基于灰類敏感度系數(shù)的評價指標客觀權重極大熵配置模型

基于灰類敏感度系數(shù)的評價指標客觀權重極大熵配置模型

劉紅旗1～3，方志耕1，2李維東1，2陶良彥1，2

(1.南京航空航天大學經濟與管理學院，江蘇南京210016；2.南京航空航天大學科學發(fā)展研究中心;3.南京航空航天大學紀委辦)

摘要：評價指標權重的確定是多屬性決策問題中至關重要的環(huán)節(jié)。然而，既有研究利用評價指標值之間的差異性進行指標的客觀賦權，往往忽略了評價指標對被評價對象全體及所在系統(tǒng)的重要性。本文基于事物自然本質屬性差異，運用灰色關聯(lián)聚類將評價對象劃分到預設的類別；借鑒有無對比分析法的思想，定義了反映指標對全體被評價對象類別影響程度的灰類敏感度系數(shù)；根據(jù)極大熵準則，建立了基于灰類敏感度系數(shù)的客觀權重極大熵配置模型，以確定多屬性決策指標的權重。并通過與文獻[21,26]中實際案例的對比分析，說明了本模型的有效性與更貼近現(xiàn)實性，為解決多屬性決策指標客觀賦權問題提出了一個新思路。

關鍵詞：多屬性決策;灰色關聯(lián)聚類;灰類敏感度系數(shù);極大熵;指標權重

收稿日期：2013-12-17

基金項目：國家自然科學基金資助項目(70971064,71173106,71171113)；國家社科基金重大項目(10zd&014)；國家社科基金重點項目(12AZD102)；教育部人文社科青年基金項目(12YJC630115,12YJC630276)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項科研項目資助(NJ20130021,NJ20140032)；江蘇高校哲學社會科學重點研究基地重大項目(2010JDXM014,2010JDXM015,2012JDXM003)

作者簡介：劉紅旗(1981-),男，博士研究生，紀委辦主任，助理研究員，研究方向:灰色系統(tǒng)理論、評價理論與方法；方志耕(1962-)，男，教授，博導，主要從事灰色系統(tǒng)、復雜裝備研制與管理、質量管理等研究；李維東(1988- )，男，碩士，專業(yè): 統(tǒng)計學，方向：質量管理；陶良彥(1988- ), 男，碩士，專業(yè): 管理科學與工程，方向:復雜裝備研制。

中圖分類號：C934文章標識碼：A

The Maximum Entropy Configuration Model of Objective Index Weight

Based on Grey Class Sensitivity Coefficient

LIU Hong-qi1～3， FANG Zhi-geng1，2, LI Wei-dong1，2, TAO Liang-yan1，2

(1.CollegeofEconomicsandManagement,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics，Nanjing210016,China; 2.ScientificDevelopmentResearchCenter,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics; 3.DisciplineInspectionCommissionOffice,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics)

Abstract:To determine the weight values of assessment indexes is the crucial link in multiple attribute decision making problems. However, today’s researches have used the evaluation index difference, which tends to ignore the evaluation index of the importance for the evaluation object and the system. Based on the natural essence attribute differences, this article uses the grey correlation clustering to classify the evaluation object into the default category, and by the analysis method of being with or without contrast, defines the grey class sensitivity coefficient which influences the impact of the indexes for the evaluation of all the object classes; and based on the maximum entropy criterion，sets up the objective weight maximum entropy configuration model based on the grey class sensitivity coefficient to determine the weight of multiple attribute decision making. Through the contrast analysis of actual cases in ref. [21,26], it shows the effectiveness and closeness to the reality of this model, which has put forward a new thought for solving multiple attribute decision making problem.

