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    生動(dòng)·生長(zhǎng):數(shù)學(xué)課堂的氣質(zhì)要素

    2016-02-14 23:37:11浙江省杭州師范大學(xué)附屬中學(xué)蔡小雄
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年5期
    關(guān)鍵詞:生動(dòng)生長(zhǎng)教材

    ☉浙江省杭州師范大學(xué)附屬中學(xué) 蔡小雄

    ☉浙江省德清縣高級(jí)中學(xué) 江戰(zhàn)明

    生動(dòng)·生長(zhǎng):數(shù)學(xué)課堂的氣質(zhì)要素

    ☉浙江省杭州師范大學(xué)附屬中學(xué)蔡小雄

    ☉浙江省德清縣高級(jí)中學(xué)江戰(zhàn)明

    談到數(shù)學(xué),特別是中學(xué)數(shù)學(xué)總會(huì)給人一種“單調(diào)、抽象、枯燥”的印象.我們可以堂而皇之地把原因歸結(jié)為學(xué)科特點(diǎn):教材的千篇一律、內(nèi)容的單一死板、概念的高度抽象、習(xí)題的復(fù)雜多變……使得簡(jiǎn)單講解、機(jī)械模仿、重復(fù)操練成了“最低成本”“最為流行”的教學(xué)方式.為了獲得應(yīng)試的短期效應(yīng),教師往往忽視概念與方法的形成過(guò)程,忽視知識(shí)的來(lái)龍去脈,只教結(jié)論,不教過(guò)程,只要求知其然而不要求其知其所以然.許多學(xué)生花了大量時(shí)間,做了無(wú)數(shù)練習(xí),最終既沒(méi)考好數(shù)學(xué),也沒(méi)學(xué)好數(shù)學(xué).久而久之,數(shù)學(xué)課堂變得“了無(wú)生氣”,數(shù)學(xué)變得魅力盡失.這是數(shù)學(xué)的不幸.當(dāng)然,并非所有的數(shù)學(xué)課堂都如此,也并非所有的數(shù)學(xué)教師都甘于隨波逐流,隨著課程改革的不斷深化、廣大數(shù)學(xué)教師的觀念也在不斷轉(zhuǎn)變中.數(shù)學(xué)課堂也可以充滿“生”機(jī),甚至“生”“生”不息”.

    一、生動(dòng):內(nèi)容生動(dòng),講解生動(dòng),讓“生”“動(dòng)”得歡

    教育心理學(xué)認(rèn)為,“興趣是一個(gè)人傾向于認(rèn)識(shí)、研究、獲得某種知識(shí)的心理特征,是推動(dòng)人求知的一種內(nèi)在力量.”雖然數(shù)學(xué)教學(xué)不可能像語(yǔ)文、歷史那么有故事性,趣味性,也不能像物理、化學(xué)那樣可以有豐富的實(shí)驗(yàn)和眾多的生活、自然現(xiàn)象為學(xué)習(xí)內(nèi)容,但數(shù)學(xué)中的很多概念我們一樣可以通過(guò)形象的事例或情境進(jìn)行生動(dòng)地講解.正如華羅庚先生所說(shuō),認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味、沒(méi)有藝術(shù)性,這看法是不正確的,就像站在花園外說(shuō)花園里枯燥乏味一樣,只要你踏進(jìn)了大門,你們隨時(shí)隨地都會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)上也有許許多多很有趣味的東西.關(guān)鍵在于,教師要改編教材、豐富教材、創(chuàng)造性地使用教材,用生動(dòng)的內(nèi)容,生動(dòng)的講解吸引學(xué)生.課堂上,教師要適時(shí)創(chuàng)設(shè)情境,鼓勵(lì)學(xué)生多動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)心.

    1.教材內(nèi)容生動(dòng)化

    數(shù)學(xué)教材一般都是按“提出問(wèn)題(較為直觀的現(xiàn)象)→形成概念(定義)→例題講解→練習(xí)與習(xí)題”來(lái)編寫的.“傳統(tǒng)上人們認(rèn)為數(shù)學(xué)是絕對(duì)的客觀真理,數(shù)學(xué)教學(xué)只注重?cái)?shù)學(xué)結(jié)論的系統(tǒng)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性,卻忽略它的歷史性、建構(gòu)性、文化性.”實(shí)際上,數(shù)學(xué)中有很多概念可以具體化、情境化甚至可以地方特色化,關(guān)鍵看如何處理教材.

