單折太陽翼支承點(diǎn)分布優(yōu)化分析

李鄭發(fā)， 曹登慶， 張迎春

(1.深圳航天科技創(chuàng)新技術(shù)研究院，廣東 深圳　518057；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱　150001； 3. 深圳航天東方紅海特衛(wèi)星有限公司，廣東 深圳　518054)

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單折太陽翼支承點(diǎn)分布優(yōu)化分析

李鄭發(fā)1,2,3， 曹登慶2， 張迎春1,3

(1.深圳航天科技創(chuàng)新技術(shù)研究院，廣東 深圳518057；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱150001； 3. 深圳航天東方紅海特衛(wèi)星有限公司，廣東 深圳518054)

折疊式太陽翼結(jié)構(gòu)成為現(xiàn)代航天器設(shè)計(jì)中最為常見的一種形式。它即能滿足航天器能源的需求又能適應(yīng)搭載空間的約束。在發(fā)射階段，太陽翼通過壓緊機(jī)構(gòu)折疊于航天器本體側(cè)壁上，當(dāng)航天器入軌后，壓緊機(jī)構(gòu)釋放后太陽翼展到預(yù)定平面內(nèi)。單折太陽翼相比多折疊太陽翼具有高可靠性的優(yōu)點(diǎn)，隨著航天技術(shù)的發(fā)展，航天器的小型化和能源利用效率的提高，單折太陽翼結(jié)構(gòu)形式在微小衛(wèi)星構(gòu)型設(shè)計(jì)中將得到廣泛應(yīng)用。太陽翼結(jié)構(gòu)是航天器上最為關(guān)鍵的結(jié)構(gòu)之一，在發(fā)射階段其力學(xué)環(huán)境十分惡劣，使得人們對(duì)太陽翼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性尤為關(guān)注[1-2]，而太陽翼支承點(diǎn)的位置對(duì)其固有特性的影響十分敏感。

典型的小衛(wèi)星單折太陽翼通常由兩個(gè)鉸鏈和兩個(gè)壓緊點(diǎn)與衛(wèi)星本體連接，其兩個(gè)鉸鏈位于太陽翼基板一邊，而壓緊點(diǎn)通常位于基板內(nèi)，是典型的四點(diǎn)彈性支承約束下的矩形板結(jié)構(gòu)形式。多年來，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)點(diǎn)支承板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自由振動(dòng)問題開展了相關(guān)研究：Gorman[3]基于薄板振動(dòng)問題的經(jīng)典解析解，采用疊加方法求解四點(diǎn)對(duì)稱支承矩形板的振動(dòng)問題。Narita等[4]利用雙冪級(jí)數(shù)試函數(shù)，并根據(jù)Ritz法分析了對(duì)稱四點(diǎn)支承正交異性矩形板、帶內(nèi)部點(diǎn)支承正交異性懸臂板和任意多點(diǎn)支承正交異性橢圓板的自由振動(dòng)問題。許琪樓[5]將四角點(diǎn)支承四邊自由矩形板振形函數(shù)表達(dá)式由四邊自由板所固有的基本振形和角點(diǎn)力所激發(fā)的附加振型組成,對(duì)四角點(diǎn)支承四邊自由矩形板自振進(jìn)行了分析。Lopatin等[6]由哈密爾頓原理推導(dǎo)了四邊自由中心單點(diǎn)支承矩形板的振動(dòng)方程，并基于廣義Galerkin法獲得較為精確的系統(tǒng)固有頻率。Saadatpour等[7]也基于Galerkin法研究了一般形狀的矩形板含有內(nèi)部點(diǎn)支承或線支承的振動(dòng)特性。Bapat等[8]采用柔度函數(shù)法分析了位于板自由邊界和內(nèi)部多點(diǎn)支承的矩形板的振動(dòng)。該方法是在自由邊界或內(nèi)部支點(diǎn)處添加一個(gè)虛擬的彈性約束條件，并構(gòu)造一個(gè)柔度函數(shù)滿足其在約束條件處位移邊界條件。王硯等[9]采用無網(wǎng)格Galerkin法分析了四邊簡支板的固有頻率與點(diǎn)彈性支承的剛性系數(shù)和支承位置之間關(guān)系,并分析了點(diǎn)彈性支承的剛性系數(shù)和支承位置對(duì)矩形薄板橫向振動(dòng)特性的影響。Wang等[10]利用Rayleigh-Ritz法研究了一條邊和單點(diǎn)約束下矩形板的固有頻率，并對(duì)支承點(diǎn)位置對(duì)固有頻率的影響開展討論。Huang等[11]利用有限層法對(duì)內(nèi)部含彈性點(diǎn)支承矩形薄板橫向振動(dòng)問題開展了相關(guān)研究。此外，對(duì)點(diǎn)支承矩形薄板振動(dòng)特性的其它相關(guān)研究,可參閱相關(guān)文獻(xiàn)[12-18]。