Key words:multiple attribute decision making; grey correlation clustering; grey class sensitivity coefficient; maximum entropy; objective index weight

0引言

在多屬性決策領域，人們要做出一項正確決策往往要綜合考慮諸多影響因素，需要以多個屬性為準則來構建決策評價指標體系，進行客觀、全面、系統(tǒng)的綜合評價。決策評價的結果取決于兩個因素：一是評價指標的選擇，二是指標權重的確定。指標權重的確定是否客觀、合理，直接關系到能否把握住評價的標準和重點，直接影響到決策的準確性和科學性。評價指標權重是指標在整體評價系統(tǒng)中相對重要程度的表征。判斷一組指標權重的合理與否并不能根據(jù)其是采用主觀賦權還是客觀賦權，而應該看其是否準確反映了評價指標對評價對象全體及所在系統(tǒng)的真實重要性。目前，確定客觀權重的方法主要包括最大熵技術法、主成分分析法、灰色關聯(lián)法、相似系數(shù)法、離差最大化法、模糊聚類法、線性組合賦權法、敏感性分析法[1～14]等等。文獻[15]針對熵權法下屬性客觀權重的分散度不高的問題, 提出了基于調節(jié)系數(shù)的改進的判斷矩陣標準化處理方法。以不同決策者對相同方案同一屬性的評價值為基礎，根據(jù)數(shù)據(jù)穩(wěn)定性與屬性權重之間的正相關關系，提出以屬性評價值的熵作為數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的度量，并由該熵值確定屬性客觀權重的方法。文獻[16]從類空間類別分布模糊特性出發(fā), 提出一種基于類空間模糊度的權重分配方法。文獻[17]認為屬性的評估值差異越小,其權重越??；差異越大,其權重也越大，提出了兩種基于證據(jù)間差異性的客觀權重確定方法。文獻[18]針對交通環(huán)境風險評估過程中信息的不確定性、多樣性及評估指標客觀權重難以確定的問題，引入信息熵權法，基于對各種不確定信息熵的計算獲得客觀權重,進而建立基于熵權證據(jù)推理的評估模型。文獻[19]引入一種基于粗糙集理論的權重確定方法，該方法不需要任何先驗信息，即可完成權重計算，可使情報分析結果更加客觀、有效。文獻[20]針對指標權重未知的區(qū)間概率風險型混合多屬性決策問題,提出一種基于熵權和投影理論的決策方法。文獻[21]提出了表征不同指標間關聯(lián)程度的灰關聯(lián)深度系數(shù)，以其來確定指標客觀權重大小的變動范圍，運用極大熵準則構建規(guī)劃模型來判斷決策指標權重；但是該文提出的方法存在以下不足：一是灰關聯(lián)深度系數(shù)經濟含義模糊，不能有效反映評價指標的實際重要程度。根據(jù)文中灰關聯(lián)深度系數(shù)的含義，某一指標權重的大小是由灰關聯(lián)深度系數(shù)的取值范圍所決定的。當某一指標原始值經規(guī)范化處理后取值越大，則會賦予該指標較小權重；反之，當某一指標原始值經規(guī)范化處理后取值越小，則會賦予該指標較大權重。二是灰關聯(lián)深度系數(shù)易受評估對象數(shù)量的影響。隨著評估對象數(shù)量的增加，灰關聯(lián)深度系數(shù)呈減小趨勢，不同指標之間關聯(lián)的顯著性大大降低；三是該文的評價指標客觀權重極大熵配置模型存在較為嚴格的約束，可能導致無解的情況發(fā)生。

綜觀現(xiàn)有客觀權重確定的方法和模型，我們可以看出這些方法和模型的基本思想主要是基于指標數(shù)據(jù)波動和數(shù)據(jù)獨立程度進行賦權。利用評價指標值之間的差異性進行指標的客觀賦權，僅僅反映了指標對評價對象的區(qū)分能力的大小，往往容易忽略指標權重本身相對重要程度的本質內涵，最直接的后果是可能會淘汰一些非常重要的指標，從而使評價結果有可能會嚴重失真。對評價指標權重的判斷并不能僅僅依據(jù)指標值的區(qū)分能力，更為關鍵的是要考慮指標對被評價對象全體及所在系統(tǒng)的重要程度。

