基于無(wú)套利模型的人民幣利率互換定價(jià)

基于無(wú)套利模型的人民幣利率互換定價(jià)

孫偉，田芳

(哈爾濱工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

摘要：基于兩種代表性無(wú)套利模型——Black-Derman-Toy(BDT)和Hull-White模型，構(gòu)建考慮單向違約風(fēng)險(xiǎn)的人民幣利率互換定價(jià)模型。運(yùn)用這兩種定價(jià)模型對(duì)1年期3MSHIBOR-IRS進(jìn)行定價(jià)，對(duì)兩種定價(jià)模型的定價(jià)結(jié)果進(jìn)行敏感性分析。結(jié)果表明，兩種定價(jià)模型表現(xiàn)出定價(jià)偏離的一致性，基于BDT模型比基于Hull-White模型的定價(jià)結(jié)果與報(bào)價(jià)的差距更小。

關(guān)鍵詞：利率互換定價(jià)；無(wú)套利模型；單向違約風(fēng)險(xiǎn)；敏感性分析

收稿日期：2012-12-05

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71173059，71372020);教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年

作者簡(jiǎn)介：孫偉(1973-)，男，山東掖縣人，博士，教授，研究方向?yàn)榻鹑诠こ膛c風(fēng)險(xiǎn)管理；田芳(1989-)，女，安徽阜陽(yáng)人，碩士研究生，研究方向?yàn)榻鹑诠こ膛c風(fēng)險(xiǎn)管理。

中圖分類(lèi)號(hào)：F830.91文章標(biāo)識(shí)碼：A

Pricing of Interest Rate Swap Based on No-arbitrage Model

SUN Wei, TIAN Fang

(SchoolofEconomicsandManagement,HarbinEngineeringUniversity,Harbin150001,China)

Abstract:Pricing models of interest rate swap(IRS)with unilateral default risk based on two no-arbitrage models BDT and Hull-White are constructed, and then these two models are used to price 3MSHIBOR-IRS for one year, and at last make a sensitivity analysis of the pricing results of the two models. The results show that two pricing models exhibit the consistency of pricing deviation and BDT-based model has smaller offer gap than Hull-White-based model.

Key words:pricing of IRS; no-arbitrage model; unilateral default risk; sensitivity analysis

0引言

我國(guó)在2006年2月9日正式啟動(dòng)人民幣利率互換交易試點(diǎn)，其定價(jià)是學(xué)術(shù)和業(yè)界研究的重點(diǎn)內(nèi)容。利率互換的價(jià)值主要依賴(lài)于利率的變動(dòng)，因此其核心是如何估計(jì)利率的變動(dòng)。動(dòng)態(tài)利率模型的發(fā)展主要沿著兩個(gè)方向：均衡模型和無(wú)套利模型。均衡模型是根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論或者假說(shuō)確定收益率曲線的形狀，代表模型包括Vasicek[1]、CIR[2]及CKLS[3]等。無(wú)套利模型的定價(jià)過(guò)程是以觀察到的當(dāng)時(shí)的利率期限結(jié)構(gòu)作為模型的輸入變量，假設(shè)收益率曲線的變動(dòng)是為了確定其他相關(guān)的利率衍生品的價(jià)值，代表模型包括Ho-Lee[4]、Black-Derman-Toy(BDT)[5]、Hull-White[6]、HJM[7]及Libor市場(chǎng)利率模型等。在對(duì)利率互換定價(jià)的研究中，學(xué)者們使用了各種動(dòng)態(tài)利率模型。

