動(dòng)態(tài)課堂中教與學(xué)的平衡

☉江蘇省南通中學(xué)　李維堅(jiān)

動(dòng)態(tài)課堂中教與學(xué)的平衡

☉江蘇省南通中學(xué)李維堅(jiān)

人們?cè)趯?shí)踐中以基本的數(shù)學(xué)教學(xué)范式為中心創(chuàng)建了形形色色的教學(xué)模式.對(duì)一個(gè)教師來(lái)說(shuō)，在長(zhǎng)期周期性的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，很容易形成一種靜態(tài)的、固化的、一成不變的教學(xué)模式.大多情況下，最初建立的師生教學(xué)關(guān)系在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的磨合之后，教與學(xué)的動(dòng)態(tài)關(guān)系就在一定條件下建立起了相對(duì)平衡.教與學(xué)的平衡的達(dá)到反映出師生雙方形成的一種習(xí)慣、一種互相的適應(yīng)，一種不言自明的默契，即教師此時(shí)形成了一種個(gè)性化的教學(xué)模式.在教師的教學(xué)慣性之下，這一模式有可能延伸下去，形成一種靜態(tài)的教學(xué)模式，在課堂中貫穿始終、無(wú)處不在.

但從動(dòng)態(tài)生成的角度看來(lái)，這一靜態(tài)教學(xué)模式應(yīng)該是消極且機(jī)械的，師生、生生的主體互動(dòng)的有效發(fā)揮受到了很大限制，思想方法的交流與傳播也會(huì)受到極大的阻滯，學(xué)生的創(chuàng)造、知識(shí)的生成也都被制約.靜態(tài)教學(xué)模式的構(gòu)成在教與學(xué)的關(guān)系角度看來(lái)，僅僅是建立了一種消極平衡，這種平衡只不過(guò)是教學(xué)雙方矛盾的一時(shí)靜止、暫時(shí)妥協(xié)而已.教與學(xué)矛盾的激化和沖突隨時(shí)有爆發(fā)的可能.矛盾是事物發(fā)展的根本原因，因此，教與學(xué)的平衡必然是應(yīng)當(dāng)移動(dòng)的，但這需要教師主動(dòng)積極為之.

下面以《二項(xiàng)式定理》例加以闡述：

在《二項(xiàng)式定理》新授課，筆者預(yù)設(shè)了如下的引入：今天是星期一，那么8天之后是星期幾？83天后是星期幾？8100天后呢？

筆者的本意是從一個(gè)簡(jiǎn)單的情形入手，然后加大問(wèn)題的難度，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)入手，構(gòu)建新的知識(shí)模型.只是，學(xué)生的生成再次讓筆者反思.

當(dāng)時(shí)的教學(xué)片斷：

生1：8天后是星期二，83天后還是星期二.

師：為什么呢？

生1：這個(gè)問(wèn)題就是要找到被7除的余數(shù)，8和83被7除均余1.

師：那么8100呢？

生1：讓我想一下.

我以為8100會(huì)自然地被寫為（7+1）100，然后引出本課研究的內(nèi)容：二項(xiàng)式定理.

但結(jié)果卻大相徑庭.

生1：我覺(jué)得余數(shù)還是1.

師：為什么？

生1：猜的.

筆者正欲引導(dǎo).

生2：肯定是1，應(yīng)該可以證明.我計(jì)算了82，83，84，85，發(fā)現(xiàn)它們被7除，余數(shù)均為1.由此我猜想8n（n∈N）被7除，余數(shù)是1.我們可以用先前學(xué)的數(shù)學(xué)歸納法來(lái)試一試.

生2的想法，遠(yuǎn)在筆者的預(yù)設(shè)之外，在預(yù)設(shè)中，筆者一味地考慮到情境的引入，卻沒(méi)有將問(wèn)題考慮周全.在

Y筆者正在反省時(shí)，生2繼續(xù)道：其實(shí)我就這么想想，感覺(jué)把8寫成7+1，然后100個(gè)（7+1）相乘，按照7的指數(shù)高低排列，有很多項(xiàng)，但是除了1個(gè)，其余均為7的倍數(shù).

筆者當(dāng)時(shí)就在心中感嘆，生2不但有了歸納、猜想、證明的一套思想方法，而且也具有了非常好的直覺(jué)思維能力，同時(shí)二項(xiàng)式定理的基本模型也已形成.

這個(gè)生成的效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于筆者的預(yù)設(shè).于是筆者準(zhǔn)備首先請(qǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明這個(gè)結(jié)論，然后再來(lái)接著解決這100個(gè)（7+1）的乘積.

生3：（1）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即8k被7除余1，記為8k= 7m+1，m∈N，則當(dāng)n=k+1時(shí)，8k+1=8（7m+1）=7（8m+1）+1被7除也余1.

綜合（1）（2）可得，8n（n∈N）被7除余數(shù)是1.

在學(xué)生的生成的基礎(chǔ)上，筆者也將問(wèn)題作了改動(dòng).

師：很好.那么如果把8改為9，那么此時(shí)這個(gè)問(wèn)題的答案又是多少呢？

生4：按照剛才生3所說(shuō)的兩種想法，數(shù)學(xué)歸納法肯定不行了，因?yàn)橛鄶?shù)變了.