本文根據(jù)研究對象自然本質屬性差異，將研究對象進行灰聚類分析，借鑒有無對比分析法的思想，定義了指標與全體被評價對象分類間的灰類敏感度系數(shù)，根據(jù)極大熵準則，建立了基于灰類敏感度系數(shù)的客觀權重極大熵配置模型，從而找出對全體被評價對象類別影響最重要的指標，并賦予較大的權重。該方法基于事物本質屬性差異的視角，探尋評價指標對被評價對象全體類別差異和類別變動的影響程度，為指標權重的判定提供了一種新方法。

1基于事物本質屬性類型差異的灰色關聯(lián)聚類模型

萬物類象。在現(xiàn)實生活中，人們通常把在自然本質屬性或某些屬性上有相類似的事物歸為一類。灰色關聯(lián)聚類是根據(jù)由灰色關聯(lián)度構成的灰色關聯(lián)矩陣將一些評價指標或評價對象劃分成若干個可定義類別的方法[22]。通過構建預設灰類的特征序列，利用灰色關聯(lián)度，可以將評價對象劃分到預設灰類中去。

1.1評價指標的無量綱化處理

考慮一個多指標決策問題，假設有n個評價對象(方案)，其組成的評價對象集為O={O1，O2，…，On},m個評價指標或屬性組成的指標集為I={I1，I2,…,Im},m個評價指標的權重W={w1,w2,…,wm},第i個評價對象Oi在第j個評價指標Ij上的數(shù)值xi(j)(i=1,2,…，n;j=1,2,…,m),則O對I的評價矩陣為：

由于評價指標在量綱和數(shù)量級上存在著較大的差異，在計算過程中直接加權將無實際意義。在對評價指標體系進行綜合聚類時，為消除各指標量綱不同和量級差異的影響，一般在完成數(shù)據(jù)收集工作后尚需對原始指標值進行無量綱化處理。其一般的處理步驟為：

Step 1判定評價指標體系中的每個指標屬性值類型。指標屬性值類型一般可分為效益型指標、成本型指標、適中型指標、偏離型指標、區(qū)間型指標、偏離區(qū)間型指標。其中，常用的指標屬性值類型主要包括效益型指標、成本型指標、固定型指標，效益型指標是指標值越大越好的指標，成本型指標則相反，適中型指標是越接近某個適中值越好的指標。

Step 2依據(jù)指標屬性值類型合理選擇比較的標準值和處理方法。效益型指標、成本型指標、適中型指標的原始數(shù)據(jù)值可分別按照下述方法進行處理：

Step 3按照上述方法分別對評價矩陣中原始指標數(shù)值進行處理后，可以得到標準化的評價矩陣R：

1.2基于特征序列灰關聯(lián)度的評估對象聚類過程

定義1設Xi={xi(j)|i=1,2,…,n;j=1,2,…,m}為系統(tǒng)行為序列，Xo=(xo(1),xo(2),…,xo(m))為參考序列。

稱

在標準評價矩陣R中，各灰類的特征序列可以依據(jù)下述思想和步驟提取：

Step 2以minri(j)為端點，以(maxri(j)-minri(j))/(s-1)(s≥3)為步長，將灰類指標特征值向最大值方向進行逐步延拓，從而分別得到新的灰類特征序列，其特征值可用minri(j)+k(maxri(j)-minri(j))/(s-1)(s≥3,k=1,2,…,s-1)表示，直至延拓到maxri(j)為止(若以maxri(j)為端點，提取思路與之類似)。

