有限域上代數(shù)簇間多項(xiàng)式映射的一個(gè)注記

林　晨，　李永彬

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都611731)

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有限域上代數(shù)簇間多項(xiàng)式映射的一個(gè)注記

林晨，李永彬

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都611731)

[摘要]設(shè)有限域Fq，文獻(xiàn)[1]構(gòu)造性的證明了結(jié)論：,Fq)中的每個(gè)元素都可以唯一的表示成Fq[x1,…,xn]中次數(shù)不超過(guò)q-1的多項(xiàng)式.本文利用Groebner基與多項(xiàng)式映射的相關(guān)結(jié)論, 首先給出了該結(jié)論一個(gè)更為簡(jiǎn)明的證明，并進(jìn)一步得到有限域上代數(shù)簇的多項(xiàng)式映射之間一個(gè)更為一般的性質(zhì).

[關(guān)鍵詞]有限域； 坐標(biāo)環(huán)； 多項(xiàng)式映射； 代數(shù)簇

1引言

其中Hom(k[W],k[V])表示從坐標(biāo)環(huán)k[W]到k[V]的所有環(huán)同態(tài)所構(gòu)成的集合.

2基礎(chǔ)知識(shí)

首先介紹代數(shù)幾何中代數(shù)簇及坐標(biāo)環(huán)的概念與基本性質(zhì)，詳盡內(nèi)容可參見(jiàn)[2,3,4].

設(shè)k為域，R=k[x1,…,xn]，V是kn中的非空代數(shù)簇，則如下定義的理想

為R中的根理想.

對(duì)于每個(gè)f∈R，稱映射

f∶V→k;α=(a1,…,an)f(α)=f(a1,…,an)

為V的一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，又若g∈R，有

?a∈V,f(a)=g(a) ? f-g∈I(V)=I，

也就是說(shuō)，V的一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)相當(dāng)于商環(huán)R/I中的一個(gè)元素，并稱商環(huán)R/I為代數(shù)簇V的坐標(biāo)環(huán)，記作k[V].

以下給出代數(shù)簇之間多項(xiàng)式映射的概念.

設(shè)k為域，U,V分別是km和kn中的非空子集，因?yàn)樗鼈優(yōu)橛邢藜式詾榇鷶?shù)簇[4].對(duì)于任意的fi=fi(x1,…,xm)∈k[x1,…,xm]，i=1,…,n可定義映射

f=(f1,…,fn)∶km→kn，

α=(α1,…,αm)(f1(α),…,fn(α)).

若f(U)?V，則稱f在U上的限制，記作f:U→V，是從U到V的一個(gè)多項(xiàng)式映射.

以下結(jié)論為本文證明中要引用到的相關(guān)性質(zhì).

引理2.1[2]令I(lǐng)為R=k[x1,…,xn]中的理想，則其對(duì)應(yīng)的商環(huán)R/I同構(gòu)于域k上的線性空間S=Span(xα,xα?LT(I))，其中LT(I)表示I中所有元素的首項(xiàng)的集合，即

引理2.2[2]設(shè)V與W均為域k上的代數(shù)簇.

(i) 令α:V→W為一個(gè)多項(xiàng)式映射，則對(duì)于代數(shù)簇W上的多項(xiàng)式函數(shù)φ:W→k，二者間的復(fù)合映射φ°α:V→k依然是一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)；并且，映射

α*(φ)=φ°α∈Hom(k[W],k[V]).

(ii) 令f為k[W]到k[V]間的一個(gè)保持常數(shù)不變的環(huán)同態(tài)，則存在唯一的從V到W的多項(xiàng)式映射α，滿足f=α*.

記代數(shù)簇V到W的所有多項(xiàng)式映射的集合為P(V,W)，由引理2.2不難得知，V與W的多項(xiàng)式映射與對(duì)應(yīng)坐標(biāo)環(huán)k[W]到k[V]間的環(huán)同態(tài)是一一對(duì)應(yīng)的，故不難得到以下的結(jié)論，即

3主要結(jié)果

故由引理2.1可得以下同構(gòu)關(guān)系

[參考文獻(xiàn)]

[1]馮克勤.抽象代數(shù)釋義[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009:119-120.

[2]DavidCox,JohnLittle,DonalO’Shea.Ideals,Varieties,andAlgorithms[M]. 3rd.ed.Springer,2007.

[3]宋光天.交換代數(shù)導(dǎo)引[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2005:105-108.

[4]靳琴琴.有限域上的坐標(biāo)環(huán)的性質(zhì)及三角分解[D].成都：電子科技大學(xué)，2014.

ANoteaboutPolynomialMappingofVarietiesonFiniteField

LIN Chen, LI Yong-bin

(SchoolofMathematicalScience,UniversityofElectronicScienceandTechnology,Chengdu611731,China)

Abstract:LetFqbe finite field, literature [1] has given a compositional proof: Every element of,Fq)canberepresentedbyapolynomialonFq[x1,…,xn] with degree no more than q-1.This text will first give a simple proof about the conclusion by using Groebner bases and polynomial mapping, and get a more general property of polynomial mappings between varieties on finite field.

Keywords:finitefield;coordinatering;polynomialmapping;variety

[收稿日期]2014-07-15

[中圖分類(lèi)號(hào)]O143

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)01-0035-03