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    把握問題層次實施有效追問

    2016-02-14 23:37:11江蘇省海門市四甲中學夏華
    中學數學雜志 2016年5期
    關鍵詞:證明題填空題正整數

    ☉江蘇省海門市四甲中學 夏華

    把握問題層次實施有效追問

    ☉江蘇省海門市四甲中學夏華

    追問”就是在學生回答了教師提問之后,教師富于啟發(fā)性、有針對性的再次“提問”.通過追問達到教師強調某個關鍵點的目的,讓學生抓住重點,搞清楚問題的本質;通過“追問”引導學生更為深入理解需要強調的關鍵問題,并努力地想把問題徹底弄清楚.追問是高效課堂中提高教學質量的有效手段.

    下面展示筆者在教學中的幾個案例,與讀者分享.

    一、審題追問引導解題思維

    案例1對于數列{an},定義數列{bn}如下:對于正整數m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值,如{an}是單調增數列,a3=4,則b4=3;若數列{an}的通項公式為an=2n-1,n∈N*,則數列{bn}的通項公式_________.

    本題是一道新定義的題目,難度較大,為了解答好此題,教師從如下幾個角度進行追問:

    (1)要想解決好此題必須通過理解定義,怎么才能搞清定義的本質?

    (2)如何轉化條件,化難為易?進而不斷地向學生的最近發(fā)展區(qū)靠攏.

    師:大家對這個問題,為什么沒有思路呢?難在哪里?

    生1:看不懂題目的意思.

    師:哪個地方看不懂?

    生1:就是這個新定義.

    師:一般地,新定義的問題應該怎么做?怎么想?

    生1:要么仔細推敲新定義的內涵,要么先用特例嘗試著理解一下定義的意思?

    師:那么你做到了嗎?

    生1:沒有,就是無法理解定義,太抽象了.

    師:抽象的問題也沒什么可怕的,就是特殊化、具體化.大家都來做同一件事情——具體化,換句話說就是把定義用具體的實例簡單地翻譯一下,要求不算高吧?(學生重新開始熱烈地討論)

    生2:若“a3=4,則b4=3”對應的解釋是:對于單調增數列{an},對于正整數4,b4是使得不等式an≥4成立的所有n中的最小值.

    師:怎么理解?

    生2:{an}是單調增數列,即a1<a2<a3=4<a4<…,那么滿足an≥4的所有n中的最小值只能是3,所以b4=3.

    師:太正確了,你太懂了.你能不能向大家解釋具體地講解一下“a3=4,則b4=3”與新定義的關系?

    生2:“a3=4”就是數列{an}中的一項,“b4=3”中的“b4”滿足不等式的an≥4成立的所有n中的最小值,“4”就是定義中的“m”,“3”就是滿足不等式“an≥4=a3”的所有n中的最小值,因為{an}是單調增數列的,所以n中的最小值是3.

    (教師同時板書:

    數列{an},對于正整數m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值;

    數列{an},對于正整數4,b4是使得不等式an≥4成立的所有n中的最小值)

    師:大家有點眉目了吧?那么后一句話大家肯定也能翻譯一下吧?(學生討論)

    一個學生展示初步思考結果,部分學生邊看邊問,其他學生繼續(xù)討論,板書如下:

    生3:“若數列{2n-1},對于正整數m,bm是使得不等式2n-1≥m成立的所有n中的最小值n=(m+1).”

    生3:是的.

    生4:(不少同學顯然在慶祝解題成功,但有位同學不買帳)結果不對吧?

    師:為什么?

    生4:“n”應該是整數吧,那么“所有n中的最小值”也應該是整數,而“n=(m+1)”怎么能保證總是整數呢?

    師:只顧得高興了,我們都被勝利沖昏頭腦了,那怎么辦?

    生4:要分m為奇數和偶數進行分類吧?實際上就是求數列:b1,b2,b3,…,bm的通項公式.

    師:問題轉化得很好,大家求一下數列{bm}的通項公式.

    評析:對于較難的問題,教師可以先從常規(guī)思考方式入手提問,通過不斷地進行追問,引導學生成功獲得解題思路,進而培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.

    二、探索追問激發(fā)解題靈感

    案例2若m個不全相等的正數a1,a2,…,am依次圍成一個圓圈,使得每個數ak(1≤k≤n,k∈N)都得是其左右相鄰兩個數平方的等比中項,則正整數m的最小值是多少?

