基于區(qū)間值模糊概率測(cè)度的多粒度區(qū)間值決策粗糙集模型

鞏增泰，柴潤(rùn)麗

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州　730070)

基于區(qū)間值模糊概率測(cè)度的多粒度區(qū)間值決策粗糙集模型

鞏增泰，柴潤(rùn)麗

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州730070)

摘要：在區(qū)間值模糊概率近似空間中，提出了基于IVF(區(qū)間值模糊)概率測(cè)度的多粒度IV(區(qū)間值)決策粗糙集模型，分別討論和刻劃了平均、樂(lè)觀和悲觀三種情形，結(jié)果和算例驗(yàn)證了模型的實(shí)用性和廣泛性．

關(guān)鍵詞：決策粗糙集；多粒度；區(qū)間值模糊概率測(cè)度；區(qū)間值模糊集

收稿日期：2015-03-31;修改稿收到日期:2015-04-27

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61262022,11461062)

作者簡(jiǎn)介：鞏增泰(1965—),男,甘肅甘谷人,教授,博士,博士研究生導(dǎo)師.主要研究方向?yàn)槟：治鰧W(xué)、粗糙集理論及其應(yīng)用.E-mail:gongzt@nwnu.edu.cn

中圖分類號(hào)：O 175.8

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：章編號(hào)：1001-988Ⅹ(2015)06-0021-07

Abstract:This paper investigates multi-granulation interval-valued decision rough sets in the frameworks of interval-valued fuzzy probabilistic approximation spaces.In addition,the mean,optimistic and pessimistic multi-granulation interval-valued decision rough sets based on interval-valued fuzzy probability measures are discusseds respectively.The results and examples illustrate the practicability and generality of the models.

Multi-granulation interval-valued decision rough set

models based on interval-valued fuzzy probability measure

GONG Zeng-tai,CHAI Run-li

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070，Gansu，China)

Key words:decision rough set;multi-granulation;interval-valued fuzzy probability measure;interval-valued fuzzy set

0引言

粗糙集理論是波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak[1]于1982年提出的一種處理不確定知識(shí)的數(shù)學(xué)工具，作為粗糙集的推廣，加拿大學(xué)者Yao提出了決策理論粗糙集[2]．近年來(lái)，粗糙集理論與思想已經(jīng)引起數(shù)據(jù)挖掘與決策分析領(lǐng)域越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注．在決策理論粗糙集方法中，條件概率和損失函數(shù)起著重要作用，許多學(xué)者已討論了不同類型的損失函數(shù)[3-6]，但對(duì)條件概率的研究較少．在文獻(xiàn)[7-12]中，條件概率通過(guò)隸屬函數(shù)來(lái)計(jì)算．鑒于此，Zhao和Hu提出了基于模糊概率測(cè)度的模糊和區(qū)間值模糊決策理論粗糙集方法[13]．在國(guó)內(nèi)，錢宇華教授在其提出的多粒度粗糙集的基礎(chǔ)上[14]，提出了多粒度決策理論粗糙集模型[10]．然而，在許多實(shí)際決策問(wèn)題中，決策狀態(tài)是近似概念的模糊描述，而非分明集或論域上的準(zhǔn)確概念，況且，其條件概率是通過(guò)經(jīng)典等價(jià)關(guān)系得到的，尚未考慮到模糊信息系統(tǒng)的模糊關(guān)系，這在一定程度上限制了多粒度決策理論粗糙集的應(yīng)用．本文對(duì)此進(jìn)行研究,在區(qū)間值模糊概率近似空間中，提出了基于區(qū)間值模糊(IVF)概率測(cè)度的多粒度IV決策粗糙集模型，分別討論和刻劃了平均、樂(lè)觀和悲觀三種情形，最后通過(guò)算例檢驗(yàn)了模型的實(shí)用性和廣泛性．

1基本概念和說(shuō)明

(1)加法法則

[a-,a+]⊕[b-,b+]=[a-+b-,a++b+];

