反三角函數(shù)的解析式及其應(yīng)用

劉春平，　劉曉平

(1.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225002；　2.揚(yáng)州市職業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225002)

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反三角函數(shù)的解析式及其應(yīng)用

劉春平1，劉曉平2

(1.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225002；2.揚(yáng)州市職業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225002)

[摘要]從反函數(shù)的定義出發(fā),給出了幾個(gè)三角函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)單調(diào)區(qū)間上反函數(shù)的解析式,并應(yīng)用它們對幾道習(xí)題進(jìn)行了解答.

[關(guān)鍵詞]反函數(shù)； 反三角函數(shù)； 解析式

數(shù)學(xué)分析教材和習(xí)題集中，有一些涉及到反三角函數(shù)的題目[1-3], 如

題1試問下列等式是否成立：

arcsin(sinx)=x,?x∈.

在教學(xué)過程中我們發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生解答這些題目有一定的困難. 雖然文獻(xiàn)[4]已明確指出：“所謂反三角函數(shù)只是三角函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)單調(diào)區(qū)間上的反函數(shù)，對一般三角函數(shù)而言，在定義域上并不存在反函數(shù)”. 文獻(xiàn)[5]關(guān)于反正弦函數(shù)的主值arcsinx,反余弦函數(shù)的主值arccosx,以及反正切函數(shù)的主值arctanx等等也有詳細(xì)的定義和討論.但據(jù)我們所知，三角函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)單調(diào)區(qū)間上反函數(shù)的解析式卻沒有中學(xué)或大學(xué)教材給出過，因此學(xué)生不會利用解析式以及反三角函數(shù)的知識解答相關(guān)問題.

本文將從反函數(shù)的定義出發(fā)，首先給出如下三個(gè)函數(shù):

(1)

y=f2(x)=cosx,x∈[kπ,kπ+π],k=0,±1,±2,…,

(2)

(3)

的反函數(shù)之解析式，然后解答題1—題3.

先回顧一下反函數(shù)的定義. 設(shè)函數(shù)

y=f(x),x∈D

(4)

滿足：對于值域f(D)中的每一個(gè)值y,D中有且只有一個(gè)值x使得f(x)=y, 則按此對應(yīng)法則得到一個(gè)定義在f(D)上的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)f的反函數(shù),記作

x=f-1(y),y∈f(D).

(5)

習(xí)慣上若用x作為自變量的記號，y作為因變量的記號，則函數(shù)(4)的反函數(shù)(5)可改寫為

y=f-1(x),x∈f(D).

(6)

顯然，函數(shù)f也是函數(shù)f-1的反函數(shù),或者說f與f-1互為反函數(shù),并有

f-1(f(x))≡x,x∈D,

(7)

f(f-1(x))≡x,x∈f(D).

(8)

sin(kπ+arcsinx)=xcoskπ=(-1)kx.

(9)

sin(kπ-arcsinx)=-xcoskπ=(-1)k+1x.

(10)

因此有

(11)

(12)

根據(jù)結(jié)論1，易得

推論1

(13)

事實(shí)上，由f-1(f(x))≡x,x∈D, 有

移項(xiàng)整理即得(13)式.

類似上述討論過程，我們有

結(jié)論2函數(shù)y=cosx,x∈[2mπ,(2m+1)π],m=0,±1,±2,…的反函數(shù)為

(14)

函數(shù)y=cosx,x∈[(2m+1)π,(2m+2)π],m=0,±1,±2,…的反函數(shù)為

(15)

推論2

(16)

(17)

推論3

(18)

(19)

[參考文獻(xiàn)]

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊) [M]. 3版.北京:高等教育出版社，2001:16.

[2]孫清華，孫昊. 數(shù)學(xué)分析疑難分析與解題方法(上冊) [M].武漢: 華中科技大學(xué)出版社，2009:48.

[3]吉米多維奇. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集[M]. 北京:人民教育出版社，1978:386-387.

[4]周敏澤.中國華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本(高一年級)[M].吉林:吉林教育出版社，2002:132.

[5]菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程(第一卷)[M]. 8版.北京:高等教育出版社，2006:87-91.

Analytic Expressions and Application of Some

Inverse Trigonometric Functions

LIUChun-ping1,LIUXiao-ping2

(1. Institute of Mathematics, Yangzhou University, Yangzhou 225002, China;

2.Institute of Mathematics, Yangzhou Polytechnic College, Yangzhou 225002, China)

Abstract:Starting from the definition of inverse function, this paper gives a few trigonometric functions within the domain on monotone interval analytic expressions of inverse function, and applies them to resolve a few exercises.

Key words:inverse function; inverse trigonometric function; analytic expressions

[收稿日期]2014-01-20

[中圖分類號]O171

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)01-0088-03