一道高等代數(shù)考題的命題思路及分析

謝啟鴻

(復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200433)

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一道高等代數(shù)考題的命題思路及分析

謝啟鴻

(復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200433)

[摘要]給出了復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2013-2014學(xué)年第二學(xué)期高等代數(shù)II期末考試一道壓軸題的命題思路及分析.

[關(guān)鍵詞]實(shí)對(duì)稱陣； 半正定矩陣； 特征值； 反交換性

復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院代數(shù)組在每學(xué)期高等代數(shù)期末考試的命題過程中， 特別是在最后兩道壓軸題的命題方面， 首先一直堅(jiān)持自主創(chuàng)新命題， 決不濫用陳題; 其次著重考察學(xué)生對(duì)高等代數(shù)最核心內(nèi)容的理解與掌握， 并在解題技巧的運(yùn)用方面保持一定的難度; 最后命題具有某種開放性， 能激發(fā)學(xué)生綜合運(yùn)用各種知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解答， 形成一題多解的局面. 本文將以復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2013-2014學(xué)年第二學(xué)期高等代數(shù)II期末考試一道壓軸題為例， 詳細(xì)闡述其命題思路及分析.

筆者認(rèn)為高等代數(shù)II最核心的內(nèi)容， 從幾何的角度來看應(yīng)該是內(nèi)積空間理論， 從代數(shù)的角度來看應(yīng)該是矩陣的正定性理論以及實(shí)正規(guī)陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形理論. 因此， 高等代數(shù)II期末考試的最后兩道壓軸題應(yīng)該在這一范圍內(nèi)命題. 在開始具體的命題探索之前， 我們還將遵循以下三個(gè)出發(fā)點(diǎn).

出發(fā)點(diǎn)1相抵標(biāo)準(zhǔn)形、相似標(biāo)準(zhǔn)形和合同標(biāo)準(zhǔn)形是處理矩陣問題的重要工具. 若給定的矩陣問題在相抵、相似或合同關(guān)系下具有某種不變性， 則可以把問題化為其中一個(gè)或幾個(gè)矩陣是標(biāo)準(zhǔn)形的情形進(jìn)行討論. 下面將通過兩道例題來說明上述化簡(jiǎn)問題的技巧， 我們的第一個(gè)出發(fā)點(diǎn)是希望考察學(xué)生對(duì)這一技巧的掌握和運(yùn)用.

例1設(shè)A，B，C分別是m×m，n×n，m×n矩陣， 滿足AC=CB且C的秩為r. 求證: A和B至少有r個(gè)相同的特征值.

證設(shè)P為m階非異陣， Q為n階非異陣， 使得

為相抵標(biāo)準(zhǔn)形. 在等式AC=CB的兩邊同時(shí)左乘P， 右乘Q可得

(PAP-1)(PCQ)=(PCQ)(Q-1BQ).

(1)

因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦担?故由 (1) 式不妨一開始就假設(shè)C是相抵標(biāo)準(zhǔn)形

設(shè)

為相應(yīng)的分塊， 代入AC=CB可得

即有A11=B11， A21=O， B12=O. 因此

例2設(shè)A，B是n階方陣且滿足AB=BA=O， rank(A)=rank(A2)， 求證:

rank(A+B)=rank(A)+rank(B).

證設(shè)P為n階非異陣， 使得P-1AP為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 在等式AB=BA=O的兩邊同時(shí)左乘P-1， 右乘P可得

(P-1AP)(P-1BP)=(P-1BP)(P-1AP)=O.

同理可證對(duì)A，B同時(shí)作相似變換也不改變秩的條件和結(jié)論， 故不妨一開始就假設(shè)A是Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 由rank(A)=rank(A2)知A的關(guān)于零特征值的Jordan塊都是1階的， 故可設(shè)

其中A11是非異陣. 設(shè)

為相應(yīng)的分塊， 代入AB=BA=O可得B11，B12，B21都是零矩陣， 從而

由此即得結(jié)論.

出發(fā)點(diǎn)2希望考察學(xué)生對(duì)矩陣的正定性 (半正定性) 與特征值之間關(guān)系的掌握和運(yùn)用. 眾所周知， 實(shí)對(duì)稱陣A是正定 (半正定) 矩陣的充分必要條件是A的特征值全為正實(shí)數(shù) (非負(fù)實(shí)數(shù)). 進(jìn)一步， 還有如下結(jié)論.

例3設(shè)A，B為n階實(shí)對(duì)稱陣， 求證:

(i) 若A，B均為正定矩陣， 則AB的特征值全為正實(shí)數(shù);

(ii) 若A，B均為半正定矩陣， 則AB的特征值全為非負(fù)實(shí)數(shù); 且AB的特征值全為零的充分必要條件是AB=O.

