基于不確定理論的EOQ模型及庫存風(fēng)險分析

黃世華1，楊兆蘭1，曹建軍2，秦燕燕3

(1.蘭州文理學(xué)院師范學(xué)院, 甘肅蘭州　730030；

2.西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,甘肅蘭州　730070；

3.甘肅省白龍江林業(yè)管理局林業(yè)科學(xué)研究所,甘肅蘭州　730070)

基于不確定理論的EOQ模型及庫存風(fēng)險分析

黃世華1，楊兆蘭1，曹建軍2，秦燕燕3

(1.蘭州文理學(xué)院師范學(xué)院, 甘肅蘭州730030；

2.西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,甘肅蘭州730070；

3.甘肅省白龍江林業(yè)管理局林業(yè)科學(xué)研究所,甘肅蘭州730070)

摘要：基于不確定理論，研究了需求為不確定變量(不是隨機(jī)變量和模糊變量)的庫存風(fēng)險控制最優(yōu)策略，以風(fēng)險最小化為目標(biāo)建立了庫存風(fēng)險模型.確定了“之字形分布”下的最佳需求估計值，得出了需求為不確定變量時的經(jīng)濟(jì)訂貨批量和訂貨周期的修正公式.應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件Matlab，對該模型進(jìn)行仿真計算，結(jié)合靈敏度分析方法，分析了模型參數(shù)變化對庫存風(fēng)險控制的影響.

關(guān)鍵詞：不確定變量；之字形分布；經(jīng)濟(jì)訂貨批量；庫存風(fēng)險模型

收稿日期：2015-03-27;修改稿收到日期:2015-08-26

E-mail:shihuah@sina.com

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(41461109)

作者簡介：黃世華(1969—)，女，甘肅永靖人，教授.主要研究方向為數(shù)理應(yīng)用及模型.

中圖分類號：O 227

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：標(biāo)志碼：A

文章編號：章編號：1001-988Ⅹ(2015)06-0028-07

Abstract:In order to achieve the goal of minimizing risk on inventory,based on the uncertainty theory,the optimal strategy of inventory control under uncertain demand is explored,and the risk model of inventory is established.Furthermore,the best demand estimated value is confirmed under the“zigzag distribution”,and the formulae of economic order quantity and the ordering cycle with uncertain variables are further corrected.Following this,using the mathematical software Matlab,the model’s simulation values are calculated,and the effect of parameter variation on inventory risk control is analysed by combining with sensitivity analysis method.

EOQmodelbasedonuncertaintytheoryand

inventoryriskanalysis

HUANGShi-hua1，YANG Zhao-lan1，CAO Jian-jun2，QIN Yan-yan3

(1.NormalCollege,LanzhouUniversityofArtsandSciences,Lanzhou730030,Gansu,China；

2.CollegeofGeographyandEnvironmentSciences,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China；

3.ResearchInstituteofForestryScience,BailongjiangForestryManagementBureau,Lanzhou730070,Gansu,China)

Keywords:uncertainvariables；zigzagdistribution；economicorderquantity；inventoryriskmodel

0引言

不確定理論由Liu[1]于2007年建立，并于2010年得到了進(jìn)一步完善[2]．該理論是具有規(guī)范性、對偶性、次可列可加性和乘積測度的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，是公理化數(shù)學(xué)的一個分支，是用于研究主觀不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具．不確定集是不確定理論的主要內(nèi)容之一，2010年Liu[3]首次提出不確定集，并于2012年給出了不確定集的新定義[4].不確定集是定義在不確定空間上的極值函數(shù)，不同于Zadeh[5]定義的模糊集和Matheron[6]定義的隨機(jī)集．不確定集、模糊集和隨機(jī)集雖都是極值函數(shù)，但它們之間存在本質(zhì)的不同.主要區(qū)別在于依據(jù)的測度不同，即不確定集依據(jù)的是Liu[1]定義的不確定測度，模糊集依據(jù)的是Zadeh[5]提出的可能測度，隨機(jī)集依據(jù)的是Kolmogorov[7]定義的概率測度．目前，不確定理論已成功應(yīng)用于信息科學(xué)、自動化、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工業(yè)工程和管理科學(xué)等領(lǐng)域中．