Bicksler等[8]把利率互換看成假想的兩個(gè)債券進(jìn)行定價(jià)；Solnik[9]就銀行不會(huì)違約、其它機(jī)構(gòu)存在違約風(fēng)險(xiǎn)的單向違約定價(jià)模型做了分析；Duffie等[10]利用約化模型對(duì)違約風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行估計(jì)，引入了經(jīng)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整的貼現(xiàn)率來(lái)對(duì)利率互換進(jìn)行定價(jià)；Jarrow等[11]考慮了公司間的相關(guān)違約，擴(kuò)展了違約風(fēng)險(xiǎn)的約化模型；R. Mallier等[12]推導(dǎo)出了基于CIR模型的大眾型互換和遞延型互換的價(jià)值表達(dá)式；Yang等[13]在Duffle & Huang的基礎(chǔ)上，對(duì)違約風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量的簡(jiǎn)化模型和結(jié)構(gòu)化模型進(jìn)行整合，給出了雙邊違約風(fēng)險(xiǎn)下的利率互換定價(jià)模型；Yang[14]推導(dǎo)出了基于方差Gamma過(guò)程下的違約風(fēng)險(xiǎn)的PIDE利率互換定價(jià)模型；Andrea Pallavicini等[15]提出了基于HJM模型的多曲線利率模型，并構(gòu)建了基于該模型的利率互換定價(jià)模型；Masahiro Nisiba[16]使用漸近展開(kāi)法提出了一種基于SABR/ LIBOR市場(chǎng)模型的利率互換的信貸估值調(diào)整的近似定價(jià)公式。張玲等[17]利用或有債權(quán)的分析框架構(gòu)建了單向違約風(fēng)險(xiǎn)的利率互換定價(jià)模型；宋德舜等[18]結(jié)合我國(guó)當(dāng)前貨幣市場(chǎng)和債券市場(chǎng)的特征，給出了基于SHIBOR互換定價(jià)的一個(gè)理論框架。陳可和任兆璋[19]運(yùn)用三因子廣義高斯仿射模型，同時(shí)對(duì)人民幣國(guó)債市場(chǎng)利率、銀行間質(zhì)押式回購(gòu)市場(chǎng)利率和利率互換市場(chǎng)利率進(jìn)行模擬，并采用極大似然估計(jì)方法估計(jì)參數(shù)。

BDT和Hull-White是無(wú)套利模型中應(yīng)用相對(duì)便捷的具有代表性的模型，BDT和Hull-White在對(duì)利率趨勢(shì)描述上有很大的不同，因此本文基于這兩種動(dòng)態(tài)利率模型構(gòu)建人民幣利率互換定價(jià)模型，利用我國(guó)金融市場(chǎng)上的銀行間國(guó)債收益率曲線、SHIBOR曲線和R007數(shù)據(jù)，對(duì)兩個(gè)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，利用模型對(duì)1年期3MSHIBOR-IRS進(jìn)行實(shí)證分析、敏感性分析。

1定價(jià)模型基本假設(shè)及使用的符號(hào)界定

1.1定價(jià)模型的基本假設(shè)

本文在構(gòu)建利率互換定價(jià)模型時(shí)，基本假設(shè)為：

(1)市場(chǎng)是無(wú)摩擦的，沒(méi)有稅收和交易成本；

(2)市場(chǎng)是完全的，存在每個(gè)到期期限的債券來(lái)構(gòu)建利率期限結(jié)構(gòu)；

(3)交易是離散的，交易者只在交易日進(jìn)行價(jià)值交換；

(4)市場(chǎng)上不存在任何套利機(jī)會(huì)；

(5)短期利率變動(dòng)服從BDT模型或Hull-White模型；

(6)利率互換交易雙方為A和B。其中，A為銀行，支付固定利率、收取浮動(dòng)利率；B支付浮動(dòng)利率、收取固定利率； (7)在利率互換的交易中，A方作為銀行、由于其信用級(jí)別較高，可認(rèn)為其不存在違約可能，違約只發(fā)生在B方、單向違約；

(8)在B方發(fā)生違約時(shí)，銀行A將收回部分價(jià)值，違約回收率為常數(shù)λ(0≤λ≤1)。

1.2符號(hào)與變量的界定

BDT和Hull-White模型分別是基于二叉樹(shù)和三叉樹(shù)進(jìn)行計(jì)算的，總的期數(shù)為n期、節(jié)點(diǎn)(i,j)表示第i(0≤i≤n)期的第j(0≤j≤i)個(gè)狀態(tài)。