證只證明 (ii). 由于A為半正定矩陣， 故存在n階實(shí)方陣C， 使得A=C′C. 由教材 [1] 的習(xí)題6.1.8知AB=C′CB與CBC′有相同的特征值. 由B的半正定性可得CBC′也是半正定矩陣， 從而其特征值全為非負(fù)實(shí)數(shù)， 即AB的特征值全為非負(fù)實(shí)數(shù). 若AB的特征值全為零， 則CBC′的特征值全為零， 從而CBC′=O. 由于B為半正定矩陣， 故存在n階實(shí)方陣D， 使得B=DD′， 從而有等式

O=CBC′=C(DD′)C′=(CD)(CD)′，

兩邊同時(shí)取跡可得CD=O. 因此

AB=(C′C)(DD′)=C′(CD)D′=O.

出發(fā)點(diǎn)3希望考察學(xué)生對(duì)由矩陣乘法交換性誘導(dǎo)出來的相關(guān)性質(zhì)的掌握和運(yùn)用. 當(dāng)n階復(fù)方陣A，B乘法可交換時(shí)， 有許多良好的性質(zhì). 例如， (A+B)m可用二項(xiàng)式定理進(jìn)行展開; A，B有公共的特征向量; A，B可以同時(shí)上三角化; 若A，B都可對(duì)角化， 則A，B可以同時(shí)對(duì)角化. 進(jìn)一步， 我們還有如下結(jié)論.

例4設(shè)A，B為n階實(shí)對(duì)稱陣 (實(shí)正規(guī)陣)， 若AB=BA， 則存在n階正交矩陣P， 使得P′AP和P′BP都是對(duì)角陣 (實(shí)正規(guī)陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形).

證參考教材 [1] 的習(xí)題9.5.10和習(xí)題9.7.3.

相比之下， 矩陣乘法的反交換性給與的性質(zhì)卻較少. 例如， 由AB=-BA一般推不出A，B有公共的特征向量.

命題思路設(shè)A，B均為n階半正定實(shí)對(duì)稱陣， 則由例3(ii) 知AB的特征值全為非負(fù)實(shí)數(shù)， BA的特征值也全為非負(fù)實(shí)數(shù). 若進(jìn)一步假設(shè)A，B反交換， 即AB=-BA或AB+BA=O， 則AB的特征值全為零. 再次由例3(ii) 知AB=BA=O， 又由例4知A，B可同時(shí)正交對(duì)角化， 這就是要達(dá)到的結(jié)論. 經(jīng)過進(jìn)一步的分析發(fā)現(xiàn)， 可以把A，B的半正定性弱化為其中一個(gè)是半正定矩陣即可達(dá)到相同的結(jié)論. 經(jīng)過上述的命題思考， 可得到如下題目， 它是復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2013-2014學(xué)年第二學(xué)期高等代數(shù)Ⅱ期末考試的第七大題.

例5設(shè)A，B是n階實(shí)對(duì)稱陣且AB+BA=O. 證明: 若A是半正定矩陣， 則存在正交矩陣P， 使得

P′AP=diag{λ1，…，λr，0，…，0}，P′BP=diag{0，…，0，μr+1，…，μn}.

(2)

命題分析后經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)， 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院13級(jí)本科生中有30%左右的學(xué)生能完整正確地給出本題的證明. 值得一提的是， 學(xué)生們共給出了四種不同的證法， 這些證法不僅契合了我們命題時(shí)的出發(fā)點(diǎn)， 而且還有一種證法完全出乎我們的意料之外. 現(xiàn)將這些證法分述如下. 證法一運(yùn)用了出發(fā)點(diǎn)1中提到的化簡(jiǎn)技巧.

證法1(利用實(shí)對(duì)稱陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形理論)由于A是半正定實(shí)對(duì)稱陣， 故存在正交矩陣P， 使得

P′AP=diag{λ1，…，λr，0，…，0}，

其中λi>0(1≤i≤r)，r=rank(A). 在等式AB+BA=O的兩邊同時(shí)左乘P′， 右乘P可得

(P′AP)(P′BP)+(P′BP)(P′AP)=O.

因?yàn)榻Y(jié)論也在正交相似下保持不變， 所以不妨一開始就假設(shè)A是正交相似標(biāo)準(zhǔn)形

其中Λ=diag{λ1，…，λr}. 設(shè)

為相應(yīng)的分塊， 代入AB+BA=O中可得

設(shè)B11=(bij)1≤i，j≤r， 則

由λi>0 (1≤i≤r)可得bij=0 (1≤i，j≤r)， 即B11=O. 再由Λ的非異性易得B12，B21都是零矩陣， 從而B=diag{O，B22}. 由于B22為實(shí)對(duì)稱陣， 故存在n-r階正交矩陣Q， 使得

Q′B22Q=diag{μr+1，…，μn}.

令P=diag{Ir，Q}， 則P為n階正交矩陣使得 (2) 式成立.

雖然反交換的矩陣不一定有公共的特征向量， 但A的半正定性使得我們只需把問題限制在零特征值的特征子空間上討論即可 (這正是出發(fā)點(diǎn)2所強(qiáng)調(diào)的)， 此時(shí)A，B的反交換性就變成了交換性， 這就是證法二的主要思路.

