不定積分的分部積分法探究

不定積分的分部積分法探究

范梅

(無(wú)錫市廣播電視大學(xué) 高職部，江蘇 無(wú)錫 214011)

摘要：分部積分法是求不定積分的重要方法之一，也是求不定積分中的一個(gè)難點(diǎn)。在教學(xué)中，采用簡(jiǎn)單可行的方法準(zhǔn)確的確定哪個(gè)函數(shù)為u，哪個(gè)函數(shù)為dv，再用簡(jiǎn)便的運(yùn)算方法和技巧，可以快速求出v。

關(guān)鍵詞：不定積分；分部積分；高職高專(zhuān)；高等數(shù)學(xué)

作者簡(jiǎn)介：范梅(1980-)，女，江蘇南通人，講師，主要從事高職數(shù)學(xué)教育研究。

中圖分類(lèi)號(hào)：O172.2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

收稿日期：2014-12-11

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)

微積分是高等院校的一門(mén)重要基礎(chǔ)課，當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家柯朗曾指出：“微積分，或者數(shù)學(xué)分析，是人類(lèi)思維的偉大成果之一，它處于自然科學(xué)與人文科學(xué)之間的地位，使它成為高等教育的一種特別有效的工具．遺憾的是，微積分的教學(xué)方法有時(shí)流于機(jī)械，不能體現(xiàn)出這門(mén)學(xué)科，乃是一種撼人心靈的智力奮斗的結(jié)晶。”[1]不定積分是高職高專(zhuān)高等數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容和主要內(nèi)容，不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，不定積分也是微分學(xué)和積分學(xué)的聯(lián)系紐帶。求不定積分思維方法靈活多樣，初學(xué)者往往覺(jué)得難以起步，筆者在這里就不定積分的一些解法加以闡述。求解不定積分的常規(guī)方法有：直接積分法、換元積分法和分部積分法，而實(shí)際運(yùn)用中使用較多的是換元積分法和分部積分法，分部積分法是高職高專(zhuān)學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。

對(duì)于某些函數(shù)，如lnx，arctanx，xcosx等，求其不定積分只能使用分部積分法。分部積分的計(jì)算方法：若函數(shù)u，v都是x的可微函數(shù)，則∫udv=uv-∫vdu。學(xué)生是在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則和換元積分之后學(xué)習(xí)分部積分的，因此具有以下知識(shí)和能力儲(chǔ)備：1)兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則；2)運(yùn)用換元的思想解決分部積分。解決問(wèn)題時(shí)遇到的主要困難是如何正確選擇分部積分公式中的“u”和“dv”。選取恰當(dāng)，事半功倍，而選取失當(dāng)，則求不出結(jié)果。在求不定積分時(shí)，盡管教材[2]中有一些常用的方法，如當(dāng)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相乘時(shí)，選冪函數(shù)為u；當(dāng)冪函數(shù)和三角函數(shù)相乘時(shí)，選冪函數(shù)為u；當(dāng)冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)相乘時(shí)，選對(duì)數(shù)函數(shù)為u；當(dāng)冪函數(shù)和反三角函數(shù)相乘時(shí)，選反三角函數(shù)為u，但僅僅依靠死記硬背不易于理解和掌握分部積分法。

