把握問題層次實施有效追問

☉江蘇省海門市四甲中學　夏華

把握問題層次實施有效追問

☉江蘇省海門市四甲中學夏華

追問”就是在學生回答了教師提問之后，教師富于啟發(fā)性、有針對性的再次“提問”.通過追問達到教師強調某個關鍵點的目的，讓學生抓住重點，搞清楚問題的本質；通過“追問”引導學生更為深入理解需要強調的關鍵問題，并努力地想把問題徹底弄清楚.追問是高效課堂中提高教學質量的有效手段.

下面展示筆者在教學中的幾個案例，與讀者分享.

一、審題追問引導解題思維

案例1對于數列｛an｝，定義數列｛bn｝如下：對于正整數m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值，如｛an｝是單調增數列，a3=4，則b4=3；若數列｛an｝的通項公式為an=2n－1，n∈N*，則數列｛bn｝的通項公式_________.

本題是一道新定義的題目，難度較大，為了解答好此題，教師從如下幾個角度進行追問：

（1）要想解決好此題必須通過理解定義，怎么才能搞清定義的本質？

（2）如何轉化條件，化難為易？進而不斷地向學生的最近發(fā)展區(qū)靠攏.

師：大家對這個問題，為什么沒有思路呢？難在哪里？

生1：看不懂題目的意思.

師：哪個地方看不懂？

生1：就是這個新定義.

師：一般地，新定義的問題應該怎么做？怎么想？

生1：要么仔細推敲新定義的內涵，要么先用特例嘗試著理解一下定義的意思？

師：那么你做到了嗎？

生1：沒有，就是無法理解定義，太抽象了.

師：抽象的問題也沒什么可怕的，就是特殊化、具體化.大家都來做同一件事情——具體化，換句話說就是把定義用具體的實例簡單地翻譯一下，要求不算高吧？（學生重新開始熱烈地討論）

生2：若“a3=4，則b4=3”對應的解釋是：對于單調增數列｛an｝，對于正整數4，b4是使得不等式an≥4成立的所有n中的最小值.

師：怎么理解？

生2：｛an｝是單調增數列，即a1＜a2＜a3=4＜a4＜…，那么滿足an≥4的所有n中的最小值只能是3，所以b4=3.

師：太正確了，你太懂了.你能不能向大家解釋具體地講解一下“a3=4，則b4=3”與新定義的關系？

生2：“a3=4”就是數列｛an｝中的一項，“b4=3”中的“b4”滿足不等式的an≥4成立的所有n中的最小值，“4”就是定義中的“m”，“3”就是滿足不等式“an≥4=a3”的所有n中的最小值，因為｛an｝是單調增數列的，所以n中的最小值是3.

（教師同時板書：

數列｛an｝，對于正整數m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值；

數列｛an｝，對于正整數4，b4是使得不等式an≥4成立的所有n中的最小值）

師：大家有點眉目了吧？那么后一句話大家肯定也能翻譯一下吧？（學生討論）

一個學生展示初步思考結果，部分學生邊看邊問，其他學生繼續(xù)討論，板書如下：

生3：“若數列｛2n－1｝，對于正整數m，bm是使得不等式2n－1≥m成立的所有n中的最小值n=（m+1）.”

生3：是的.

生4：（不少同學顯然在慶祝解題成功，但有位同學不買帳）結果不對吧？

師：為什么？

生4：“n”應該是整數吧，那么“所有n中的最小值”也應該是整數，而“n=（m+1）”怎么能保證總是整數呢？

師：只顧得高興了，我們都被勝利沖昏頭腦了，那怎么辦？

生4：要分m為奇數和偶數進行分類吧？實際上就是求數列：b1，b2，b3，…，bm的通項公式.

師：問題轉化得很好，大家求一下數列｛bm｝的通項公式.

評析：對于較難的問題，教師可以先從常規(guī)思考方式入手提問，通過不斷地進行追問，引導學生成功獲得解題思路，進而培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.

二、探索追問激發(fā)解題靈感

案例2若m個不全相等的正數a1，a2，…，am依次圍成一個圓圈，使得每個數ak（1≤k≤n，k∈N）都得是其左右相鄰兩個數平方的等比中項，則正整數m的最小值是多少？

師：本題考查的內容是什么？

生1：表面上看，這是一道等比數列題.