生5：不過(guò)可能也呈現(xiàn)出周期性呢，只是需要花時(shí)間計(jì)算一下.

師：那么我們不妨來(lái)探究一下（7+1）這100個(gè)括號(hào)相乘，按照7的指數(shù)高低排列化簡(jiǎn)后的結(jié)果是什么呢？其實(shí)在推理案例的時(shí)候我們就遇到過(guò)這樣的問(wèn)題啊.

生5：對(duì)，求自然數(shù)的n次方的和最后推廣時(shí)遇到過(guò).

師：（7+1）100=？

生6：我猜肯定是形如“__7100+__799+…+__71+1”的形式，只不過(guò)前面的系數(shù)還沒(méi)有考慮好.

師：比如75這個(gè)項(xiàng)從何而來(lái)呢？這100個(gè)括號(hào)（7+1）（7+ 1）…（7+1）相乘，75從何而來(lái)？

生6：是5個(gè)7相乘而得的.

師：這5個(gè)7從何而來(lái)？

生6：來(lái)自5個(gè)括號(hào).

師：哪5個(gè)括號(hào)？

生6：哦，我明白了，從100個(gè)括號(hào)里面任選5個(gè)，75的系數(shù)就是C5100.

師：太好了，以此類推，那么（7+1）100=？

師：果然不出生2所料，這100個(gè)括號(hào)我們解決了.那么將這個(gè)問(wèn)題一般化我們可以有怎樣的推廣呢？

生7：解決剛才的問(wèn)題（7+2）100.

生8：解決（a+b）n的展開(kāi)結(jié)果.

師：好，我們不妨首先來(lái)解決（a+b）n的展開(kāi)結(jié)果.

生8：這個(gè)的展開(kāi)式按照a降冪排列應(yīng)該是從n到0.

師：那么此時(shí)的b呢？

生8：我想一想.

師：我們可以回到這（a+b）（a+b）…（a+b）這n個(gè)括號(hào)相乘.想一想，如果有了an，那么也就是說(shuō)從這n個(gè)括號(hào)里面我們?nèi)×薾個(gè)a了，每個(gè)括號(hào)都取的是a，那么b呢？

生8：沒(méi)有一個(gè)括號(hào)取b，也就是在n個(gè)括號(hào)里都取a的同時(shí)，就沒(méi)有一個(gè)括號(hào)取b，就是

師：很好，那么ar所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是什么？

生7：那可以解決剛才那個(gè)問(wèn)題了吧.

師：生7還念念不忘呢.

啊，又出現(xiàn)了2100，要看它被7除余幾呢？

師：剛才8，9我們可以改寫，那么現(xiàn)在呢？

生7：把2100寫成2×299=2×（23）33=2×833=2×（7+1）33，哈哈，余數(shù)是2啊.

師：真不錯(cuò)，將問(wèn)題很好地實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化，課后大家不妨再思考一下周期性.

筆者心里暗自想，不知不覺(jué)中，我們從問(wèn)題引入到定理，再回過(guò)來(lái)用定理解決問(wèn)題.同時(shí)，也讓學(xué)生感受到在處理整除性問(wèn)題時(shí)，我們有時(shí)可以采用數(shù)學(xué)歸納法，有時(shí)可以利用剛剛學(xué)會(huì)的二項(xiàng)式定理來(lái)研究問(wèn)題.

本節(jié)課后，筆者反思了很多.數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是教師促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展、人格完善的過(guò)程，問(wèn)題是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的載體.問(wèn)題通常有兩種來(lái)源：一是教師拋出“問(wèn)題”；二是學(xué)生提出“問(wèn)題”.但目前數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，絕大多數(shù)問(wèn)題是教師拋給學(xué)生的，學(xué)生的“問(wèn)題意識(shí)”和“如何提問(wèn)”有待教師的發(fā)掘.在本節(jié)課中，問(wèn)題是由教師先拋向?qū)W生的，難能可貴的是學(xué)生的生成促使教師進(jìn)行新的思考，調(diào)試下一個(gè)新的教學(xué)平衡.

課堂中，教與學(xué)要從消極平衡過(guò)渡到積極平衡，那么教學(xué)必須有因“材”施教，因“人”而異，因“境”而變.克服模式化教學(xué)的有效手段之一就是動(dòng)態(tài)生成的課堂.一旦舊的平衡不適應(yīng)新的問(wèn)題情境時(shí)，教師就必須適當(dāng)?shù)貜?qiáng)化或改變教學(xué)雙方的交流互動(dòng)，適當(dāng)?shù)靥砑踊驈?qiáng)化一些積極因素、抑制一些消極因素，打破不適應(yīng)教學(xué)生成的教與學(xué)的舊平衡系統(tǒng)，建立更高一級(jí)的教與學(xué)的平衡.經(jīng)常被適時(shí)調(diào)整的教與學(xué)的平衡，是積極的、能動(dòng)的平衡，這種平衡可以適應(yīng)不斷變化的教學(xué)的實(shí)際需要，也促使教學(xué)模式有了更深一層動(dòng)態(tài)變革的特征.