庫存問題一直是生產(chǎn)管理領(lǐng)域的探索前沿，許多新概念都是在對其進(jìn)行系統(tǒng)研究和深刻反思的基礎(chǔ)之上提出的．自Wilson于1905年首次提出經(jīng)濟(jì)批量公式(EOQ)以后,存貯理論發(fā)展異常迅猛，許多學(xué)者對庫存模型中經(jīng)濟(jì)批量研究做了很多工作．李溫紅[8]提出倉庫容量有限條件下訂貨銷售存貯的EOQ模型；宋國芳等[9]對有批量折扣不允許缺貨的EOQ問題進(jìn)行了研究；楊益民等[10]討論了關(guān)于生產(chǎn)銷售存貯的EOQ問題；羅兵[11]等探討了存貨影響銷售和顧客等待的特價商品EOQ模型；萬延花等[12]以利潤最大化為目標(biāo)，利用利潤的兩階段函數(shù)給出了再制造零部件和再裝配產(chǎn)品的最優(yōu)批量．Ilkyeong等[13]研究了產(chǎn)品壽命周期在隨機(jī)變量條件下，資金的時間價值和通貨膨脹因素對EOQ模型的影響；Gupta-Vrat[14]在假定存貨影響銷售率是初始庫存水平的函數(shù)的情況下，研究了成本最小的庫存模型；Padmanabhan-Vrat[15]在假定存貨影響銷售率是任意時刻庫存水平函數(shù)和變質(zhì)率是常數(shù)的情況下，提出了變質(zhì)物品存貨影響銷售率的庫存模型；王道平等[16]探討了需求和采購價格均為時變的易變質(zhì)物品EOQ模型；馮穎等[17]研究了在給定時間范圍內(nèi)多種易變質(zhì)產(chǎn)品的一次性聯(lián)合訂購決策，使庫存系統(tǒng)總成本最小問題；李明芳等[18]研究了延期支付期限與訂貨量相關(guān)情形下的EOQ模型．Kacpp-Staniewski[19]和Park[20]最先將模糊分析方法引入庫存管理,之后許多學(xué)者利用模糊分析方法研究了庫存問題，如Li等[21]提出了兩種模型：一種是關(guān)于需求隨機(jī)和成本模糊的，另一種是關(guān)于成本確定和需求模糊的，通過模糊數(shù)的模糊排序，他們提出了獲得最佳訂購量的途徑；Chang等[22]和Wu[23]分別研究了訂購量是三角形和梯形模糊數(shù)的EOQ模型;Eynan等[24]提出了在庫存費(fèi)用可變、需求隨機(jī)的等周期庫存系統(tǒng)下的最優(yōu)訂貨周期和安全庫存；Geunes等[25]分析了參數(shù)可變、需求隨機(jī)的庫存系統(tǒng)中再訂貨點(diǎn)和訂貨量決策問題；Shao等[26]建立隨機(jī)需求下多產(chǎn)品的報童模型;張福利等[27]從零售商的需求將會受到庫存約束的角度探討了不確定需求條件下制造商的退貨政策;邱若臻等[28]在需求分布不確定條件下，建立基于最大最小方法的多周期庫存魯棒優(yōu)化模型；程碩等[29]對市場需求不確定情況下的多周期生產(chǎn)批量決策優(yōu)化問題進(jìn)行了研究；趙明等[30]將經(jīng)典報童問題擴(kuò)展為基于隨機(jī)模糊需求的自由分布報童模型；趙建華等[31]基于不確定理論的運(yùn)算法則，在不確定環(huán)境下對投資收益與風(fēng)險問題的模型進(jìn)行了研究.

通過對以往文獻(xiàn)的分析發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)庫存研究的重點(diǎn)都集中在關(guān)于定常需求的庫存控制問題研究、關(guān)于時變需求的庫存控制問題研究、關(guān)于依賴于庫存水平需求的庫存控制問題研究、關(guān)于隨機(jī)需求的庫存控制問題研究、關(guān)于隨機(jī)模糊需求和模糊隨機(jī)需求的庫存控制問題研究、多種物品的庫存控制問題研究上．目前,研究需求為不確定變量(不是隨機(jī)變量和模糊變量，也不是隨機(jī)模糊變量和模糊隨機(jī)變量)的庫存控制問題較少,故本文在不確定理論基礎(chǔ)上,研究需求為不確定變量的庫存風(fēng)險控制最優(yōu)策略，以風(fēng)險最小化為目標(biāo)建立庫存風(fēng)險模型，并確定“之字形分布”下的最佳需求估計值，得出了需求為不確定變量時的經(jīng)濟(jì)訂貨批量和訂貨周期的修正公式．最后，應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件Matlab，對該模型進(jìn)行仿真計算，并對各個參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，說明修正后的經(jīng)濟(jì)訂貨批量和訂貨周期優(yōu)于經(jīng)典經(jīng)濟(jì)訂貨批量和訂貨周期，是經(jīng)典庫存問題的一種推廣．

1預(yù)備知識(不確定性理論)

設(shè)Γ是一個非空集合，L是Γ上的一個σ-代數(shù)，在σ-代數(shù)L中的每一個元素Λ叫做一個事件；M是一個集函數(shù)，如果L滿足規(guī)范性、自對偶性、可列次可加性，那么稱M為一個不確定測度.不確定測度是一個從L映射到[0，1]的函數(shù)，三元組(Γ，L，M)被稱為是一個不確定空間.