(2)乘法法則

[a-,a+]?[b-,b+]=[a-b-,a+b+];

(3)除法法則

對(duì)于區(qū)間數(shù)[a-,a+],[b-,b+]∈IR+，其序關(guān)系定義為：[a-,a+]≤[b-,b+]?a-≤b-,a+≤b+．很明顯，此序關(guān)系為偏序關(guān)系．[a-,a+]≥[b-,b+]當(dāng)且僅當(dāng)[b-,b+]≤[a-,a+]；當(dāng)a-b-且a+>b+時(shí)，記[a-,a+]?[b-,b+]．

對(duì)于區(qū)間數(shù)[a-,a+],[b-,b+],[c-,c+](c-≠0)∈IR+,有

設(shè)I[0,1]={[a-,a+]:0≤a-≤a+≤1}表示[0,1]上的所有區(qū)間數(shù)之集，A=[A-,A+]表示[0,1]上的區(qū)間值模糊(IVF)集，其中A-,A+是U上的兩個(gè)模糊集，且A-?A+,FI[0,1](U) 表示U上所有的區(qū)間值模糊集．

對(duì)于A,B∈FI[0,1](U) ，有

設(shè)(Ω,A,P)是概率空間．如果Ω={ω1,ω2,…,ωn}是有限集，且pi=P(ωi)，則A是Ω上的IVF事件，A的IVF概率定義為[13]

2基于IVF概率近似空間的Bayesian決策程序

設(shè)(Ω,R,P)是IVF概率近似空間，其中U是非空有限論域，R是U上的IVF關(guān)系，P是U上的IVF概率測(cè)度,[x]R表示x的描述，且

對(duì)于對(duì)象x采取不同決策aP,aB,aN的期望損失函數(shù)分別表示為：

根據(jù)Bayesian決策程序，最小風(fēng)險(xiǎn)決策規(guī)則為：

(B)其他情形時(shí)，采取待定決策aB．

設(shè)損失函數(shù)的限制條件為：λPPλBPλNP且λNNλBNλPN，則計(jì)算可得三個(gè)概率描述臨界值分別為[13]：

事實(shí)上[13]，

記

(B1)其他情形時(shí)，采取待定決策aB．

若損失函數(shù)滿足條件限制

則α?β?γ，可得決策規(guī)則：

(B2)其他情形時(shí)，采取待定決策aB．

根據(jù)決策規(guī)則(P2)～(B2)，可得A的IVF概率正域、負(fù)域和邊界域分別為：

根據(jù)上、下近似與三區(qū)域的關(guān)系，可得A的IVF概率下近似和上近似分別為：

3基于IVF概率測(cè)度的多粒度IV決策粗糙集

設(shè)(Ω,R,P)是IVF概率近似空間，其中U是非空有限論域，R={R1,R2,…,Rm}是U上的m個(gè)IVF關(guān)系，P是U上的IVF概率測(cè)度．在多粒度決策理論粗糙集中，對(duì)象x的條件概率可用數(shù)學(xué)期望來(lái)計(jì)算，即

基于這種觀點(diǎn)，我們提出了基于IVF概率測(cè)度的平均多粒度IV決策粗糙集模型．

定義1設(shè)R1,R2,…,Rm是U上的m個(gè)IVF關(guān)系，A∈FI[0,1](U)．基于IVF概率測(cè)度的平均多粒度IV決策粗糙集的下近似和上近似定義為

根據(jù)上、下近似與三區(qū)域的關(guān)系，可得A的IVF正域、負(fù)域和邊界域分別為：

此時(shí)，決策規(guī)則為：

(MP) 若

則采取肯定決策aP；

(MN) 若

則采取否定決策aN；

(MB) 其他情形時(shí)，采取待定決策aB．

自然地，基于IVF概率測(cè)度的樂(lè)觀多粒度IV決策粗糙集的下近似和上近似和基于IVF概率測(cè)度的悲觀多粒度IV決策粗糙集的下近似和上近似分別由定義2和定義3給出．

