fù)雜的函數(shù)等式,再進(jìn)行等式的變化就比較簡(jiǎn)單了,求解導(dǎo)數(shù)的過(guò)程也會(huì)大大簡(jiǎn)化.相應(yīng)地,在導(dǎo)數(shù)題目中應(yīng)用變量代換法解題也有幾類(lèi).其一,復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解題中的變量代換.其二,積分函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解中的變量代換.

    在函數(shù)題中應(yīng)用變量代換法時(shí),函數(shù)題的一般題型是給出與函數(shù)相關(guān)的一些等式,讓學(xué)生求函數(shù)的數(shù)值,根據(jù)題的難度不同,題干給出的函數(shù)等式的數(shù)量和形式也不同,學(xué)生在應(yīng)對(duì)復(fù)雜程度過(guò)高的函數(shù)等式時(shí),基本難以找到思路,應(yīng)用變量代換法,可以明顯降低函數(shù)等式的復(fù)雜程度,然后再進(jìn)行解題就非常容易了.例如,題型一,假如題干給出的函數(shù)等式為f′(lnx)=1-x,求函數(shù)f(x)的表達(dá)式.這種題目,我們直接求并不好求,可以應(yīng)用變量代換法,將式中的lnx用t代替,這樣題目中的等式就會(huì)變成關(guān)于t的式子,然后就能得到f(x)的表達(dá)式.題型二,題目給出的函數(shù)等式為f的表達(dá)式.我們可以用t替代x即使我們不能求解出x,但我們可以通過(guò)變換等式右邊,將原等式變成關(guān)于t的函數(shù),然后將t換成x,就能夠求出f(x)的表達(dá)式.題型三,題目給出的函數(shù)等式為,求解f(x)(x≠0),求函數(shù)f(x)的表達(dá)式.對(duì)于這道題,我們需要進(jìn)行較為復(fù)雜變量代換,首先要用代換x,代入原來(lái)的等式中后,可以得到,然后與原來(lái)的等式聯(lián)立,就可以解出)的表達(dá)式,最后化簡(jiǎn)后得到f(x)的表達(dá)式.

    在積分函數(shù)部分的解題中,應(yīng)用變量代換法,需要將原本復(fù)雜的積分式代換成相對(duì)比較簡(jiǎn)單的變量式,然后再應(yīng)用積分計(jì)算公式就可以進(jìn)行求解.在積分函數(shù)習(xí)題中應(yīng)用變量代換法可以分為變量倒代換法、根式變量代換法以及算式變量代換法等解題方法.對(duì)于變量倒代換法,應(yīng)用時(shí)需要滿(mǎn)足一定的條件,即積分式中分母中的自變量的次數(shù)之差大于1.例如,對(duì)積分式積分的求解.對(duì)于這一積分的求解過(guò)程,首先用代換x,然后代入原式中,可以得到ln|x|+c.根式變量代換法,是指用單獨(dú)的字母(比如u)代換積分式中出現(xiàn)的無(wú)理根式然后進(jìn)行積分的計(jì)算.例如,在計(jì)算運(yùn)用根式變量代換法,首先令u=然后就可以得到x=u2,進(jìn)而求出x關(guān)于u的導(dǎo)數(shù)為x′=2u,把它代入原式中,可以計(jì)算出,積分為22ln(1++c.算式變量代換法,在積分式中出現(xiàn)類(lèi)似ax+b的算式時(shí),可以用u來(lái)代替原式中的ax+b,然后在進(jìn)行積分的計(jì)算.例如,在求解dx的積分時(shí),可以先用u替換式中的x-3,然后用u表示出x,就可以計(jì)算出原式的積分值為