證法2 (利用不變子空間理論)將問題轉(zhuǎn)化成幾何的語(yǔ)言: 設(shè)V為歐氏空間，φ為半正定自伴隨算子，ψ為自伴隨算子且φψ+ψφ=0， 證明存在V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基， 使得φ，ψ在這組基下的表示矩陣為 (2) 式中的對(duì)角陣.

設(shè)φ的全體不同特征值為λ1，…，λk， 對(duì)應(yīng)的特征子空間為V1，…，Vk， 則λi≥0且

V=V1⊥…⊥Vk.

任取非零向量α∈Vi， 則φ(α)=λiα. 在φψ+ψφ=0兩邊同時(shí)作用α可得

φ(ψ(α))=-λiψ(α).

如果能直接證明AB=O， 則AB=BA=O， 由例4即可得到要證的 (2) 式 (這正是出發(fā)點(diǎn)3 所強(qiáng)調(diào)的). 接著給出證法3.

證法3(利用實(shí)反對(duì)稱陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形理論)注意到

(AB)′=B′A′=BA=-AB，

即AB是實(shí)反對(duì)稱陣.可斷言AB=O. 用反證法， 若AB為非零實(shí)反對(duì)稱陣， 則存在n階正交矩陣P， 使得

其中bi≠0 (1≤i≤r)，r≥1. 設(shè)P的前兩個(gè)列向量為α1，α2， 則有

ABα1=-b1α2，ABα2=b1α1.

由A的半正定性可得

α′1BABα1=-b1α′1Bα2≥0，

α′2BABα2=b1α′2Bα1=b1α′1Bα2≥0，

從而有

α′1BABα1=-b1α′1Bα2=0.

再次由A的半正定性可知， 存在n階實(shí)方陣C， 使得A=C′C. 因此我們有

0=α′1BABα1=α′1BC′CBα1=(CBα1)′(CBα1)，

故CBα1=0， 從而

ABα1=C′CBα1=0，

于是b1α2=0， 這與b1≠0， α2≠0矛盾. 因此AB=BA=O， 由例4知A，B可同時(shí)正交對(duì)角化， 從而結(jié)論即得.

雖然上述方法證明了A，B可同時(shí)正交對(duì)角化， 但證明AB=O的過程過于技巧化， 能想到實(shí)屬不易. 然而， 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院13級(jí)一位同學(xué)卻另辟蹊徑， 利用A2，B可同時(shí)正交對(duì)角化來進(jìn)行證明， 這種方法來的更自然， 也很巧妙， 讓我們?nèi)握n老師贊嘆不已.

證法4(利用半正定矩陣的算術(shù)平方根)由AB=-BA，可得

A2B=-ABA=BA2，

即A2與B可交換. 由例4知存在n階正交矩陣P， 使得

(3)

其中λi>0 (1≤i≤r)， r=rank(A). 注意到

P′A2P=(P′AP)2=diag{λ1，…，λr，0，…，0}2，

由于A是半正定矩陣， 故P′AP與diag{λ1，…，λr，0，…，0}都是P′A2P的算術(shù)平方根. 由半正定矩陣算術(shù)平方根的唯一性 (參考教材 [1] 的推論9.8.2) 可得

P′AP=diag{λ1，…，λr，0，…，0}.

(4)

將 (3) 式和 (4) 式代入AB+BA=O中可得μ1=…=μr=0， 結(jié)論得證.

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)系本科生的基礎(chǔ)課程之一， 所授內(nèi)容均相對(duì)成熟和固定. 如何通過期末考試等形式更好的考察學(xué)生對(duì)所授知識(shí)的理解和掌握， 切實(shí)起到引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)的指揮棒的作用， 這是一個(gè)值得研究的課題. 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院代數(shù)組在高等代數(shù)的命題方面進(jìn)行了多年的探索 (參考論文 [2])， 本文所闡述考題的命題思路及分析正是在這一探索過程中得到的一些經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)， 希望同行專家多多指正.

致謝在本文的撰寫過程中， 得到了復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院姚慕生教授、吳泉水教授、朱勝林教授的熱心指導(dǎo)和大力斧正， 在此謹(jǐn)表示衷心的感謝.

[參考文獻(xiàn)]

[1]姚慕生， 吳泉水， 謝啟鴻. 高等代數(shù)學(xué)[M].3版.上海: 復(fù)旦大學(xué)出版社， 2014.

[2]謝啟鴻. 淺談高等代數(shù)命題中的若干技巧[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)， 2013， 29(3): 127-130.

The Analysis of Setting an Examination Question in Advanced Algebra

XIEQi-hong

(School of Mathematical Sciences， Fudan University， Shanghai 200433， China)

Abstract:We illustrate the analysis of setting the last question of the final examination of Advanced Algebra II in the second semester of the 2013-2014 school year in Fudan University.

Key words:real symmetric matrix; positive semi-definite matrix; eigenvalue; anti-commutativity

[基金項(xiàng)目]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)(國(guó)家級(jí))項(xiàng)目

[收稿日期]2014-04-28

[中圖分類號(hào)]O151.21

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)01-0070-05