定義2設(shè)R1,R2,…,Rm是U上的m個(gè)IVF關(guān)系，A∈FI[0,1](U)． 基于IVF概率測(cè)度的樂(lè)觀多粒度IV決策粗糙集的下近似和上近似分別定義為：

根據(jù)上、下近似與三區(qū)域的關(guān)系，可得A的IVF正域、負(fù)域和邊界域分別為：

此時(shí)，決策規(guī)則為：

(OP) 若存在i∈{1,2,…,m}，使得

則采取肯定決策aP；

(ON) 若對(duì)任意i∈{1,2,…,m}，有

則采取否定決策aN；

(OB) 其他情形時(shí)，采取待定決策aB．

定義3設(shè)R1,R2,…,Rm是U上的m個(gè)IVF關(guān)系，A∈FI[0,1](U)． 基于IVF概率測(cè)度的悲觀多粒度IV決策粗糙集的下近似和上近似分別定義為：

根據(jù)上、下近似與三區(qū)域的關(guān)系，可得A的IVF正域、負(fù)域和邊界域分別為：

此時(shí)，決策規(guī)則為：

(PP) 若對(duì)任意i∈{1,2,…,m}，有

則采取肯定決策aP；

(PN) 若存在i∈{1,2,…,m}，使得

則采取否定決策aN；

(PB) 其他情形時(shí)，采取待定決策aB．

對(duì)于基于IVF概率測(cè)度的多粒度IV決策粗糙集，不難證明下面的刻劃定理和相互關(guān)系．

定理1設(shè)R1,R2,…,Rm是U上的m個(gè)IVF關(guān)系，A∈FI[0,1](U)，則

其中

定理2設(shè)R1,R2,…,Rm是U上的m個(gè)IVF關(guān)系，A1,A2∈FI[0,1](U)，且A1?A2,則

定理3設(shè)R1,R2,…,Rm是U上的m個(gè)IVF關(guān)系，A∈FI[0,1](U),則

例1設(shè)U={u1,u2,…,u10},ui(i=1,…,10)表示投資者，表1和表2給出了U上的兩個(gè)自反和對(duì)稱的IVF關(guān)系，且只給出了下三角．a(chǎn)p表示進(jìn)行投資，aB表示進(jìn)一步觀察是否進(jìn)行投資，aN表示不進(jìn)行投資．

表1　U上的IVF關(guān)系R1

表2　U上的IVF關(guān)系R2

例1的近似目標(biāo)IVF集為：

區(qū)間值損失函數(shù)為：

計(jì)算得概率描述臨界值為：

設(shè)P(ui)=0.1,?i∈{1,2,…,10}，則對(duì)象ui∈U的IVF條件概率分別為：

由定義1得：

因此，A的IVF正域、負(fù)域和邊界域分別為：

所以投資者u9進(jìn)行投資，投資者u6,u7,u10不進(jìn)行投資，投資者u1,u2,u3,u4,u5,u8進(jìn)一步觀察是否進(jìn)行投資．

由定義2得：

因此，A的IVF正域、負(fù)域和邊界域分別為：

所以投資者u5,u8,u9進(jìn)行投資，投資者u6,u10不進(jìn)行投資，投資者u1,u2,u3,u4,u7進(jìn)一步觀察是否進(jìn)行投資．

由定義3得：

因此，A的IVF正域、負(fù)域和邊界域分別為：

所以投資者u9進(jìn)行投資，投資者u1,u3,u6,u7,u10不進(jìn)行投資，投資者u2,u4,u5,u8進(jìn)一步觀察是否進(jìn)行投資．

4結(jié)束語(yǔ)

本文在IVF概率近似空間中，提出了基于IVF概率測(cè)度的多粒度IV決策粗糙集模型，分別討論和刻劃了平均、樂(lè)觀和悲觀三種情形，并用具體算例，驗(yàn)證了模型的實(shí)用性和廣泛性．

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(責(zé)任編輯馬宇鴻)