洪 玲, 邢 燕
(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽合肥230009)
?
CE-Bézier曲線與二次均勻B樣條曲線的拼接
洪玲,邢燕
(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽合肥230009)
[摘要]將B樣條曲線轉(zhuǎn)換為Bézier曲線,基于Bézier曲線間的光滑拼接的理論,研究了帶多形狀參數(shù)的Bézier曲線(CE-Bézier曲線)與均勻B樣條曲線的拼接問題,得出均勻B樣條曲線與CE-Bézier曲線的G0,G1,G2光滑拼接條件.在達(dá)到拼接條件的前提下,通過改變CE-Bézier曲線的形狀參數(shù)的數(shù)值大小,可以靈活調(diào)整拼接曲線的形狀.
[關(guān)鍵詞]CE-Bézier曲線; 均勻B樣條; Bézier構(gòu)造方法; G2連續(xù)拼接
1引言
Bézier曲線和均勻B樣條曲線(UniformB-splinecurves)是計算機(jī)輔助幾何設(shè)計(CAGD)等領(lǐng)域表示和設(shè)計自由曲線方面的重要研究內(nèi)容[1],但隨著幾何造型工業(yè)的快速發(fā)展,特別是在新工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計的要求下,原有的Bézier方法和B樣條方法都很難滿足曲線、曲面的幾何造型需求.近幾年有許多曲線設(shè)計人員通過引入?yún)?shù)、對伯恩斯坦基和B樣條基進(jìn)行擴(kuò)展,構(gòu)造一些類似伯恩斯坦基和B樣條基性質(zhì)的基函數(shù),這樣可以便捷地改變曲線、曲面的形狀,增加其靈活性、形狀可調(diào)性和逼近性.因此,帶形狀參數(shù)的Bézier曲線和B樣條曲線的擴(kuò)展研究如今成為計算機(jī)輔助幾何設(shè)計中的熱點(diǎn)問題.
近年來,人們對通過形狀參數(shù)來調(diào)整曲線曲面的形狀產(chǎn)生了興趣:文獻(xiàn)[2]在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上提出了帶一個形狀參數(shù)參數(shù)的n次Bézier曲線,因?yàn)橹粠б粋€形狀參數(shù)的曲線,在對曲線進(jìn)行調(diào)控時,曲線只能在上下移動.為了更好地調(diào)控曲線,文獻(xiàn)[4]構(gòu)造了一類帶雙參數(shù)的二次三角Bézier曲線;文獻(xiàn)[5]提出了帶多形狀參數(shù)的廣義Bézier曲線曲面;文獻(xiàn)[6]提出了三角域上帶形狀參數(shù)的三次Bézier曲面;文獻(xiàn)[7]提出了兩種新的分別帶有2個和3個形狀控制參數(shù)的三次擴(kuò)展Bézier曲線,統(tǒng)稱為CE-Bézier曲線,CE-Bézier曲線不僅具有三次Bézier曲線的特性,而且具有靈活的形狀可調(diào)性和更好的逼近性,可靈活實(shí)現(xiàn)更多種逼近方式.
帶形狀參數(shù)的Bézier曲線、曲面應(yīng)用非常廣泛,然而在CAD/CAM中常會遇到復(fù)雜曲線、曲面的造型問題,通常我們采取的辦法就是進(jìn)行曲線、曲面的拼接.針對具有參數(shù)的Bézier曲線、曲面的拼接,近兩年也有許多文章:λαβ-Bézier曲線與3次Bézier曲線的拼接條件[8],帶多形狀參數(shù)的三次Bézier曲線曲面的光滑拼接[9],三次TC-Bézier與H-Bézier曲線曲面的光滑拼接[10]等等.但在曲線光滑拼接的研究中,往往都是對帶形狀參數(shù)的Bézier曲線之間或者是帶形狀參數(shù)Bézier曲線與一般Bézier曲線之間的拼接,很少有對帶形狀參數(shù)的Bézier曲線與均勻B樣條間的拼接.鑒于此本文以二次均勻B樣條曲線與CE-Bézier曲線間的拼接為例,并給出它們間拼接的G0,G1,G2光滑拼接條件.