    二、活用類(lèi)比思想

    在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,類(lèi)比思想主要應(yīng)用于微積分、線(xiàn)面垂直以及幫助學(xué)生理解公式中.其中,微積分是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大難關(guān),在微積分解題教學(xué)中應(yīng)用類(lèi)比思想,首先教師要為學(xué)生明確微積分相關(guān)的理論知識(shí),在這部分的教學(xué)中,可以先讓學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的四則運(yùn)算中的逆運(yùn)算關(guān)系,然后再介紹微積分的相關(guān)知識(shí),就會(huì)讓學(xué)生了解兩者之間的相似性,相應(yīng)的,積分其實(shí)就是微分的逆運(yùn)算,并沒(méi)有什么復(fù)雜的地方,然后在積分的解題過(guò)程中,只要牢記這一點(diǎn),結(jié)合微分就可以很輕易地進(jìn)行解題.其二,線(xiàn)面垂直定理的相關(guān)解題.學(xué)生在剛接觸線(xiàn)面垂直定理時(shí),一定會(huì)存在困惑,因?yàn)榫€(xiàn)面垂直定理和之前的很多內(nèi)容都不同,這是無(wú)法直接舉出實(shí)驗(yàn)來(lái)證明的,無(wú)法正確理解定理內(nèi)容,學(xué)生在相關(guān)問(wèn)題的求解中自然無(wú)法很好地應(yīng)用.對(duì)此,教師在線(xiàn)面垂直定理解題教學(xué)中,可以應(yīng)用類(lèi)比思想,先從線(xiàn)線(xiàn)垂直講起,然后結(jié)合兩相交直線(xiàn)確定一個(gè)平面,就可幫助學(xué)生快速理解線(xiàn)面垂直定理.其三,對(duì)于公式定理等的教學(xué).教師在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,需要用到許多公式和定理,這就要求學(xué)生能夠理解并靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)公式.和數(shù)學(xué)的抽象性一致,公式往往也非常難以理解,學(xué)生要想牢固掌握,需要明白其本質(zhì)含義.對(duì)此,教師可以應(yīng)用類(lèi)比思想,把新舊的公式和定理聯(lián)系起來(lái),在解題過(guò)程中,將新舊公式定理的應(yīng)用方法相類(lèi)比,就能幫助學(xué)生快速掌握.

    三、注意分類(lèi)討論

    除了上面的變量代換、類(lèi)比思想兩種數(shù)學(xué)思想和方法,分類(lèi)討論也是高中數(shù)學(xué)中非常常用的一種數(shù)學(xué)思想,特別是在函數(shù)部分的內(nèi)容,更是有很多的應(yīng)用.分類(lèi)討論在函數(shù)解題中的應(yīng)用主要有四個(gè)方面.最基本的,是根據(jù)函數(shù)概念進(jìn)行分類(lèi)討論,對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域以及指數(shù)函數(shù)是其中的代表.例如,設(shè)0<x<1,a>0,且a不等于1,試比較|loga(1-x)|與|loga(1+x)|.在這題的求解中,我們需要用到分類(lèi)討論思想,首先令s=|loga(1-x)|-|loga(1+x)|,然后根據(jù)a的取值不同,進(jìn)行分類(lèi)討論,當(dāng)0<a<1時(shí),s>0,當(dāng)a>1時(shí),s<0,可以得出前者大于后者.其二,對(duì)于函數(shù)圖形的分類(lèi)討論.在函數(shù)問(wèn)題中,函數(shù)圖形的位置可能會(huì)存在很多.例如,在平面中有一曲線(xiàn)y2=2x,設(shè)點(diǎn)M(m,0),m∈R,曲線(xiàn)到點(diǎn)A的最短距離為f(m),求f(m)的表達(dá)式.解題時(shí),設(shè)曲線(xiàn)上一點(diǎn)N(x,y),可得|MN|=[x-(m-1)]2+ 2m-1,當(dāng)m-1≥0時(shí),|MN|min=2m-1,當(dāng)m-1<0時(shí),|MN|min= a2,可以得出f(a)=

    其三,問(wèn)題中可能會(huì)出現(xiàn)具有不確定性的條件,這時(shí)需要用到分類(lèi)討論.例如,等差數(shù)列a1,a2,…an,n≥4,各項(xiàng)都不為零,且公差d不為0,在不改變順序的情況下去除某一項(xiàng)可得到等比數(shù)列,求當(dāng)n=4時(shí),值.解題過(guò)程如下:n=4,如果刪除a1,a4,那么d=0,舍如果刪除a,那么可算出-4,;如果刪除a,可算出=1,所以,23有兩個(gè)結(jié)果,-4或1.其四,對(duì)于二次函數(shù)的分類(lèi)討論.二次函數(shù)解題過(guò)程中的分類(lèi)討論,可以分為三種,其一是動(dòng)軸定區(qū)間的分類(lèi)討論,其二是定軸動(dòng)區(qū)間的分類(lèi)討論,最后一個(gè)是動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間的分類(lèi)討論.這三種類(lèi)型的題目需要考慮二次函數(shù)圖形的對(duì)稱(chēng)軸、以及區(qū)間,然后根據(jù)題中所給的具體條件,進(jìn)行分類(lèi)討論,求出結(jié)果.

    在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師要將變量代換、類(lèi)比思想、反思解題以及分類(lèi)討論這四個(gè)數(shù)學(xué)思想和解題方法教授給學(xué)生.運(yùn)用變量代換,可以簡(jiǎn)化代數(shù)式,方便計(jì)算;運(yùn)用類(lèi)比思想,可以加深知識(shí)理解,加快解題;運(yùn)用反思解題,可以增強(qiáng)學(xué)生的解題能力;運(yùn)用分類(lèi)討論,可以增強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).還有其他很多的數(shù)學(xué)思想和方法,教師要在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中向?qū)W生傳授多樣化的思想,提高學(xué)生的解題能力.Y

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