2灰類敏感度系數(shù)的構建

事物的本質屬性特征往往用評價指標數(shù)據(jù)予以表征和度量，評價指標在很大程度上決定著被評價事物的本質屬性和類別等級。一方面，評價指標數(shù)據(jù)所蘊含的反映事物本質屬性的信息量越大，對事物類別劃分的區(qū)分程度也就越高；另一方面，評價指標對事物類別差異和變動的影響程度反映了不同評價指標對被評價事物全體的客觀重要程度。例如，人們往往通過設計能夠反映學生綜合素質的評價體系對學生進行評價，一般可以將學生分為優(yōu)、中、差三個類別。當學生按照綜合素質屬性進行分類時，同一類內的學生綜合素質具有較高的相似度，不同類間學生綜合素質具有較大的差異性，例如優(yōu)類中學生的整體綜合素質都比較高，差類中學生綜合素質都比較低，優(yōu)類學生的綜合素質平均水平顯著高于差類學生的綜合素質平均水平，優(yōu)類中任一學生綜合素質水平都顯著高于差類學生的綜合素質平均水平；當反映學生綜合素質的評價指標體系中的某個指標被去掉或者暫未被納入考慮范圍，所有被評價學生全體的分類也會發(fā)生變動，這種變動主要表現(xiàn)為兩個方面：一是不同類別中學生數(shù)量的變動；另一個是被評價學生全體的類別調整。因此，可以借鑒有無對比分析的思想，通過對某個指標在整個評價指標體系中有無分析，判斷和度量該指標對被評價對象全體類別變動的影響程度；我們可以將這種影響程度視為指標在整個評價體系中的相對重要程度，影響程度越大的指標應給予分配較大的權重。

設有n個評價對象(方案)，其組成的評價對象集為O={O1,O2,…,On}，利用對象所有評價指標數(shù)據(jù)，按照基于特征序列灰關聯(lián)聚類方法共分成s個灰類。借鑒有無對比分析法的思想，為考量評價指標對評估對象全體類型劃分的影響程度，將沒有刪除任何評價指標的對象分類作基準分類，將刪除某個評價指標的對象分類視為比較分類，討論刪除任一評價指標后的評估對象分類的變動。如果因某個指標的刪減，引發(fā)評價系統(tǒng)中灰類對象數(shù)量變化大，并且對象類型變動幅度大，那么我們就可以認為該指標對評價系統(tǒng)的影響程度大，該指標在整個評價指標體系中的相對重要程度就越大，評估對象的分類對這一指標也就越敏感，相應地該指標應賦予較大的權重。

定義2設基準分類的灰色關聯(lián)矩陣為γ，刪除第j個指標后的比較分類的灰色關聯(lián)矩陣為γ′，γ和γ′分別表示如下：

3基于灰類敏感度系數(shù)的客觀權重極大熵配置模型

E.T.Jaynes是信息論中的極大熵準則的創(chuàng)導者，他在該領域工作的時間從20世紀50年代跨到80年代，他的這一套思路和方法為社會所公認，一般稱為極大熵準則。按照極大熵準則，人們應該挑選在一定約束條件下(常常是某些與隨機變量有關的平均值)使得熵(或條件熵)能極大化的那種分布作為選定的分布[23]。借鑒文獻[23]中的極大熵思想，客觀權重極大熵配置模型構建與證明過程如下：

極大熵準則求解變量概率分布的數(shù)學規(guī)劃問題模型：

3.1目標函數(shù)的提出

按照極大熵準則的思想，由于各指標的真實權重是一個隨機變量，具有不確定性，而“熵”的大小恰恰反映了評價指標的重要性的分布程度[24-25]。為了描述這種不確定性，可將權重wj理解為第j個指標Ij在評價指標集I中所占比重(“概率”)；并且認為在已知部分信息的基礎上，權重熵值達到最大的并且滿足約束條件所得到的權重值可能性最大。由此我們可以利用極大熵準則來對評價指標權重進行求解，建立目標規(guī)劃方程，如式(1)所示：

(1)

3.2約束條件的確定

首先，第一個約束條件。根據(jù)概率論的基礎理論知識，可以很容易得到各評價指標的權重和為1，即為：

(2)

其次，第二個約束條件。根據(jù)基于特征序列灰關聯(lián)度的評估對象聚類分析，可以將評估對象劃分成s類(s為常數(shù))，令分類結果按照序號依次從優(yōu)到劣，那么我們可知優(yōu)勢類中任一評估對象的加權綜合值均大于劣勢類中任一評估對象的加權綜合值。設yk(j)為第k類對象在第j個指標下的原始指標觀測值，則有：

{wjyk(j)}>{wjyk+1(j)}(j=1,2,…,s-1)

(3)