Ri為i時(shí)到期的零息債券的到期收益率；r(i,j)為在節(jié)點(diǎn)(i,j)時(shí)的短期利率；b(i,j)為在節(jié)點(diǎn)(i,j)的貼現(xiàn)因子；v(i,j)為違約風(fēng)險(xiǎn)下互換合約通過(guò)節(jié)點(diǎn)(i,j)確定的第i+1期對(duì)于B方的現(xiàn)金流；S(i,j)為無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn)下互換合約通過(guò)節(jié)點(diǎn)(i,j)確定的第i+1期對(duì)于B方的現(xiàn)金流；C為利率互換合約成交時(shí)約定的固定利率支付方支付的固定利率；Pi為i時(shí)期B方的條件違約概率；Hi為i時(shí)期B方的無(wú)條件違約概率；B(i,j)為第i+1期的現(xiàn)金流通過(guò)節(jié)點(diǎn)(i,j)到達(dá)起始點(diǎn)的所有路徑折現(xiàn)因子的總和；pv(i,j)為將V(i,j)貼現(xiàn)到利率互換生效日的現(xiàn)值；n為利率互換發(fā)生支付的次數(shù)；P(i)為第i期到期的債券價(jià)格；pi-1,j(i)為第i期到期的債券在節(jié)點(diǎn)(i-1,j)的價(jià)格；Q(i,j)為在節(jié)點(diǎn)(i,j)支付單位貨幣，其它狀態(tài)支付為0的證券的現(xiàn)值。

2考慮單向違約風(fēng)險(xiǎn)的利率互換違約特征與違約概率估計(jì)

2.1考慮單向違約風(fēng)險(xiǎn)的利率互換違約特征

利率互換的違約風(fēng)險(xiǎn)是單邊的風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)于互換的一方來(lái)說(shuō)利率互換在各個(gè)支付日的現(xiàn)金流可正可負(fù)。一般來(lái)說(shuō)，價(jià)值為負(fù)的一方才有可能違約。在本文中，利率互換的固定利率支付方A代表信用級(jí)別高的銀行，假設(shè)其不會(huì)違約。因此，違約只發(fā)生在B方，B方作為浮動(dòng)利率的支付方，在面臨利率上升較大幅度、利率互換現(xiàn)金流對(duì)其為負(fù)時(shí)，有違約的可能。

無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，互換合約通過(guò)節(jié)點(diǎn)(i,j)確定的第i+1期對(duì)于B方的現(xiàn)金流S(i,j)為：

S(i,j)=C-r(i,j)

(1)

其中，C為利率互換的固定利率，即利率互換的價(jià)格；r(i,j)為在節(jié)點(diǎn)時(shí)的短期利率。

當(dāng)S(i,j)<0時(shí)，在第i+1期B方的條件違約概率為Pi+1，B方違約時(shí)假設(shè)回收率為常數(shù)λ，現(xiàn)金流為λS(i,j)(該值為負(fù)值，是B方違約時(shí)需要向A方支付的部分)；B方不違約的條件概率為1-pi+1，現(xiàn)金流為S(i,j)。因此，當(dāng)S(i,j)<0時(shí)，在節(jié)點(diǎn)(i,j)確定的第i+1期的考慮單向違約風(fēng)險(xiǎn)的利率互換對(duì)于B方的現(xiàn)金流V(i,j)為：

(2)

當(dāng)S(i,j)≥0時(shí)，B方不違約，現(xiàn)金流為S(i,j)。

對(duì)于B方，利率互換的價(jià)值則可表示為：

(3)

則利率互換的價(jià)值可表示為：

E[V(i,j)]=(1-pi+1)S(i,j)+pi+1max[S(i,j),λS(i,j)]

(4)

式(4)即為單向違約風(fēng)險(xiǎn)的利率互換違約特征。

2.2考慮單向違約風(fēng)險(xiǎn)的利率互換違約概率估計(jì)

本文使用簡(jiǎn)單方便的KPMG風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型對(duì)違約概率進(jìn)行測(cè)度，可表示為：