從上述研究工作中可以看出沒有針對(duì)典型的單折四點(diǎn)支承太陽翼結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的研究報(bào)道。本文主要針對(duì)典型小衛(wèi)星單折太陽翼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性及支承點(diǎn)的分布對(duì)固有特性的影響進(jìn)行深入分析。主要根據(jù)能量守恒原理和Rayleigh-Ritz理論推導(dǎo)出單折太陽翼的橫向振動(dòng)方程和頻率方程。通過數(shù)值分析詳細(xì)地研究了壓緊點(diǎn)在不同位置對(duì)其基頻影響的變化規(guī)律，以基頻最大化為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)其支承點(diǎn)的分布進(jìn)行優(yōu)化分析，并將理論分析結(jié)果與有限元分析結(jié)果進(jìn)行比較和驗(yàn)證。

1折疊翼振動(dòng)方程的建立

圖1　點(diǎn)支承太陽翼結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Thesolar panel supported with distributed point supports

多數(shù)情況下，航天器在構(gòu)型布局時(shí)優(yōu)優(yōu)先考慮太陽翼壓緊點(diǎn)和鉸鏈安裝位置的設(shè)計(jì)，其原因在于太陽翼面積相對(duì)較大，且支承點(diǎn)數(shù)量要盡量少，而支承點(diǎn)位置對(duì)太陽翼固有特性的影響十分敏感。圖1給出的是典型四點(diǎn)支承單折矩形太陽翼折疊狀態(tài)示意圖，太陽翼通過兩個(gè)根部鉸鏈和兩個(gè)壓緊桿與衛(wèi)星本體連接。

不同航天器其根部鉸鏈和壓緊桿以及與航天器結(jié)構(gòu)連接處對(duì)太陽翼的彈性約束都完全不同。航天器初步設(shè)計(jì)時(shí)在對(duì)如圖1所示的四點(diǎn)支承太陽翼固有特性分析時(shí)可以不考慮壓緊桿和鉸鏈對(duì)翼板的彈性約束，將其簡化如圖2所示的力學(xué)分析模型。假設(shè)矩形太陽翼板的邊長分別為a,b，厚度為h，其兩邊分別位于坐標(biāo)軸上ξ,ζ,支承點(diǎn)分別位于A、B、D和C處,四邊處于自由狀態(tài)。其中A、B處為太陽翼鉸鏈的安裝位置，D和C為太陽翼壓緊點(diǎn)的位置。假設(shè)鉸鏈處的等效剛度為k1，壓緊點(diǎn)出的等效剛度為k2。

圖2　折疊太陽翼力學(xué)分析模型Fig.2 The analytical model of folding solar panels

當(dāng)翼板橫向自由振動(dòng)時(shí)，假設(shè)其撓度函數(shù)可以表示：

w(ξ,ζ,t)=W(ξ,ζ)sin(ωt)

(1)

式中：ω為振動(dòng)角頻率，W(ξ,ζ)為板橫向振動(dòng)形函數(shù)。

不考慮實(shí)際太陽翼結(jié)構(gòu)上的太陽電池片和太陽翼基板復(fù)合材料的非均勻性等因素，將太陽翼簡化為均質(zhì)各向同性材料的板結(jié)構(gòu)。那么，翼板在橫向振動(dòng)過程中的動(dòng)能T和勢能U分別表示為：

(2)

(3)

(4)

為了便于分析,引入無量綱參數(shù)x=ξ/a、y=ζ/b。將式(1)代入(2)-(4)式整理得到太陽翼板振動(dòng)的最大動(dòng)能Tp-max和最大變形勢能Up-max，以及壓緊桿和鉸鏈等效彈簧的最大勢能Us-max為分別為：

(5)

(6)

(7)

式中：長寬比α=a/b，無量綱撓度函數(shù)為W(x,y)。

由能量守恒原理得到折疊太陽翼的振動(dòng)方程為：

Us-max+Up-max-Tp-max=0

(8)