2CE-Bézier曲線的定義
CE-Bézier曲線是由秦新強(qiáng)和胡剛在研究擴(kuò)展三次Bézier曲線時提出的[7],從文獻(xiàn)[7],我們可知三次CE-Bézier曲線有很多優(yōu)點(diǎn),如優(yōu)良的形狀可調(diào)性和對控制多邊形更好的逼近性,調(diào)整形狀參數(shù)可靈活實(shí)現(xiàn)多種逼近方式,且形狀參數(shù)的幾何意義明顯.更多的對不同形式多項(xiàng)式基函數(shù)的研究可參照文獻(xiàn)[12-16].
定義1[7]給定4個控制頂點(diǎn)Pi∈n,其中n=2,3;i=0,1,2,3.對t∈[0,1]定義曲線
(1)
稱式(1)所定義的四次多項(xiàng)式曲線為帶形狀控制參數(shù)α,β,γ的三次擴(kuò)展Bézier曲線,簡稱CE-Bézier曲線.其中四次多項(xiàng)式調(diào)配函數(shù)Bi,4(t)(i=0,1,2,3)定義如下:
(2)
式(2)中α,γ∈[-3,1],β∈[-3,3]為形狀控制參數(shù).
顯然,當(dāng)參數(shù)α=γ,β=0時,曲線(1)退化為帶單參數(shù)的三次Bézier曲線;而當(dāng)參數(shù)β=0時,曲線(1)退化成帶雙參數(shù)的三次Bézier曲線.由式(1),(2)不難推出CE-Bézier曲線具有如下性質(zhì):
(i) 端點(diǎn)性質(zhì)
(ii) 凸包性;
(iii) 當(dāng)α=γ,β=0時,曲線具有對稱性;
(iv) 幾何不變性和仿射不變性.
3B樣條曲線與Bézier曲線的轉(zhuǎn)換
二次均勻B樣條轉(zhuǎn)換為Bézier曲線,就是要找出兩者的控制點(diǎn)之間的關(guān)系,只需令兩條曲線的端點(diǎn)處的值和端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值相等即可.
設(shè)給定的控制頂點(diǎn)為Q0,Q1,Q2,則二次Bézier曲線可表示為
(3)
其中u∈[0,1].
設(shè)給定的控制頂點(diǎn)為V0,V1,V2,則二次均勻B樣條曲線可以定義表示為
(4)
其中u∈[0,1].
令二次Bézier曲線的端點(diǎn)及端點(diǎn)切矢分別等于二次均勻B樣條曲線的端點(diǎn)及端點(diǎn)切矢
則有
(5)
將(5)式代入(3)式,可得B(u)=P(u).
要將更高次的均勻B樣條轉(zhuǎn)化為Bézier曲線,可以利用轉(zhuǎn)化矩陣[17].
4拼接定理
設(shè)由式(1)所定義的一條CE-Bézier曲線P(t,α,β,γ),其控制頂點(diǎn)為P0,P1,P2,P3,則
式中Bi,4(i=0,1,2,3)由式(2)中所定義.
二次均勻B樣條曲線P(u)如(4)式所定義,控制頂點(diǎn)為V0,V1,V2.利用上述二次均勻B樣條曲線的Bézier構(gòu)造方法,有
其中Qi(i=0,1,2,3)如(5)式所定義,則CE-Bézier曲線P(t,α,β,γ)與二次均勻B樣條曲線P(u)的拼接就轉(zhuǎn)化為CE-Bézier曲線P(t,α,β,γ)與二次Bézier曲線之間的拼接.