(1-Hi)(1+Ki)+θHi(1+Ki)=1+ri

(5)

其中，Hi為B方發(fā)行的i年期債券的無(wú)條件違約概率；Ki為B方發(fā)行的i年期債券收益率；θ為B方發(fā)行債券違約時(shí)的回收率，在此假設(shè)其為常數(shù)；ri為i年期國(guó)債的收益率。

通過(guò)對(duì)不同到期時(shí)間的債券進(jìn)行計(jì)算，可以得出在不同時(shí)期B方的無(wú)條件違約概率，則在不同時(shí)期的條件違約概率與無(wú)條件違約概率存在如下關(guān)系：

Hi=(1-p1)(1-p2)…(1-pi-1)pi

(6)

通過(guò)以上過(guò)程，可以求得任何i時(shí)期B方的條件違約概率pi。

3構(gòu)建考慮單向違約風(fēng)險(xiǎn)下的人民幣利率互換定價(jià)模型

3.1基于BDT模型的利率互換定價(jià)模型

(1)構(gòu)建基于BDT模型的短期利率二叉樹(shù)

連續(xù)時(shí)間下的BDT模型可表示為：

(7)

在BDT模型中，各期的波動(dòng)率可表示為：

(8)

其中，r(i,j)表示在節(jié)點(diǎn)(i,j)時(shí)的短期利率，p表示利率上升的概率，Δt表示兩個(gè)支付日間隔的時(shí)間。在一般的BDT模型中，假設(shè)利率上升和下降的概率相等，均為1/2，公式(8)可表示為：

(9)

在BDT模型中，i+1期債券的價(jià)格可以表示為：

(10)

其中，pi-1,j(i)表示第i期到期的債券在節(jié)點(diǎn)(i-1,j)的價(jià)格。

在BDT模型中，已知利率期限結(jié)構(gòu)和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)，利用公式(9)和(10)可以從后往前逐步求得各節(jié)點(diǎn)的短期利率。

(2)計(jì)算無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn)下的利率互換通過(guò)節(jié)點(diǎn)(i,j)確定的第i+1期現(xiàn)金流

圖1　BDT模型的短期利率二叉樹(shù)

通過(guò)步驟(1)，構(gòu)建了BDT模型的二叉樹(shù)，包含3期的BDT模型利率變化形式如圖1。

在利率互換定價(jià)中通過(guò)第i期來(lái)確定第i+1期的浮動(dòng)端參考利率，無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn)下的利率互換通過(guò)節(jié)點(diǎn)(i,j)確定的第i+1期現(xiàn)金流表達(dá)式見(jiàn)公式(1)。

(3)計(jì)算違約概率、考慮單向違約風(fēng)險(xiǎn)的利率互換的第i+1期的現(xiàn)金流

在市場(chǎng)上尋求不同期限的債券和國(guó)債的收益率，利用公式(5)求出B方在各期限的無(wú)條件違約概率，利用公式(6)求得各期限的條件違約概率。則考慮單向違約風(fēng)險(xiǎn)下的利率互換的第i+1期現(xiàn)金流便可通過(guò)公式(4)求解。

(4)計(jì)算通過(guò)節(jié)點(diǎn)(i+j)的第i+1期到起始日的折現(xiàn)因子

利用BDT模型可以求得各節(jié)點(diǎn)短期利率r(i,j)，下面計(jì)算通過(guò)各節(jié)點(diǎn)的折現(xiàn)因子b(i,j)可以表示為：

(11)

第i+1期的現(xiàn)金流通過(guò)節(jié)點(diǎn)(i,j)到達(dá)起始點(diǎn)的所有路徑折現(xiàn)因子的總和B(i,j)可表示為：

(12)

其中，(i-1,k)為在i-1期能夠到達(dá)節(jié)點(diǎn)(i,j)的節(jié)點(diǎn)。

(5)計(jì)算考慮單向違約風(fēng)險(xiǎn)下的利率互換在初始時(shí)刻的價(jià)值

第i+1期現(xiàn)金流通過(guò)節(jié)點(diǎn)(i,j)折現(xiàn)的現(xiàn)金流現(xiàn)值公式為：

PV(i,j)=E[V(i,j)]×B(i,j)