隨機(jī)變量可以用它的密度函數(shù)來刻畫，模糊變量可以用它的隸屬函數(shù)來刻畫，而對一個不確定變量，最簡單有效的方式是用它的分布函數(shù)來刻畫.

定義2[3]一個不確定變量ξ的不確定分布Φ定義為:對?x∈R,Φ(x)=M{ξ≤x}.

定義3[2]一個不確定變量ξ稱為之字形的，如果它具有之字形不確定分布，記為

其中a,b,c是實(shí)數(shù)且a

定理1[3]假設(shè)一個不確定變量ξ具有連續(xù)的不確定分布Φ(x)，那么對于任意的實(shí)數(shù)x,有

2模型假設(shè)與符號說明

參照EOQ模型的基本假設(shè)，本文做如下假設(shè)，其中(v)，(vi)是對經(jīng)典假設(shè)的推廣.

(i)允許缺貨，當(dāng)庫存量下降到某定值時提前訂貨.

(ii)不考慮通貨膨脹或者通貨緊縮.

(iii)只考慮單個產(chǎn)品訂購.

(iv)不存在數(shù)量折扣，不存在物品變質(zhì)，不存在存貨影響銷售率等情況.

(v)每次訂貨量可以不同，但必須是整數(shù).

(vi)單位時間的需求量為不確定變量ξ，ξ服從Z(R1,R,R2)的之字形分布.

符號說明：

3建模與求解

眾所周知，在經(jīng)典的庫存模型中進(jìn)貨周期T和經(jīng)濟(jì)訂貨批量Q分別為：

通常在短時期內(nèi)，單位存貯費(fèi)C1和訂貨費(fèi)C3都不變，但由于市場、生產(chǎn)或自然環(huán)境的變化都有可能引起對庫存物資需求的變化，需求速度很難保證是一個不變的常數(shù).利用經(jīng)典庫存公式確定的庫存量很可能未來面臨兩種風(fēng)險：一是需求突然下降，周期內(nèi)庫存物資積壓而帶來的相關(guān)損失，二是需求突然增加，周期內(nèi)庫存物資缺貨而造成的損失，我們將這兩種損失統(tǒng)稱為庫存風(fēng)險.引起庫存風(fēng)險的因素有很多，假定庫存風(fēng)險僅由需求量的變化而引起，那么庫存風(fēng)險將圍繞需求速度而變動.假定我們沒有關(guān)于需求速度不確定變化的統(tǒng)計資料，只有對需求速度變化范圍以及在該范圍內(nèi)出現(xiàn)的可能性進(jìn)行估計，即單位時間的需求量為一個不確定變量ξ，其不確定分布為：

R是最有可能的需求速度(即客觀環(huán)境不發(fā)生意外變化條件下的正常需求速度)，R1和R2分別是一旦發(fā)生變化后的最小可能需求速度和最大可能需求速度，Φ(ξ)是需求速度在變化范圍[R1，R2]內(nèi)的可能性主觀估計(圖1).當(dāng)實(shí)際需求速度ξ大于正常需求速度R時將會造成缺貨，這時應(yīng)當(dāng)在正常需求速度R的預(yù)計庫存為零之前再次訂貨;當(dāng)實(shí)際需求速度ξ小于正常需求速度R時將會造成積壓，這時應(yīng)當(dāng)在正常需求速度R的預(yù)計庫存為零之后再次訂貨.下面以一個訂貨周期內(nèi)庫存系統(tǒng)的風(fēng)險損失最小為目標(biāo)建立模型.