為了便于敘述令：

Π=Us-max+Up-max-Tp-max

(9)

2固有頻率方程的建立

當(dāng)找到合適的撓度函數(shù)為W(x,y)(能夠滿足其位移邊界條件)，則由方程(8)就可以獲得系統(tǒng)的固有頻率。假設(shè)其撓度函數(shù)為如下形式：

(10)

式中,Amn為待定參數(shù)；Xm(x)和Yn(y)分別采用自由梁的振動(dòng)本征函數(shù)[13]表示：

Xr=cosh(λrx)+cos(λrx)-

γrsinh(λrx)-γrsin(λrx)

(11)

Yr=cosh(λry)+cos(λry)-

γrsinh(λry)-γrsin(λry)

(12)

其中:r>2，式中參數(shù)λr、γr滿足如下關(guān)系式：

cosh(λrx)cos(λrx)=1

(13)

(14)

將振型函數(shù)(10)代入到方程(8)，由Rayleigh-Ritz法對(duì)待定系數(shù)Amn進(jìn)行一階偏導(dǎo)得到如下方程：

(15)

把式(11)~式(14)代入到方程式(15)，并利用本征函數(shù)的正交性得到系統(tǒng)的頻率方程為：

(16)

式中：I為單位矩陣，Kmnij、Ks-mnij和η分別表示為：

(17)

(18)

η=ρhω2a4/D

(19)

(20)

(21)

式中：m,i=1,2,3,…,M；n,j=1,2,3,…N;r,t=0,1,2。

確定方程(10)振型函數(shù)W(x,y)中項(xiàng)數(shù)M、N后，通過方程(16)可以求得參數(shù)η，從而由式子(19)得到系統(tǒng)的固有頻率f：

(22)

3支承點(diǎn)分布優(yōu)化分析

如圖1所示的典型四點(diǎn)支承單折矩形太陽翼，其四個(gè)支承點(diǎn)關(guān)于太陽翼板中心線l對(duì)稱，且A、B之間距離與C、D之間的距離相等。因此，當(dāng)D點(diǎn)的位置確定后其余三點(diǎn)位置都已明確。為了快速獲得支承點(diǎn)D的最佳位置(即結(jié)構(gòu)基頻最大支承點(diǎn)位置)，初步判斷最優(yōu)支承點(diǎn)位置位于區(qū)域:0.5

圖3　參數(shù)η與支承點(diǎn)D位置關(guān)系Fig.3 The relationship of parameter(η)versus the support location(D)

圖4　參數(shù)η等值線分布圖Fig.4 The isoclines distribution of parameter η

從圖4可以看出，D點(diǎn)位于：{x=0.74,y=0.18}處(假定為O點(diǎn))系統(tǒng)基頻頻率參數(shù)η取得最大值。其等值曲線圖表明，遠(yuǎn)離O點(diǎn)的支承位置系統(tǒng)基頻逐漸減小，支承點(diǎn)處同一等值線上的系統(tǒng)基頻是相等，即除O點(diǎn)外系統(tǒng)處于相同頻率的支承點(diǎn)位置有無窮多個(gè)，其分布特點(diǎn)與等值線分布相同。

對(duì)該系統(tǒng)在不同長寬比條件下進(jìn)行數(shù)值分析，但其支承點(diǎn)D均位于{x=0.74,y=0.18}處，其分析結(jié)果如圖5。從圖5可以看出長寬比α在1≤α≤2范圍內(nèi)取值對(duì)系統(tǒng)參數(shù)η的影響很小，僅在227.5<η<229.5范圍內(nèi)變化，如果取其中間值228.5來計(jì)算其頻率，引起的誤差僅在-0.21%~0.218%之間。因此，長寬比α的變化對(duì)系統(tǒng)的頻率影響很小，可以近似取值為228.5得到系統(tǒng)的最大基頻的近似計(jì)算公式為：

(23)

圖5　參數(shù)η與長寬比α關(guān)系Fig.5 Curves of parameter η versus side ratio α

為了驗(yàn)證上述理論公式的有效性,選取4種不同長寬比的太陽翼結(jié)構(gòu)將其理論計(jì)算結(jié)果fth(采用式(23)計(jì)算)和有限元分析結(jié)果fFEM進(jìn)行比較，結(jié)果見表2所示。其相關(guān)參數(shù)見表1所示。其中有限元分析采用通用Patran&Nastran前后處理和求解軟件。采用4節(jié)點(diǎn)四邊形Bending Panel單元對(duì)整板進(jìn)行網(wǎng)劃分，單元長度為0.03 m；采用表1中材料參數(shù)對(duì)單元屬性進(jìn)行賦值；通過約束4個(gè)支承點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)3個(gè)平動(dòng)來模擬邊界條件。

