一類函數(shù)列積分中值點像點的單調(diào)性

朱福國，賈秀梅

(河西學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅張掖　734000)

一類函數(shù)列積分中值點像點的單調(diào)性

朱福國，賈秀梅

(河西學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅張掖734000)

摘要：探討閉區(qū)間上非負連續(xù)函數(shù)列{g(x)fn(x)}積分中值點xn所產(chǎn)生的數(shù)列{f(xn)}的單調(diào)性,以及序列{fn(xn)}的收斂性，從而將與積分g(x)fn(x)dx有關的積分極限問題轉化為數(shù)列極限來解決.

關鍵詞：函數(shù)列；積分中值定理；積分中值點；單調(diào)性；積分極限

收稿日期：2015-01-27;修改稿收到日期:2015-03-27

E-mail:zhufghx2007@126.com

基金項目:國家自然科學基金資助項目(11461019)；甘肅省高等學?？蒲许椖?2014A-109)

作者簡介：朱福國(1962—)，男，甘肅古浪人，教授.主要研究方向為基礎分析學.

中圖分類號：O 172.2

文獻標志碼：標志碼：A

文章編號：章編號：1001-988Ⅹ(2015)06-0014-03

Abstract:This paper discusses the monotonicity of the sequence {f(xn)} generated by the integral mean value point of nonnegative continuous function sequence {g(x)fn(x)} on a closed interval,and then studies the convergence of the sequence {fn(xn)}.g(x)fn(x)dxare translated into sequence limits to solve it.

Monotonicityoftheimagesequenceaboutintegralmean

valuepointsofafunctionsequence

ZHUFu-guo,JIAXiu-mei

(SchoolofMathematicsandStatistics,HexiUniversity,Zhangye734000,Gansu,China)

Keywords:functionsequence;integralmeanvaluetheorem；integralmeanvaluepoint;monotonicity；integrallimit

0引言

設f(x),g(x)∈C[a,b],f(x)≥0,f(x)?0，g(x)有正下界，由積分中值定理，對每個n∈N,均有xn∈[a,b]，使得

中值定理雖然能肯定中值的存在性，但卻無法確定中值xn的具體位置.在n→∞的極限過程中，xn隨著n的變化而變化，其函數(shù)值fn(xn)既要考慮n的變化，又要兼顧xn的漸近性，在一般情況下很難確定.

2013年，劉合財[1]探討了閉區(qū)間[a,b]上非負、連續(xù)嚴格遞增及嚴格遞減函數(shù)列{fn(x)}的積分中值點的漸近性，文獻[2-5]以題說法，利用定積分的性質(zhì)和一些技巧解決了若干關于函數(shù)列積分極限的典型題目.

1主要結果

定理1設f(x),g(x)∈C[a,b],f(x)≥0,f(x)?0,g(x)有正下界，對每個n∈N,均有xn∈[a,b],使得

即

又因在閉區(qū)間上非負但不恒為零的連續(xù)函數(shù)的積分大于零[5]，故fn(xn)>0，于是

其次用數(shù)學歸納法證明{f(xn)}關于n單調(diào)遞增.當n=1時，

故f(x1)≤f(x2).

假設f(xk)≤f(xk+1),則根據(jù)(3)式，有

故f(xk+2)≥f(xl+1)>0.

所以，由數(shù)學歸納法可得數(shù)列{f(xn)}單調(diào)遞增.】

定理2[1]設f(x)在[a,b]上非負、連續(xù)，由積分中值定理，對?n∈N,?xn∈[a,b],使得

證明由定理1可知點列{f(xn)}單調(diào)遞增.

注1:定理2即文獻[1]中的定理2、定理4，但證明方法有別于文獻[1].

證明因f(x)>1,由定理1，{f(xn)}單調(diào)遞增，所以對?n∈N及固定的p∈N,有

證明若存在x0∈[a,b],使得f(x0)>1，則由連續(xù)函數(shù)的局部保號性，存在[a1,b1]?[a,b]，使得對?x∈[a1,b1],f(x)>1，于是

證明因f(x)∈C[a,b],0≤f(x)≤1,所以對?n∈N及固定的p∈N,有

0≤fn+p(x)≤fn(x)≤1,

于是

即0

對?n∈N及固定的p∈N，有

由于f(x)∈C[a,b],1-fp(x)∈C[a,b]且在[a,b]上不變號，所以由積分第一中值定理的變形改進[3]可知，存在ξ∈(a,b)，使得

即

2結論

參考文獻:

[1]劉合財.一類函數(shù)列的積分中值點的漸近性[J].數(shù)學的實踐與認識，2013，43(19)：275.

[2]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2001：208.

[3]謝惠民,惲自求,易法槐，等.數(shù)學分析習題課講義:上冊[M].北京：高等教育出版社，2003：306.

[4]趙顯曾,黃安才.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2001：275.

[5]陳紀修,於崇華,金路.數(shù)學分析:上冊[M].第2版.北京：高等教育出版社，2004：272.

[6]周民強.實變函數(shù)論[M].北京：北京大學出版社，2003：125.

(責任編輯馬宇鴻)