    以函數(shù)概念為例,它應(yīng)該是高中數(shù)學(xué)中最抽象、最“別扭”的概念,而且初中對(duì)函數(shù)就有定義(變量說(shuō)),學(xué)生根本就不會(huì)明白為何要重新定義函數(shù)(對(duì)應(yīng)說(shuō)),難道僅僅是因?yàn)榍懊鎸W(xué)習(xí)了集合?其實(shí)兩個(gè)定義的本質(zhì)是一致的,但因?yàn)楹笳吒橄?,所以它更具一般?人教A版必修1在給出函數(shù)定義之前,例舉了“炮彈發(fā)射后時(shí)間與炮彈高度之間的關(guān)系”、“近幾十年時(shí)間與臭氧層空洞面積關(guān)系”、“‘八五’計(jì)劃以來(lái)我國(guó)城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)”三個(gè)實(shí)例,然后讓學(xué)生歸納出共同點(diǎn),這也算是用心良苦.事實(shí)上,僅從這三個(gè)例子學(xué)生難以找出共同點(diǎn),教材為了追求簡(jiǎn)潔明了只能如此編寫,但教師如果照搬教材,顯然難以取得理想的效果,這時(shí)就需要加工、處理教材.筆者以為可以讓學(xué)生先例舉他們熟悉的函數(shù);接著讓他們畫出函數(shù)圖像,再由教師例舉一些情景讓學(xué)生判斷能否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.例如,學(xué)生一周中每一天的消費(fèi)情況、學(xué)生姓名與成績(jī)之間的聯(lián)系、學(xué)生學(xué)號(hào)與成績(jī)之間的聯(lián)系等.在大量的實(shí)例面前,引導(dǎo)學(xué)生從集合和對(duì)應(yīng)的角度來(lái)歸納出能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系所具有的共同點(diǎn).

    要增加數(shù)學(xué)課的魅力,讓學(xué)生投入其中,教師應(yīng)該豐富教材內(nèi)容,把教材內(nèi)容適當(dāng)情境化、趣味化、特色化,既保持教材原有的科學(xué)性,又符合學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū).

    2.內(nèi)容講解生動(dòng)化

    數(shù)學(xué)教材因?yàn)閲?yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性、簡(jiǎn)潔性的客觀需要,它不可能編寫得像文科教材那樣詩(shī)情畫意,也不可能像物理、化學(xué)、生物那樣既能抽象又能具體還可以實(shí)驗(yàn);更不可能像小說(shuō)那樣或趣味橫生或緊張、刺激,但我們也可以借題發(fā)揮、因勢(shì)利導(dǎo),化腐朽為神奇.

    數(shù)學(xué)中的絕大部分內(nèi)容都是可以發(fā)揮的,很多枯燥的內(nèi)容通過(guò)教師聲情并茂的講解會(huì)變得“悅耳、動(dòng)聽”,很多貌似很難的問(wèn)題通過(guò)教師的巧妙鋪墊、適當(dāng)引導(dǎo)會(huì)變得“簡(jiǎn)單、明了”.

    3.讓“生”“動(dòng)”起來(lái)

    教學(xué)的主體是學(xué)生,如果沒(méi)有學(xué)生積極的參與,即使教材處理得再漂亮,教師講解得再生動(dòng)都是徒勞,讓學(xué)生“動(dòng)”起來(lái)是教學(xué)的關(guān)鍵.這里的“動(dòng)”應(yīng)包括手動(dòng)、口動(dòng)、腦動(dòng)與心動(dòng).

    我們不得不承認(rèn)大多數(shù)的數(shù)學(xué)課堂總是看到教師在“喋喋不休”,成了教師的“獨(dú)角戲”,教師總是恨不得把自己知道的全部塞給學(xué)生.可以說(shuō)每一位教師都有一顆“奉獻(xiàn)”的心,但很多時(shí)候教師的辛勤付出換來(lái)的不一定是學(xué)生的“理解”,甚至可能是反感.大量實(shí)踐證明,教師“保姆”式的“伺候”只能是事倍功半.事實(shí)上,教學(xué)中有很多問(wèn)題可以讓學(xué)生獨(dú)自或通過(guò)合作去完成,不要擔(dān)心教學(xué)進(jìn)度,不要擔(dān)心學(xué)生會(huì)不會(huì),更不用擔(dān)心教學(xué)效果,要相信學(xué)生的潛力是無(wú)窮的.