圖1　“之字形”不確定分布

3.1ξ

假定正常需求速度為R時的最優(yōu)庫存量為Q0，當(dāng)ξ

R為需求速度時周期T內(nèi)平均存貯量

則周期T內(nèi)平均積壓量為Q0-Q1， 積壓增加的存貯費(fèi)為

3.2ξ>R時的庫存損失

周期T內(nèi)平均庫存節(jié)省費(fèi)用

因此，當(dāng)ξ>R時，周期T內(nèi)綜合損失費(fèi)用為

圖2　ξ>R時缺貨庫存

綜上分析，需求速度為ξ時的風(fēng)險損失函數(shù)為

3.3風(fēng)險損失函數(shù)下訂貨周期和訂貨量的決策

圖3　庫存風(fēng)險函數(shù)與需求量的可能性分布

在不確定分布Φ(ξ)下，風(fēng)險函數(shù)R(ξ)與ξ軸圍成面積的重心橫坐標(biāo)為

由假設(shè)(vi)知ξ服從Z(R1,R,R2)的之字形分布.根據(jù)不確定測度的性質(zhì)及測度反演定理可知：

記α1=M{R1≤ξ≤R}，α2=M{R≤ξ≤R2},則

其中，

4仿真與靈敏度分析

有些時候庫存問題中難以找到統(tǒng)計數(shù)據(jù)，現(xiàn)在根據(jù)Liu[2]建立的不確定理論的運(yùn)算規(guī)律，依靠管理者的經(jīng)驗數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真和靈敏度分析.仿真計算結(jié)果見表1，參數(shù)C1,C2,C3對最優(yōu)解的影響分別見表2、表3和表4.

表1　仿真計算結(jié)果

注：計算過程中取C1=1,C2=100,C3=2000,α1=0.3,α2=0.4.

表2　C1對最優(yōu)解的影響

注：計算過程中取C2=100,C3=2000,R=100,R1=20,R2=150,α1=0.3,α2=0.4.

表3　C2對最優(yōu)解的影響

注：計算過程中取C1=1,C3=2000,R=100,R1=20,R2=150,α1=0.3,α2=0.4.

表4　C3對最優(yōu)解的影響

注：計算過程中取C1=1,C2=100,R=100,R1=20,R2=150,α1=0.3,α2=0.4.

從表1可以看到,修正后的訂貨周期小于等于經(jīng)典訂貨周期，修正后的經(jīng)濟(jì)訂貨批量大于經(jīng)典經(jīng)濟(jì)訂貨批量，隨著需求量的增加訂貨周期縮短，訂貨量增加.由表2可以看到,隨著單位時間內(nèi)單位物品存貯費(fèi)的增加，修正后的經(jīng)濟(jì)訂貨批量與經(jīng)典經(jīng)濟(jì)訂貨批量的基差越來越小，而修正后的訂貨周期與經(jīng)典訂貨周期的基差無明顯的一致性.由表3可以看到,隨著單位時間內(nèi)單位物品的缺貨損失費(fèi)的增加，修正后的經(jīng)濟(jì)訂貨批量和訂貨周期與經(jīng)典經(jīng)濟(jì)訂貨批量和訂貨周期一致，無明顯改變.由表4可以看到,隨著訂貨商處理每筆訂單的訂貨費(fèi)的增加,修正后的經(jīng)濟(jì)訂貨批量大于經(jīng)典經(jīng)濟(jì)訂貨批量，而且修正后的經(jīng)濟(jì)訂貨批量與經(jīng)典經(jīng)濟(jì)訂貨批量的基差越來越大，修正后的訂貨周期與經(jīng)典訂貨周期基本一致性．

5結(jié)論

本文對經(jīng)典庫存在需求發(fā)生變化時產(chǎn)生的損失進(jìn)行討論，針對需求變化帶來的經(jīng)濟(jì)損失定義了風(fēng)險函數(shù).在給出需求變化的之字形不確定分布條件下，對傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)批量模型進(jìn)行修正，得到了不確定意義下的庫存風(fēng)險規(guī)避方案，即通過求風(fēng)險函數(shù)在之字形分布下的重心，用重心決策方法得出不確定需求下的最優(yōu)存貯量，為庫存控制最優(yōu)策略問題的研究提供了一種方法.應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件Matlab，通過數(shù)值仿真計算實(shí)際需求速度介于一旦發(fā)生變化后的最小可能需求速度和最大可能需求速度之間的最佳訂貨周期和最佳訂貨量，與經(jīng)典庫存模型的訂貨周期和訂貨量做了清晰的比較.通過對模型主要參數(shù)(C1,C2,C3)的靈敏度分析，顯示出各主要參數(shù)的變化對最優(yōu)解的影響程度.本文所建立的模型還可以做更深層次的研究，如考慮資金的時間價值、產(chǎn)品壽命周期、倉庫容量有限等情況，顯然這些假設(shè)條件會增加數(shù)學(xué)分析的難度，但卻更符合實(shí)際情況.

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(責(zé)任編輯馬宇鴻)