一階線性微分方程與求導計算

桑　波

(聊城大學數(shù)學科學學院，山東聊城252059)

?

一階線性微分方程與求導計算

桑波

(聊城大學數(shù)學科學學院，山東聊城252059)

[摘要]利用一階線性齊次微分方程的求解公式， 建立了兩類重要函數(shù)的求導公式，從而揭示了線性微分方程與函數(shù)導數(shù)之間的緊密聯(lián)系.

[關鍵詞]求導法則； 微分方程； 冪指函數(shù)

1研究背景

函數(shù)的求導問題是微積分的重要內(nèi)容之一. 對此問題歷屆學生普遍反映比較困難，尤其是復雜函數(shù)的求導. 這主要是因為：一方面他們對求導公式的理解還不夠深入，另一方面平時訓練強度也不夠.

在傳統(tǒng)的教材體系中， 函數(shù)求導與微分方程的求解是兩個相對獨立的教學內(nèi)容， 見[1，2，3]. 在教學實踐中， 我們嘗試以微分方程的觀點重新審視求導公式， 以達到深入理解求導公式的目的. 通過研究發(fā)現(xiàn)一階線性齊次微分方程與求導公式之間存在密切的內(nèi)在聯(lián)系.

fj(x)>0，fj(x)≠1， j=1，2，…，k

fj(x)>0，fj(x)≠1，j=1，2，…，k.

為可導函數(shù)， 且gj(x)為非零、可導函數(shù). 盡管對數(shù)求導法是計算這兩類函數(shù)導數(shù)的通用方法，但其求解過程仍略顯繁瑣.

需要指出的是， 當k=1，m1=1時， 廣義冪指函數(shù)變?yōu)橥ǔ５膬缰负瘮?shù). 這類函數(shù)的求導方法已有一些論述[1，4，5].

2廣義冪函數(shù)的求導

引理1設f(x)為非零、可導函數(shù)，則有

其中C為任意常數(shù).

證只需利用第一類換元積分法和基本公式

其中C為任意常數(shù).

下面考慮一階線性齊次方程

(1)

其中mj，j=1，2，…，k為非零常數(shù)，fj(x)，j=1，2，…，k為非零可導函數(shù).

令

則由引理1， 方程(1)的通解為

(2)

由此，得到下面的求導公式.

定理1設mj，j=1，2，…，k為非零常數(shù)，fj(x)>0，j=1，2，…，k為可導函數(shù)， 則

(3)

推論1設函數(shù)f(x)，g(x)非零、可導，則

推論2設mj，j=1，2，…，k為非零常數(shù)，fj(x)>0，j=1，2，…，k為可導函數(shù)且g(x)為可導函數(shù)， 則

例求不定積分

解此積分的難點在于三角函數(shù)的次數(shù)甚高， 使用常規(guī)降次的方法需要大量的計算，因此需要另辟蹊徑.

由定理1

故

3廣義冪指函數(shù)的求導

考慮冪指函數(shù)f(x)mg(x)， 其中f(x)>0，f(x)≠1，g(x)≠0，m為非零常數(shù)， 且f(x)，g(x)都可導. 為了求該函數(shù)的導數(shù)， 需要先轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)， 再利用復合函數(shù)的求導法則， 具體如下

[f(x)mg(x)]′=[emg(x)ln(f(x))]′=m[g(x)ln(f(x))]′f(x)mg(x)

由此可得下面的引理.

引理2設f(x)>0，f(x)≠1，g(x)≠0，m為非零常數(shù)， 且f(x)，g(x)都可導，則一階線性齊次微分方程

以y=f(x)mg(x)為特解.

引理3設pj(x)是連續(xù)函數(shù)，j=1，2，…，k， 且設方程

以y=hj(x)為特解， 則方程

(4)

證不妨設hj(x)=cje∫pj(x)dx， 其中cj為給定的常數(shù)，則

是方程(4)的特解.

定理2設fj(x)>0，fj(x)≠1，gj(x)≠0，mj為非零常數(shù)， 且fj(x)，gj(x)都可導，其中j=1，2，…，k，則方程

證只需直接利用引理2和引理3即可.

作為上面定理的重要推論，得到廣義冪指函數(shù)的求導公式.

推論3在定理2的條件下，

[參考文獻]

[1]孟廣武，張曉嵐，等. 高等數(shù)學[M].2版.上海:同濟大學出版社，2010.

[2]韓茂安，周盛凡，邢業(yè)朋，等. 常微分方程[M].北京:高等教育出版社，2011.

[3]肖箭，盛立人，宋國強. 常微分方程簡明教程[M].北京:科學出版社，2008.

[4]樊志良. 冪指函數(shù)的求導方法[J].中北大學學報，2006，27(1):8-10.

[5]湯光宋. 冪指函數(shù)導數(shù)與積分的簡捷求法及其應用[J].德州學院學報，2001，17(4):4-7.

The First Order Linear Differential Equations and

the Computations of Derivatives

SANGBo

(School of Mathematical Sciences， Liaocheng University，Liaocheng 252059， China)

Abstract:Using the solution figure of the first order linear homogeneous differential equation， this paper establishes the differentiation rules for two important classes of functions， and thus demonstrates that linear differential equations are closely related to the differentiation of functions.

Key words:differentiation rules; differential equations; power exponential function

[基金項目]國家自然科學基金(11401285)；聊城大學實驗技術研究基金(LDSY2014110)

[收稿日期]2014-07-20

[中圖分類號]O172.1； O175.1

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)01-0075-03