    以正弦定理的新課教學(xué)為例,可以先給學(xué)生兩個(gè)問(wèn)題,一個(gè)是“已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角”;另一個(gè)是“已知三角形兩角及一角的對(duì)邊,求另一角的對(duì)邊”,組織學(xué)生合作完成.待學(xué)生完成后,教師再拋出第三個(gè)問(wèn)題“任意一個(gè)三角形如果已知兩邊及一邊的對(duì)角或已知兩角及一角的對(duì)邊能否解三角形”.因?yàn)樵谇懊娼忸}過(guò)程中學(xué)生可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)利用面積是相等的,所以不難發(fā)現(xiàn)即csin∠B=bsin∠C.萬(wàn)一學(xué)生不能推導(dǎo)出以上公式,教師可作適當(dāng)引導(dǎo);如果學(xué)生能順利推出上面公式,教師可以告訴學(xué)生在三角形中=2R(R為三角形外接圓半徑),即為正弦定理.至于為何等于2R這個(gè)問(wèn)題,可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生在圓中給出正弦定理的完整證明.在正弦定理的運(yùn)用階段,如果條件允許,可以讓學(xué)生外出通過(guò)測(cè)量,計(jì)算河兩邊兩點(diǎn)間的距離(需要測(cè)量?jī)x和尺,但人只能在河一邊).通過(guò)這樣的自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)以及實(shí)踐的活動(dòng),讓學(xué)生真正成為課堂的主體,也許這樣的教學(xué)比較耗時(shí),但這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)歷肯定不是做幾道題能形成的.

    讓學(xué)生動(dòng)起來(lái),實(shí)際上就是要讓學(xué)生真正成為課堂主體,教師要有勇氣“閉嘴”,盡量多做聽眾與協(xié)作者,少做權(quán)威和表演者.

    二、生長(zhǎng):在問(wèn)題解法、背景、拓展上生長(zhǎng),讓“生”“長(zhǎng)”得高

    很多時(shí)候,我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生題是做了很多,解題經(jīng)驗(yàn)也積累了不少,但面對(duì)新問(wèn)題還是缺少完全駕馭的能力,缺少核心技術(shù).筆者以為關(guān)鍵原因是我們沒(méi)有為學(xué)生的思維插上翅膀,就題論題得太多,沒(méi)有深入問(wèn)題內(nèi)部,深入思維深處.“分析學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)的心理環(huán)節(jié),重在分析學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),適應(yīng)學(xué)生的心理需求,采用不斷地提出問(wèn)題,研究問(wèn)題,解決問(wèn)題的多輪循環(huán)的方式達(dá)到目的.”為此,我們要讓學(xué)生在多樣化的學(xué)習(xí)上“生長(zhǎng)”,即在解法、背景、拓展上“生長(zhǎng)”,促使其思維邁向深處,促進(jìn)其綜合能力的提高.

    1.在問(wèn)題解法上生長(zhǎng)

    正常情況下,絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題能從不同角度切入,殊途同歸,這其實(shí)就是一題多解,一題多解不僅可以多角度鞏固知識(shí),更重要的是能拓展學(xué)生的思維.

    以2011年浙江省高考數(shù)學(xué)理科第16題為例,已知x,y為實(shí)數(shù),若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值為_________.這是一道看似常規(guī)的問(wèn)題,其教學(xué)功能不容忽視,因?yàn)樗慕夥梢远噙_(dá)近20種.一般學(xué)生可能會(huì)用判別式法或基本不等式或三角代換解題,實(shí)際上它還可以運(yùn)用簡(jiǎn)單不等式、柯西不等式、解析幾何、向量、極坐標(biāo)、合情推理等大部分高中數(shù)學(xué)知識(shí)解題.

    “對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展而言,并不是所有的知識(shí)都是有效的,即使是那些科學(xué)、正確的知識(shí),如不能夠使學(xué)生的身心素質(zhì)有所增加,那也是無(wú)效的知識(shí).”其實(shí)一題多解與通性通法并不相悖,通性通法,一般指多數(shù)人對(duì)一類問(wèn)題采用了相同或類似的解決方法.換句話說(shuō),通法是對(duì)群體而言的,那么,對(duì)個(gè)體來(lái)說(shuō),通法是不是一定“通”是不得而知的.筆者以為,只有通過(guò)選擇,在選擇中找到更適合自己的,這才是真正的“通”法.一題多解不僅可以鞏固舊知,厘清脈絡(luò),更能“生長(zhǎng)”學(xué)生思維,提升能力.

    2.在問(wèn)題背景上生長(zhǎng)

    對(duì)于數(shù)學(xué)中的很多問(wèn)題,學(xué)生之所以“一錯(cuò)再錯(cuò)”或“時(shí)對(duì)時(shí)錯(cuò)”,基本原因是學(xué)生沒(méi)有用對(duì)方法或?qū)Ψ椒ǖ恼J(rèn)識(shí)不夠,深層次的原因則是教師沒(méi)把問(wèn)題講清楚或沒(méi)講到“點(diǎn)”上.因此,對(duì)問(wèn)題背景的生長(zhǎng)不僅是學(xué)生的問(wèn)題,更是教師必須具備的一種能力或是一種義務(wù).