    師:本題考查的內容是什么?

    生1:表面上看,這是一道等比數列題.

    生2:每項圍成一個圓圈,好像是排列組合題.

    師:在以前做過的題型中似乎查不到一個確切的數學模型,找不到一種解題模式可以套用.但是我們寫幾項總是可以的吧?

    生3:因為每個數ak(1≤k≤n,k∈N)都得是其左右相鄰兩個數平方的等比中項,不妨任意取兩個數,比如2,3,我們不能寫出它第三項?即,再寫第四項是,在寫的過程中發(fā)現每一項都是前兩項的商,這樣寫起來就方便了:2,3,,2,3,還可以發(fā)現,它們是周期出現的,最小正周期是6,到此本題答案應該是6.

    評析:在解題中面對一道難題,雖然絞盡腦汁,靈感也總是蹦不出來,自己著急,老師也替學生發(fā)急.其實題目中的每個條件也都具有自己的特定含義,不妨把它們轉化一下,哪怕是一小步,寫一寫、算一算,也許在寫的過程當中,在算的結果中可以得到一些啟發(fā).

    三、歸納追問落實解題能力

    案例3在等差數列{an}中,數列的前項和Sn=2n2-n,,若數列{bn}是等差數列,則非零常數c的值為_________.

    筆者請一位學生在黑板上板書了下列過程:

    本題是一道中檔的填空題:方法很簡單,大部分學生都采用了這種方法,但是筆者還是從以下幾個角度進行了追問:

    (1)解法中體現了哪些數學思想?

    (2)是通性通法還是特殊解法?

    (3)本題作為填空題,方法是否最簡?

    (4)本題是計算題型,如果改為證明題,這個解法是否完美?

    師:為什么會這么想呢?

    生1:既然條件已經告訴我們,數列{bn}是等差數列,那么它的前三項至少應該滿足等差數列吧!

    師:那么你是利用什么思想求解的?

    生1:這就是老師常說的數列問題要想到特殊化,就是特殊化的思想.

    師:本題作為填空題,這種方法是否最簡?

    生2:不是最簡的.我還有一種方法,是利用等差數列為一次函數的性質,可以直接觀察出來(上前板書):因為bn=當c=0時,bn=2n-1或者當c=-時,b=2n,故c=-或0(舍).n

    師:很好,我也是這么想的.但是我還是有點擔心,如果這是一道證明題,你的方法以及第一種解法,總感覺缺點什么.

    生2:是不是缺少證明呀?等差數列不是一次函數嗎?奧,對了,如果是證明題,還應該用定義證明一下.不過現在是填空題,所以說我的方法最簡的.

    師:是,大家看看第一種解法要是作為證明題的話,是不是也缺少證明?

    生1:是的,“{bn}是等差數列”與“2b2=b1+b3”不是充要條件,需要驗證“c=-時,{b}是等差數列”.

    n師:不論是填空題還是解答題,還有其他的方法嗎?生3:令b=kn+b(k,b為常數),因此可以有b==

    nn=kn+b應該恒成立,解得c=或0(舍).

    生4:由于{bn}是等差數列,常規(guī)思路是利用bn+1-bn是常數,因此bn-bn-1==d(常數)應該恒成立,解得c=-.

    師:大家覺得從規(guī)范的角度看,前面的兩種方法都需要補充證明,那么上述兩種方法是否也需要補充?

    生:第三種方法是第二種方法的變異,需要證明一次函數bn=kn+b是等差數列;第四種方法利用定義,很完美.

    師:第四種方法堪稱完美,但是遺憾的是運算量不會像該同學說的那么輕松吧?況且,后兩種方法的原理是利用了多項式恒成立吧?這個在教材中也是沒有的,不夠可靠.要是遇到高考試卷很簡單,難免要扣分.

    這樣的一節(jié)課下來,教師感覺輕松,學生感覺很有成就感,基本上實現了預期設想,而且還有一些非預設性的生成.這樣的教學設置符合高效課堂的要求,這一切都來自教師主導作用的發(fā)揮.教師的主導作用的最重要的表現就是“追問”,這也是高效課堂中評價教師基本功的一項重要指標.希望廣大同行在教學中不斷進行深入探究,進而有效落實新課改的理念.

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