定理1CE-Bézier曲線P(t,α,β,γ)與二次均勻B樣條曲線P(u)的G0光滑拼接的充要條件是
當(dāng)參數(shù)取值不一樣時,兩條曲線仍可以達(dá)到拼接條件.特別地,當(dāng)α=β=γ=0時,就是普通的Bézier曲線(圖中紅色曲線)與二次均勻B樣條曲線的拼接,如圖1所示.紅色,綠色,藍(lán)色,青色和粉紅曲線為不同形狀參數(shù)下的CE-Bézier曲線,黑色為二次均勻B樣條曲線.
圖1 曲線P(t,α,β,γ)與P(u)的G0光滑拼接
定理2CE-Bézier曲線P(t,α,β,γ)與二次均勻B樣條曲線P(u)的G1光滑拼接的充要條件是
則曲線P(t,α,β,γ)與曲線P(u)在公共連接點(diǎn)處達(dá)到G1光滑拼接.
證為了讓兩條曲線達(dá)到G1連續(xù),首先是G0連續(xù),在定理1中我們已經(jīng)給出了條件(i)的證明,在此我們只需證明條件(ii)即可.兩曲線在公共連接點(diǎn)處有G1連續(xù),其次還需兩曲線在連接點(diǎn)處的切矢方向相同,即
P′(1,α,β,γ)=κP′(0)(κ>0).
由式(ii)可知P′(1,α,β,γ)=(3+γ)(P3-P2),由式(5)可知P′(0)=V1-V0,則有
(3+γ)(P3-P2)=κ(V1-V0),
兩條曲線達(dá)到G1光滑拼接的圖形如圖2所示.當(dāng)CE-Bézier曲線參數(shù)取不同值時,仍可達(dá)到G1連續(xù).
圖2 曲線P(t,α,β,γ)與P(u)的G1光滑拼接
定理3在滿足G1連續(xù)的條件下,如果還滿足
則CE-Bézier曲線P(t,α,β,γ)與二次均勻B樣條曲線在公共連接點(diǎn)處有G2光滑拼接,其中κ如定理2中定義,ε為任意數(shù).
證由曼寧的G2光滑拼接條件,除了滿足G1光滑條件外,還需在連接點(diǎn)處滿足曲率連續(xù)條件
P″(1,α,β,γ)=κ2P″(0)+εP′(0).
(6)
由上文可知
P″(1,α,β,γ)=6(P3-2P2+P1)+6γ(P3-P2)+2β(P1-P2),
P″(0)=0.5V0-V1+0.5V2,P′(0)=V1-V0.
由(6)式,即有
CE-Bézier曲線與二次均勻B樣條曲線的G2拼接如圖3所示.
圖3 曲線P(t,α,β,γ)與P(u)的G2光滑拼接
5結(jié)束語
本文研究了一種重要的帶多形狀參數(shù)的三次擴(kuò)展Bézier曲線—CE-Bézier與二次均勻B樣條的拼接,首先利用B樣條曲線的Bézier構(gòu)造方法,把二次均勻B樣條曲線轉(zhuǎn)化為二次Bézier曲線,然后再討論了CE-Bézier曲線與二次Bézier曲線的拼接條件.由于第二類CE-Bézier曲線不僅具有更好的逼近性和更靈活的逼近方式,而且計算相對簡單.
本文中給出了CE-Bézier與二次均勻B樣條的G0,G1,G2拼接條件,在達(dá)到拼接的前提下,取不同的參數(shù)值,可以靈活調(diào)整拼接曲線的形狀,相信對曲線設(shè)計人員有一定幫助.
[參考文獻(xiàn)]
[1]施法中. 計算機(jī)輔助幾何設(shè)計與非均勻有理B樣條[M]. 北京:高等教育出版社, 2001:21-27.
[2]劉植. Bézier 曲線的擴(kuò)展[J]. 合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2004,27(8): 976-979.
[3]吳曉勤, 韓旭里. 三次Bézier曲線的擴(kuò)展[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報, 2005, 26(6): 98-102.