再次，第三個約束條件。依據(jù)評估指標對對象類別差異的影響程度分析，我們可以根據(jù)評價系統(tǒng)類別對評估指標有無時的灰類敏感度系數(shù)，確定出各個評價指標對評價系統(tǒng)總體類型劃分的影響程度，進而確定出各指標權重的相對排序。因此，我們可以得到以下的約束條件：

wi>wk,i≥1,k≤m,且i≠m

(4)

3.3模型的構建

根據(jù)式(1)和約束條件(2)～(4)，以建立如下多目標規(guī)劃數(shù)學模型來求解指標權重，如式(5)所示：

(5)

定理1指標客觀權重的極大熵模型存在唯一最優(yōu)解。

證明由極大熵模型：

若極大熵模型為一個凸集上的凸規(guī)劃問題，則必存在唯一的最優(yōu)解。

將極大熵模型轉化成如下模型：

首先，判斷目標函數(shù)為凸凹函數(shù)：(MP)為目標函數(shù)，則其海塞矩陣為：

因為00。

由海塞矩陣可知MP為凸函數(shù)，而約束條件為線性約束條件，所以為凸集。

因此，該極大熵模型為凸集上的凸規(guī)劃問題，則必存在唯一的最優(yōu)解。

3.4模型的求解

要求解評價指標權重，可以通過如下步驟進行：

第一步：構造拉格朗日函數(shù)；其中m為指標數(shù)，n為約束方程數(shù)，f為約束方程系數(shù)，α、β為待定參考系數(shù)。

(6)

由x=lnex可以將上式改寫成：

第二步：借助不等式重要性質，對模型轉化；

(7)

(8)

第三步：由式(8)求解參數(shù)。

(9)

(10)

第四步：將式(10)代入約束條件中，構造n個方程，即可求出n個β值，求出了β值后即可求出wj。

4案例研究

本文引用文獻[26]中的案例，選取股票投資決策中股票的每股收益、每股凈資產、每股公積金、凈資產收益率、主營業(yè)務收入增長率、市盈率作為投資評級指標，并以2008年4月1日至6月30日鋼鐵行業(yè)6支具有代表性的股票為例，分別運用基于灰敏感度系數(shù)的極大熵模型法、熵權雙基點法、灰深度關聯(lián)系數(shù)法確定6個投資指標的權重，并對這6支股票的優(yōu)劣進行排序，進而進行投資組合設計，比較這兩種評價方法的優(yōu)劣。各指標值如表1所示。

表1　6支股票指標值

Step 1在對評價指標進行無量綱化處理和提取預設的優(yōu)良、中等、一般三個灰類特征序列的基礎上，按照基于特征序列灰關聯(lián)度的灰聚類方法對評估對象進行聚類分析，經過聚類我們可以得知：邯鄲鋼鐵、武鋼股份、寶鋼股份歸為一類，屬于相對優(yōu)良的類別；凌鋼股份屬于中等的類別；包鋼股份、首鋼股份歸為一類，屬于較為一般的類。根據(jù)優(yōu)良類中股票投資價值要大于中等類，中等類中股票投資價值要大于一般類，我們可以得出式(11)：

(11)

Step 2通過有無對比分析，按照灰類敏感度系數(shù)的計算思路與步驟，逐一測算各評價指標對事物全體分類的影響程度。經過計算，我們可以得到各個指標的灰類敏感度系數(shù)：δ1=0.418,δ2=0.314,δ3=0.467,δ4=0.440,δ5=0.371,δ6=0.294。依據(jù)灰類敏感度系數(shù)的涵義，確定出各指標權重的相對排序，如式(12)所示：

w6≤w2≤w5≤w1≤w4≤w3

(12)

Step 3基于極大熵準則的客觀權重配置模型建立與求解：利用式(5)中的指標客觀權重的極大熵一般模型，以及式(11)、式(12)，構建基于極大熵準則的客觀權重配置數(shù)學規(guī)劃模型，如下式(13)所示：

(13)

得到投資決策評價指標的權重如表2所示。模型結果表明：每股公積金在6項指標之中對投資決策影響因素的權重最大，主營業(yè)務增長率和每股收益在投資決策影響因素中的權重較大，而每股凈資產和凈資產收益率的權重則偏低。這與在實際的股票投資中投資者十分注重對企業(yè)的獲利能力基本相符。