(13)

則利率互換在初始時(shí)刻的價(jià)值V為：

(14)

(6) 計(jì)算使得利率互換初始時(shí)刻價(jià)值為0的固定利率

(15)

求解公式(15)，便可得到利率互換的價(jià)格——即固定利率支付方支付的固定利率C。

3.2基于Hull-White模型的定價(jià)模型構(gòu)建

(1)構(gòu)建基于Hull-White模型的短期利率三叉樹(shù)

連續(xù)時(shí)間下的Hull-White模型為：

dr=[θ(t)-ar]dt+σdz

(16)

其中，a表示均值回復(fù)速度。

利率三叉樹(shù)的構(gòu)建包含以下兩個(gè)步驟：

第一步，構(gòu)建初始利率三叉樹(shù)。

Hull-White模型具有均值回復(fù)特征，三叉樹(shù)的分支結(jié)構(gòu)有三種形式，見(jiàn)圖2。

圖2　三叉樹(shù)的分支結(jié)構(gòu)形式

A形式分支結(jié)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的概率為：

(17)

B形式分支結(jié)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的概率為：

(18)

C形式分支結(jié)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的概率為：

(19)

時(shí)間步長(zhǎng)Δt和短期利率步長(zhǎng)Δr能夠根據(jù)實(shí)際情況決定，在Hull-White模型中一般采用公式(20)確定短期利率步長(zhǎng)Δr：

(20)

其中，V表示Δr的方差，計(jì)算如下：

(21)

短期利率r的期望變動(dòng)為：

E[Δr]=(e-aΔt-1)r=Mr

(22)

則節(jié)點(diǎn)(i,j)的利率runit(i,j)可以表示為：

runit(i,j)=j×Δr

(23)

第二步，在第i期引入時(shí)間變動(dòng)的漂移量ηi。

在Hull-White模型中，

(24)

其中，Q(i,j)表示在節(jié)點(diǎn)(i,j)支付單位貨幣，在其他狀態(tài)支付為0的證券的現(xiàn)值。

runit(i,j)與漂移量ηi存在以下關(guān)系：

r(i,j)=ηi+runit(i,j)

(25)

通過(guò)以上過(guò)程，完成了利率三叉樹(shù)的構(gòu)建。

(2)、(3)步驟的計(jì)算過(guò)程與基于BDT模型的定價(jià)模型一樣，在此不做累述。

(4)計(jì)算通過(guò)節(jié)點(diǎn)(i,j)的第i+1期到起始日的折現(xiàn)因子

根據(jù)公式(11)計(jì)算Hull-White模型中各節(jié)點(diǎn)的折現(xiàn)因子b(i,j)。

Hull-White與BDT不同，在Hull-White中首先需要確定jmax的取值，再根據(jù)利率互換的支付次數(shù)n來(lái)模擬利率期限結(jié)構(gòu)的變化過(guò)程。最后根據(jù)不同利率變化的類(lèi)型來(lái)求解各期利率變化發(fā)生的概率pu、pm和pd。

下面以一個(gè)一年支付一次、到期期限為3年的利率互換為例，進(jìn)行折現(xiàn)因子的計(jì)算。假設(shè)jmax=2，則短期利率變化的過(guò)程可以表示成圖3。

圖3　 j max=2時(shí)Hull-White模型3期的 短期利率變化過(guò)程

由圖3可以看出，在第3期節(jié)點(diǎn)r(3,2)和r(3,-2)，利率的變化發(fā)生了改變，分別由Hull-White模型中的A形式結(jié)構(gòu)變換到C和B。在計(jì)算到達(dá)某一節(jié)點(diǎn)的每一路徑到期初的折算因子時(shí)，可利用三叉樹(shù)模型進(jìn)行從后往前倒推計(jì)算，每個(gè)節(jié)點(diǎn)根據(jù)后連接節(jié)點(diǎn)的情況，往前逐步遞推。