[4]謝進(jìn), 鄔弘毅. 一類帶雙參數(shù)的二次三角Bézier曲線[J]. 合肥學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版), 2006, 16(1): 20-23.
[5]劉植, 陳曉彥, 江平. 帶多形狀參數(shù)的廣義Bézier曲線曲面[J]. 計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報, 2010,5(5): 838-844.
[6]劉植, 檀結(jié)慶, 陳曉彥. 三角域上帶形狀參數(shù)的三次Bézier曲面[J]. 計算機(jī)研究與發(fā)展, 2012, 49(1): 152-157.
[7]秦新強(qiáng), 胡鋼, 張素霞. 三次Bezier曲線的新擴(kuò)展及其應(yīng)用[J]. 計算機(jī)工程與應(yīng)用, 2008, 44(2): 112-115.
[8]楊林英, 張貴倉. λαβ-Bézier曲線與3次Bézier曲線的拼接條件[J]. 江西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2011(11):621-623.
[9]胡鋼, 張念娟, 秦新強(qiáng), 等. 帶多形狀參數(shù)的三次Bézier曲線曲面的光滑拼接[J]. 西安理工大學(xué)學(xué)報, 2009, 25(4): 482-486.
[10]喻德生, 劉燁. 三次TC-Bézier與H-Bézier曲線曲面的光滑拼接[J]. 南昌航空大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) , 2011, 25(2):7-11.
[11]張貴倉, 楊林英, 胡志濤, 等. 三次Bézier曲線與二次均勻B樣條曲線的光滑拼接[J]. 西北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2012,48(5):28-31.
[12]Han X. Quadratic trigonometric polynomial curves with a shape parameter [J]. Computer Aided Geometric Design, 2002, 19(7): 503-512.
[13]鄔弘毅, 陳曉彥.多形狀參數(shù)的三次非均勻三角多項(xiàng)式曲線[J]. 計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報, 2006, 18(10): 1599-1606.
[14]Han X A, Ma Y C, Huang X L. The cubic trigonometric Bézier curve with two shape parameters [J].Applied Mathematics Letters, 2009, 22(2): 226-231.
[15]Han X A, Huang X L, Ma Y C. Shape analysis of cubic trigonometric Bézier curves with a shape parameter [J]. Applied Mathematics and Computation, 2010, 217(6): 2527-2533.
[16]喻德生, 徐迎博, 曾接賢. 一類雙參數(shù)類四次三角Bézier 曲線及其擴(kuò)展[J].計算機(jī)工程與應(yīng)用 2013, 49(18):180-186.
[17]徐少平, 白似雪, 薛之昕, 等. B樣條與Bézier曲線轉(zhuǎn)換矩陣的快速計算方法及應(yīng)用[J]. 計算機(jī)應(yīng)用與軟件, 2008, 25(7): 91-93.
Research on Smooth Connection between CE-Bézier
Curves and Quadratic B-spline Curves
HONGLing,XINGYan
(School of Mathematic, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)
Abstract:Based on the theory of curves’ smooth connection, the paper researched the connection problem between Bézier curves with multiple shape parameters (CE-Bézier) and uniform B-spline curves, through converting B-spline curves to Bézier representation. The necessary and sufficient conditions of G0,G1,G2splicing between CE-Bézier curves and uniform B-spline curves were proposed. After meeting the splicing conditions, by changing the shape parameters of CE-Bézier curve, the shape of the stitching curve can be adjusted flexibly.
Key words:CE- Bézier curve; Uniform B-spline; Bézier constructive method; G2- continuity splicing
[基金項(xiàng)目]國家自然科學(xué)基金青年基金(61100126);安徽省自然科學(xué)基金(1308085MA09);合肥工業(yè)大學(xué)橫向課題(JY13-014)
[收稿日期]2014-07-01
[中圖分類號]TP391
[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A
[文章編號]1672-1454(2015)01-0026-05