表2評價指標權重

評價指標權重每股收益0.2357每股凈資產0.0120每股公積金0.4940凈資產收益率0.0120主營業(yè)務收入增長率0.2357市盈率0.0110

D(1)=2.050424,D(2)=2.658372,D(3)=2.0495167

D(4)=2.438744,D(5)=2.051771,D(6)=1.530662

文獻[26]中假設投資者在2008年4月1日分別買入這六只股票持有至2008年6月30日，分別看它們的收益率：凌鋼股份下跌9.08%，寶鋼股份下跌23.12%，武鋼股份下跌25.27%，首鋼股份下跌30.87%，包鋼股份下跌33.22%，邯鄲鋼鐵下跌33.96%，據(jù)此對六只股票的實際行情排序如表3所示。并與文獻[21,26]利用灰深度關聯(lián)系數(shù)法、熵權雙基點法計算的熵權以及優(yōu)屬度結果得出股票優(yōu)劣程度的排序進行對比。

表3　股票投資價值的評價與多種方法的對比分析

根據(jù)表3所示，基于本文構建模型的評估結果顯示，包鋼股份和寶鋼股份的評估結果與實際行情完成一致，均優(yōu)于熵權雙基點法和灰深度關聯(lián)系數(shù)法；武鋼股份、凌鋼股份與寶鋼股份的預測結果排列前三名，若投資者從6支股票中選擇三支只股票進行風險投資，則基于本文權重設定方法的評估結果，選擇這三支股票的投資組合更貼近實際行情，那么投資者就能保持最低的虧損率或最高的收益率。因此，基于灰類敏感度系數(shù)的極大熵模型求得的股票優(yōu)劣程度對比文獻[21]、[26]中的灰深度關聯(lián)系數(shù)法、熵權雙基點法更貼近股票實際行情，具有較強的可行性與實用性。

若投資者選擇將100萬元投資于這六支股票，按照本文以及熵權雙基點法、灰深度關聯(lián)系數(shù)法計算得到的評價值以及優(yōu)屬度的比例值進行投資，在經過3個月的投資期限后，投資者的收益分別為(注：由于受2008年股市整體下跌的影響，這6只股票的收益率均為負值)：

R熵權雙基點法=(-33.96%)×0.09396+(-25.27%)×0.101663+(-33.22%)×0.134658+

(-23.12%)×0.340483+(-9.08%)×0.197532+(-30.87%)×0.131705=-0.23965

R灰深度關聯(lián)系數(shù)=(-33.96%)×0.2914+(-25.27%)×0.2309+(-33.22%)×0.1194+

(-23.12%)×0.1194+(-9.08%)×0.1194+(-30.87%)×0.1194=-0.2722

R文本模型=(-33.96%)×0.2357+(-25.27%)×0.012+(-33.22%)×0.494+

(-23.12%)×0.012+(-9.08%)×0.2357+(-30.87%)×0.011=-0.27475

由上式可知，投資者按照本文的決策結果進行投資，與灰深度關聯(lián)系數(shù)法相比將會會減少2471.87元的損失，與熵權雙基點法相比將會減少35104.58元的損失。

5結語

本文從事物的本質屬性出發(fā)，構建了基于特征序列的灰色關聯(lián)聚類方法將事物劃分到預設的類別中；在分類的基礎上，采取有無對比分析的思想，定義了灰類敏感度系數(shù)的概念，反映不同評價指標對被評價對象全體類別變化的影響程度，用以表征和度量評價指標對被評價對象全體及所在系統(tǒng)的相對重要性；構建了基于灰類敏感度系數(shù)的評價指標客觀權重極大熵配置模型，對影響事物分類結果的評價指標進行客觀賦權；并以現(xiàn)實中的股票投資組合選擇為案例，通過與其他方法的對比，該方法基本上能夠正確客觀配置事物的評價指標權重，在評價指標客觀賦權與評價決策具有較大的優(yōu)勢，案例分析的結果可以為投資者提供較為可靠的建議，說明該方法具有較好的實用性和有效性。

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