通過(guò)往前倒推的過(guò)程，可以給出B(i,j)的表達(dá)式

(26)

(5)計(jì)算單向違約風(fēng)險(xiǎn)的利率互換在初始時(shí)刻的價(jià)值

由公式(13)，可得第i+1期現(xiàn)金流通過(guò)節(jié)點(diǎn)(i,j)折現(xiàn)的現(xiàn)金流現(xiàn)值為：

PV(i,j)=E[V(i,j)]×B(i,j)

在初始時(shí)刻的利率互換價(jià)值V為：

(27)

其中，在jmin

(28)

在jmin≤j≤jmax時(shí)，

(29)

(6)計(jì)算使得利率互換初始時(shí)刻價(jià)值為0的固定利率,求解公式(15)：

可得到利率互換的價(jià)格——即固定利率支付方支付的固定利率C。

4實(shí)證分析

4.1定價(jià)步驟

利率互換模型的定價(jià)步驟可歸納為以下幾步：

(1)利用利率期限結(jié)構(gòu)模型，構(gòu)建利率變化過(guò)程；

(2)計(jì)算無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn)下的利率互換在各節(jié)點(diǎn)的現(xiàn)金流；

(3)計(jì)算違約概率，求出違約風(fēng)險(xiǎn)下互換在各節(jié)點(diǎn)的現(xiàn)金流；

(4)計(jì)算從利率互換各節(jié)點(diǎn)到起始點(diǎn)的折現(xiàn)因子；

(5)計(jì)算單向違約風(fēng)險(xiǎn)的利率互換在初始時(shí)刻的價(jià)值；

(6)計(jì)算使得利率互換初始時(shí)刻價(jià)值為0的固定利率值。

4.2數(shù)據(jù)的選取

目前利率互換的定價(jià)合同是保密的，無(wú)法獲取利率互換的交易細(xì)節(jié)及價(jià)格，本文利用中國(guó)貨幣網(wǎng)公布的報(bào)價(jià)作為參考。由于不是針對(duì)具體的一份利率互換合約定價(jià)，在實(shí)證中可以確定B方違約率為0、違約回收率也為0。目前在我國(guó)市場(chǎng)上缺乏公認(rèn)的基準(zhǔn)收益率曲線，這給本文定價(jià)帶來(lái)困難。本文選取對(duì)基于1年期季付的3MSHIBOR-IRS定價(jià)進(jìn)行實(shí)證分析，選取中國(guó)貨幣網(wǎng)公布的銀行間國(guó)債收盤(pán)收益率曲線和SHIBOR曲線作為當(dāng)期的利率期限結(jié)構(gòu)，并利用兩種不同曲線分別作為折現(xiàn)因子對(duì)人民幣利率互換進(jìn)行定價(jià)。在定價(jià)結(jié)果與報(bào)價(jià)對(duì)比中，選擇中國(guó)貨幣網(wǎng)發(fā)布的1年期3MSHIBOR-IRS在11∶30和16∶30的報(bào)買(mǎi)和報(bào)賣(mài)價(jià)的算術(shù)平均值與定價(jià)結(jié)果作比較。

本文選取了2012年3月12日至16日的市場(chǎng)上的數(shù)據(jù)，采用這5日的利率期限結(jié)構(gòu)對(duì)這5日的1年期3MSHIBOR-IRS進(jìn)行定價(jià)。表1列出銀行間國(guó)債收盤(pán)利率期限結(jié)構(gòu)，表2列出SHIBOR曲線，表3列出中國(guó)貨幣網(wǎng)發(fā)布的1年期3MSHIBOR-IRS在11∶30和16∶30的報(bào)買(mǎi)和報(bào)賣(mài)價(jià)。

表1　銀行間國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)

數(shù)據(jù)來(lái)源：中國(guó)貨幣網(wǎng)。

表2　SHIBOR曲線

數(shù)據(jù)來(lái)源：上海銀行間同業(yè)拆借利率網(wǎng)。

表3　1年期3MSHIBOR-IRS報(bào)價(jià)數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)來(lái)源：中國(guó)貨幣網(wǎng)。