    對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)獨(dú)立挖掘問(wèn)題背景可能會(huì)存在一定困難,而且這項(xiàng)工作確實(shí)耗時(shí)又耗神.但對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生來(lái)說(shuō),這一過(guò)程不僅可以鍛煉他們的思維,更能培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神.因此,對(duì)于問(wèn)題背景上的“生長(zhǎng)”,可以因“材”施教,如果問(wèn)題背景比較淺顯,可以讓學(xué)生獨(dú)立作探索,教師只需適當(dāng)引導(dǎo);如果問(wèn)題背景比較隱晦,那么可以提前把問(wèn)題拋給學(xué)生,讓學(xué)有余力的去先行研究,然后教師再設(shè)計(jì)一個(gè)流程,讓學(xué)生自行逐步發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì).相信這樣的教學(xué)既能挖掘?qū)W優(yōu)生的潛力,又能激發(fā)普通學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),更能開闊學(xué)生的視野.

    3.在問(wèn)題拓展上生長(zhǎng)

    “學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是一個(gè)持續(xù)的‘無(wú)疑-有疑-無(wú)疑’的動(dòng)態(tài)循環(huán)和提高超越過(guò)程.”愛(ài)因斯坦曾說(shuō),發(fā)現(xiàn)(提出)一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要,因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問(wèn)題也許只是數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技巧問(wèn)題.而提出新的問(wèn)題、新的可能性,從新的角度看舊問(wèn)題,卻需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力,而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步.那么如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題呢?筆者認(rèn)為可以通過(guò)對(duì)原有問(wèn)題進(jìn)行拓展、類比發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題.

    以過(guò)圓上一點(diǎn)切線問(wèn)題為例,已知P(x0,y0)為圓O:x2+y2=r2上一點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)P的圓的切線方程為x0x+y0y=r2,此結(jié)論通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算就能獲得.而橢圓與圓如此相似,過(guò)橢圓上一點(diǎn)能否類似地寫出切線方程?在得到肯定后,一定會(huì)有學(xué)生提出,那么同為圓錐曲線的雙曲線和拋物線中是否有類似性質(zhì)?這樣的類比、拓展是自然的、水到渠成的,學(xué)生也一定樂(lè)于接受.事實(shí)上,這些結(jié)論的推導(dǎo)一般都有一定難度,當(dāng)然方法用得好是另外一回事(用點(diǎn)差法可以快速說(shuō)明問(wèn)題),重要的是這些小結(jié)論有時(shí)能派大用場(chǎng).2014年浙江高考卷理21題:設(shè)橢圓動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且點(diǎn)P在第一象限.

    (Ⅰ)已知直線l的斜率為k,用a,b,k表示點(diǎn)P的坐標(biāo);

    (Ⅱ)若過(guò)原點(diǎn)O的直線l1與l垂直,證明:點(diǎn)P到直線l1距離的最大值為a-b.

    這就是一個(gè)較好的例子.如果知道過(guò)橢圓上一點(diǎn)切線方程,那么第一小問(wèn)手到擒來(lái),在成功的連鎖反應(yīng)下,第二問(wèn)便不在話下.探索完過(guò)圓錐曲線上一點(diǎn)的切線問(wèn)題后,可以繼續(xù)從圓開始引導(dǎo)學(xué)生研究,假如點(diǎn)P(x0,y0)不在曲線上,直線x0x+y0y=r2還有沒(méi)有意義?與切線是否有關(guān)系?當(dāng)然也可以讓學(xué)生自行類比、歸納、總結(jié).總之,通過(guò)對(duì)問(wèn)題不斷地拓展、延伸,讓學(xué)生思維真正“飛”起來(lái).

    套用一句網(wǎng)絡(luò)流行語(yǔ)“主要看氣質(zhì)”,“生動(dòng)”“生長(zhǎng)”是數(shù)學(xué)課堂的兩個(gè)氣質(zhì)要素.要使課堂變得更有氣質(zhì),教師需要潛心鉆研教材,留心積累與數(shù)學(xué)相關(guān)的案例,用心適時(shí)管住自己的“嘴”,引導(dǎo)學(xué)生多研究一些解法,多了解一些問(wèn)題“源”,保持對(duì)問(wèn)題的敏感性和對(duì)數(shù)學(xué)的“熱情”,讓“生”“動(dòng)”起來(lái),讓“生”“長(zhǎng)”得高!

    1.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題(續(xù)完)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上),2010(5).

    2.蔡小雄.啟迪思維是數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的首要[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上),2013(8).Y

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