生2：每項圍成一個圓圈，好像是排列組合題.

師：在以前做過的題型中似乎查不到一個確切的數學模型，找不到一種解題模式可以套用.但是我們寫幾項總是可以的吧？

生3：因為每個數ak（1≤k≤n，k∈N）都得是其左右相鄰兩個數平方的等比中項，不妨任意取兩個數，比如2，3，我們不能寫出它第三項？即，再寫第四項是，在寫的過程中發(fā)現每一項都是前兩項的商，這樣寫起來就方便了：2，3，，2，3，還可以發(fā)現，它們是周期出現的，最小正周期是6，到此本題答案應該是6.

評析：在解題中面對一道難題，雖然絞盡腦汁，靈感也總是蹦不出來，自己著急，老師也替學生發(fā)急.其實題目中的每個條件也都具有自己的特定含義，不妨把它們轉化一下，哪怕是一小步，寫一寫、算一算，也許在寫的過程當中，在算的結果中可以得到一些啟發(fā).

三、歸納追問落實解題能力

案例3在等差數列｛an｝中，數列的前項和Sn=2n2－n，，若數列｛bn｝是等差數列，則非零常數c的值為_________.

筆者請一位學生在黑板上板書了下列過程：

本題是一道中檔的填空題：方法很簡單，大部分學生都采用了這種方法，但是筆者還是從以下幾個角度進行了追問：

（1）解法中體現了哪些數學思想？

（2）是通性通法還是特殊解法？

（3）本題作為填空題，方法是否最簡？

（4）本題是計算題型，如果改為證明題，這個解法是否完美？

師：為什么會這么想呢？

生1：既然條件已經告訴我們，數列｛bn｝是等差數列，那么它的前三項至少應該滿足等差數列吧！

師：那么你是利用什么思想求解的？

生1：這就是老師常說的數列問題要想到特殊化，就是特殊化的思想.

師：本題作為填空題，這種方法是否最簡？

生2：不是最簡的.我還有一種方法，是利用等差數列為一次函數的性質，可以直接觀察出來（上前板書）：因為bn=當c=0時，bn=2n－1或者當c=－時，b=2n，故c=－或0（舍）.n

師：很好，我也是這么想的.但是我還是有點擔心，如果這是一道證明題，你的方法以及第一種解法，總感覺缺點什么.

生2：是不是缺少證明呀？等差數列不是一次函數嗎？奧，對了，如果是證明題，還應該用定義證明一下.不過現在是填空題，所以說我的方法最簡的.

師：是，大家看看第一種解法要是作為證明題的話，是不是也缺少證明？

生1：是的，“｛bn｝是等差數列”與“2b2=b1+b3”不是充要條件，需要驗證“c=－時，｛b｝是等差數列”.

n師：不論是填空題還是解答題，還有其他的方法嗎？生3：令b=kn+b（k，b為常數），因此可以有b==

nn=kn+b應該恒成立，解得c=或0（舍）.

生4：由于｛bn｝是等差數列，常規(guī)思路是利用bn+1－bn是常數，因此bn－bn－1==d（常數）應該恒成立，解得c=－.

師：大家覺得從規(guī)范的角度看，前面的兩種方法都需要補充證明，那么上述兩種方法是否也需要補充？

生：第三種方法是第二種方法的變異，需要證明一次函數bn=kn+b是等差數列；第四種方法利用定義，很完美.

師：第四種方法堪稱完美，但是遺憾的是運算量不會像該同學說的那么輕松吧？況且，后兩種方法的原理是利用了多項式恒成立吧？這個在教材中也是沒有的，不夠可靠.要是遇到高考試卷很簡單，難免要扣分.

這樣的一節(jié)課下來，教師感覺輕松，學生感覺很有成就感，基本上實現了預期設想，而且還有一些非預設性的生成.這樣的教學設置符合高效課堂的要求，這一切都來自教師主導作用的發(fā)揮.教師的主導作用的最重要的表現就是“追問”，這也是高效課堂中評價教師基本功的一項重要指標.希望廣大同行在教學中不斷進行深入探究，進而有效落實新課改的理念.