4.3基于BDT模型的人民幣利率互換定價(jià)實(shí)證

BDT模型參數(shù)的估計(jì)需要確定與利率期限結(jié)構(gòu)相匹配的收益率波動(dòng)率的期限結(jié)構(gòu)，在對(duì)國(guó)債收益率波動(dòng)率曲線結(jié)構(gòu)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，本文選取了2011年6月13日至2012年3月12日的162個(gè)交易日的利率期限結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，運(yùn)用實(shí)際波動(dòng)率來(lái)估計(jì)相應(yīng)期限的波動(dòng)率[20]。在對(duì)SHIBOR曲線的收益率波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，本文選取了2009年1月4日至2012年3月12日的796個(gè)交易日的利率期限結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，運(yùn)用實(shí)際波動(dòng)率來(lái)估計(jì)相應(yīng)期限的波動(dòng)率[20]。由于BDT模型描述的是短期利率的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，在估計(jì)各期限的利率波動(dòng)率時(shí)，既可以是短期利率的波動(dòng)率，也可以是不同期限結(jié)構(gòu)的波動(dòng)率，但是短期利率的波動(dòng)率更可行[21]。因此，本文選擇短期利率的波動(dòng)率來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，具體值見(jiàn)表4。

從表4可以看出，SHIBOR的波動(dòng)率遠(yuǎn)大于銀行間國(guó)債收益率的波動(dòng)率。

表4　波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)表

基于BDT模型的利率互換定價(jià)結(jié)果見(jiàn)表5。

對(duì)表5定價(jià)結(jié)果進(jìn)行分析表明，基于BDT模型的定價(jià)方法采用銀行間國(guó)債收益率曲線和SHIBOR曲線作為折現(xiàn)因子的定價(jià)結(jié)果的偏離是一致的；兩種收益率曲線作為折現(xiàn)因子的定價(jià)結(jié)果都比實(shí)際報(bào)價(jià)要高。本文的定價(jià)結(jié)果與國(guó)內(nèi)學(xué)者的研究結(jié)果是相符的，即定價(jià)結(jié)果比實(shí)際報(bào)價(jià)要高。另外，兩種不同曲線做折現(xiàn)因子時(shí)的定價(jià)結(jié)果相差較小，以銀行間國(guó)債收盤(pán)收益率曲線的定價(jià)結(jié)果小于以SHIBOR曲線的定價(jià)結(jié)果。

表5　基于BDT模型的利率互換定價(jià)結(jié)果

造成上述結(jié)果的原因是多方面的：一方面，選取的基準(zhǔn)收益率曲線不同，由于我國(guó)缺乏公認(rèn)的基準(zhǔn)收益率曲線，各報(bào)價(jià)行在報(bào)價(jià)時(shí)參考的基準(zhǔn)收益率曲線不同；另一方面，本文定價(jià)不是基于具體利率互換交易的定價(jià)，且本文參考的報(bào)價(jià)數(shù)據(jù)是中國(guó)貨幣網(wǎng)公布的各報(bào)價(jià)行在11:30和16:00報(bào)買(mǎi)和報(bào)賣(mài)價(jià)的均值。

4.4基于Hull-White模型的人民幣利率互換定價(jià)實(shí)證

Hull-White模型的參數(shù)估計(jì)需要確定瞬時(shí)利率均值回復(fù)速度a與波動(dòng)率，本文運(yùn)用廣義矩估計(jì)(GMM)法結(jié)合市場(chǎng)上的數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)模型的參數(shù)。目前我國(guó)市場(chǎng)上能夠代表瞬時(shí)利率的有短期回購(gòu)利率和短期銀行拆借利率。銀行間7天質(zhì)押式回購(gòu)利率較銀行拆借利率在機(jī)構(gòu)參與率和成交量上具有優(yōu)勢(shì)，且具有較好的動(dòng)態(tài)特征[19]。本文選擇了從2007年1月4日至2012年3月12日的剔除沒(méi)有交易數(shù)據(jù)的1220個(gè)R007的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源于色諾芬數(shù)據(jù)庫(kù)。目前市場(chǎng)上公布的數(shù)據(jù)都是離散化的數(shù)據(jù)，因此可根據(jù)歐拉方程把Hull-White模型的連續(xù)形式離散化。Hull-White模型改寫(xiě)為：