從表2中可以看出其理論計(jì)算結(jié)果與有限分析結(jié)果相比較都偏大，但是其偏差僅在5%以內(nèi),能夠滿足絕大部分工程應(yīng)用要求。其存在誤差的主要原因在于振型函數(shù)W(x,y)中項(xiàng)數(shù)取得較少，實(shí)際工程中，可以根據(jù)要求來適當(dāng)選取振型函數(shù)中項(xiàng)數(shù)，從而達(dá)到需要的精度要求，此外該方法求解折疊太陽翼結(jié)構(gòu)的一階固有頻率是一種近似求解方法而非精確解。

表1　矩形板參數(shù)

表2　基頻分析結(jié)果

4結(jié)論

對(duì)典型小衛(wèi)星單折太陽翼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性及支承點(diǎn)的分布位置對(duì)固有特性的影響進(jìn)行了深入研究,獲得了單折太陽翼的頻率方程。當(dāng)支承點(diǎn)D位置位于{x=0.74,y=0.18}處時(shí)系統(tǒng)的基頻最大,且矩形太陽翼的長寬比對(duì)系統(tǒng)最大基頻影響很小，僅在±0.22%以內(nèi)。給出了便于近似求解系統(tǒng)最大基頻的式(23)，并通過算例分析表明該公式具有較好的工程應(yīng)用精度。本文分析結(jié)果對(duì)太陽翼支承點(diǎn)位置的初步設(shè)計(jì)以及相關(guān)結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計(jì)具有十分重要應(yīng)用價(jià)值。

參 考 文 獻(xiàn)

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第一作者 李鄭發(fā) 男，博士，高工，1983年8月生

摘要：支承點(diǎn)的分布對(duì)折疊太陽翼動(dòng)力學(xué)特性有顯著影響。為了研究壓緊點(diǎn)分布對(duì)折疊太陽翼固有頻率的影響，以典型的單折點(diǎn)支承太陽翼為研究對(duì)象，根據(jù)能量守恒原理和Rayleigh-Ritz理論推導(dǎo)出點(diǎn)支承單折太陽翼的振動(dòng)方程和頻率方程。研究了四點(diǎn)對(duì)稱支承太陽翼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有動(dòng)力學(xué)特性，并以基頻最大為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)其支承點(diǎn)的分布進(jìn)行優(yōu)化分析。通過算例分析表明其理論計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果具有較好的一致性。研究結(jié)果對(duì)太陽翼支承點(diǎn)分布的初步設(shè)計(jì)提供了理論分析依據(jù)。

關(guān)鍵詞：太陽翼；優(yōu)化分析；Rayleigh-Ritz法；基頻；點(diǎn)支承

Optimization of supporting points distribution for single folding solar panels

LIZheng-fa1,2,3,CAODeng-qing2,ZHANGYing-chun1,3(1. Shenzhen Academy of Aerospace Technology, Shenzhen 518057, China;2. The School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;3. Shenzhen Aerospace Dongfanghong HT Satellite Ltd. CAST, Shenzhen 518054, China)

Abstract:The distribution of supporting points has a significant impact on dynamic characteristics of a folding solar panel. In order to study the effect of supporting points distribution on the fundamental frequency of folding solar panel, a typical single folding solar panel supported at four points was taken as the investigation object. Based on the energy conservation principle and Rayleigh-Ritz theory, a vibration equation and a frequency equation were established for analyzing the free vibration of folding solar panel with points support. The vibration characteristics of the folding solar panel symmetrically supported at four points were solved, and aiming at achieving the maximum fundamental frequency, the optimization of support points distribution was also discussed. The examples show the theoretical calculation results have good consistency with the results of the finite element analysis. The research results could provide a theoretical basis for the preliminary design of supporting points distribution for single folding solar panels.

Key words:solar panel; optimization analysis; Rayleigh-Ritz method; fundamental frequency; points support

中圖分類號(hào):O326

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.24.029

收稿日期：2014-10-16修改稿收到日期：2014-12-18

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(91216106);國家重大基礎(chǔ)研究項(xiàng)目資助