均值回復(fù)速度a與波動(dòng)率σ利用R007的數(shù)據(jù)，運(yùn)用GMM方法通過(guò)上式求解，參數(shù)估計(jì)結(jié)果：a=0.108639;σ=0.006011。基于Hull-White模型的利率互換定價(jià)結(jié)果見(jiàn)表6。

表6　基于Hull-White模型的利率互換定價(jià)結(jié)果

通過(guò)對(duì)表6的定價(jià)結(jié)果進(jìn)行分析表明基于Hull-White模型的定價(jià)方法的定價(jià)結(jié)果的特征與基于BDT模型的定價(jià)結(jié)果的特征是一致的，分析結(jié)果也一致。另外，兩種不同曲線做折現(xiàn)因子時(shí)的定價(jià)結(jié)果相差較小，以銀行間國(guó)債收盤(pán)收益率曲線的定價(jià)結(jié)果大于以SHIBOR曲線的定價(jià)結(jié)果。通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)基于BDT模型的定價(jià)結(jié)果比基于Hull-White模型的定價(jià)結(jié)果與實(shí)際市場(chǎng)上的報(bào)價(jià)更接近。

造成上述的差異與基于BDT模型的定價(jià)方法的原因是一致的。

4.5敏感性分析

在我國(guó)，由于市場(chǎng)上缺乏公認(rèn)的基準(zhǔn)收益率曲線和浮動(dòng)端參考利率等問(wèn)題，使得在利率互換定價(jià)中存在不同機(jī)構(gòu)定價(jià)基準(zhǔn)的不同，因此，需要對(duì)定價(jià)結(jié)果進(jìn)行敏感性分析。在對(duì)某一變量的敏感性分析中，假設(shè)其他輸入變量不變，將其增大20%來(lái)考察定價(jià)結(jié)果的變化比率。具體結(jié)果見(jiàn)表7。

由表7可以看出，在基于BDT模型的定價(jià)中，浮動(dòng)端參考利率R增大20%使得定價(jià)結(jié)果增大20%以上，波動(dòng)率σ增大20%使得定價(jià)結(jié)果平均降低僅為0.000132%，折現(xiàn)因子B增大20%使得定價(jià)結(jié)果平均增加僅為0.004274%；在基于Hull-White模型的定價(jià)中，浮動(dòng)端參考利率R增大20%使得定價(jià)結(jié)果平均增大19.846613%，波動(dòng)率σ增大20%使得定價(jià)結(jié)果平均降低僅為-0.001820%，折現(xiàn)因子B增大20%使得定價(jià)結(jié)果平均降低僅為-0.001703%，均值回復(fù)速度a增大20%使得定價(jià)結(jié)果平均增加僅為0.000039%。從上可以看出模型對(duì)浮動(dòng)端參考利率最敏感，浮動(dòng)端參考利率的選擇是利率互換合理定價(jià)的關(guān)鍵。

表7　兩種模型定價(jià)結(jié)果對(duì)輸入變量的敏感性分析　單位：%

5結(jié)論

本文在零息票定價(jià)法的基礎(chǔ)上，研究了在利率服從無(wú)套利模型(BDT和Hull-White)、考慮單向違約風(fēng)險(xiǎn)下的利率互換定價(jià)，得到了基于兩種模型下的利率互換定價(jià)公式。利用我國(guó)市場(chǎng)上的數(shù)據(jù)對(duì)兩個(gè)利率模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，對(duì)季付的1年期3MSHIBOR-IRS進(jìn)行實(shí)證分析，結(jié)果表明這兩種模型具有定價(jià)的一致性，敏感性分析表明定價(jià)結(jié)果對(duì)浮動(dòng)端參考利率的敏感性最大，對(duì)其余輸入變量的敏感性較小。

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