1尋求更簡(jiǎn)單的選擇u和v的方法

事實(shí)上，確定u和dv的目的是確定u和v，主要要使∫vdu比∫udv更容易積出[3]。由不定積分的公式可以知道，五大類(lèi)基本初等函數(shù)的積分中，冪函數(shù)當(dāng)指數(shù)是正整數(shù)時(shí)，積分后仍然是冪函數(shù)，只是指數(shù)提高了一次；三角函數(shù)，主要研究的是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，積分后仍然是三角函數(shù)，只是正余弦互換了；指數(shù)函數(shù)積分后仍然為指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)沒(méi)有直接的積分公式，積分后不是原來(lái)類(lèi)型。根據(jù)上面對(duì)函數(shù)積分后結(jié)果是否為原來(lái)類(lèi)型的分析，可以把函數(shù)分為三類(lèi)：第一類(lèi)，積分后函數(shù)類(lèi)型不發(fā)生變化，這里指三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)；第二類(lèi)，積分后函數(shù)指數(shù)升高了的，這里指冪函數(shù)；第三類(lèi)，積分后函數(shù)不再是原來(lái)類(lèi)型的，這里指對(duì)數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)。依據(jù)這樣的分類(lèi)，把第一類(lèi)函數(shù)叫做積分“低等”函數(shù)，第二類(lèi)函數(shù)叫做積分“中等”函數(shù)，第三類(lèi)函數(shù)叫做積分“高等”函數(shù)。本著低等服從于高等的原則，當(dāng)使用分部積分法解決兩種類(lèi)型函數(shù)相乘的不定積分時(shí)，可以設(shè)等級(jí)高的一方為u，余下的部分為dv，若兩個(gè)函數(shù)等級(jí)一樣，則可以任意選取。這樣，可以讓分部積分方法變得簡(jiǎn)單一點(diǎn)。

例2求∫xexdx。

分析這是冪函數(shù)x與指數(shù)函數(shù)ex相乘求積分，指數(shù)函數(shù)是第一類(lèi)，為積分“低等”函數(shù)，冪函數(shù)是第二類(lèi)，為積分“中等”函數(shù)。設(shè)u=x，dv=exdx，則

∫xexdx =∫xdex=xex-∫exdx

=xex-ex+C。

例3求∫x2arctanxdx。

分析 這是冪函數(shù)與反三角函數(shù)相乘求積分，冪函數(shù)是第二類(lèi)，為積分“中等”函數(shù)，反三角函數(shù)是第三類(lèi)，為積分“高等”函數(shù)。設(shè)u=arctanx，dv=x2dx，則

例4 求∫xlnxdx。

分析這是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)相乘求積分，冪函數(shù)是第二類(lèi)，為積分“中等”函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)是第三類(lèi)，為積分“高等”函數(shù)，所以設(shè)u=lnx，dv=xdx，則

例5 求∫e2xsinxdx。

分析這是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)相乘求積分，兩個(gè)函數(shù)都是屬于第一類(lèi)，為積分“初等”函數(shù)，可以任取其一為u，不妨設(shè)u=e2x，dv=sinxdx，則

∫e2xsinxdx =∫e2xd(-cosx)

=-e2xcosx-∫(-cosx)de2x

=-e2xcosx+2∫e2xcosxdx，

仍然有指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積，繼續(xù)設(shè)u=e2x，dv=cosxdx，則

=-e2xcosx+2e2xsinx-4∫e2xsinxdx，

像解方程一樣從中解出

此題若選取sinx為u，可以得到同樣的結(jié)果。

2根據(jù)du的不同情況選取合適的常數(shù)C

分部積分求解過(guò)程中，除了合適的選擇u和dv之外，還有一個(gè)難點(diǎn)，就是由v′dx求原函數(shù)v，在求解過(guò)程中，大部分解法是不去多加考慮，直接選擇常數(shù)0?？梢愿鶕?jù)du的不同情況選擇一個(gè)合適的常數(shù)C，讓求v的過(guò)程更簡(jiǎn)單一點(diǎn)[5]。

例6 求∫xln(x+1)dx[6]。

3結(jié)語(yǔ)

微積分是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，微積分通過(guò)對(duì)函數(shù)類(lèi)型、性質(zhì)等的入微觀察，可以培養(yǎng)良好的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題以及解決問(wèn)題的能力，在解題中也有助于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)[8]。一元函數(shù)不定積分的計(jì)算是微積分中的重要知識(shí)點(diǎn)，對(duì)后繼專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)有重要作用。由于求不定積分思維方法的靈活多樣性，分部積分又是不定積分中的一個(gè)難點(diǎn)所在，在求的過(guò)程中會(huì)有一定的困難。通過(guò)對(duì)函數(shù)和函數(shù)積分后的類(lèi)型是否變化來(lái)看，把函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，分成三類(lèi)，用“低等服從高等”的思路，幫助我們合理選擇u，解決了學(xué)習(xí)者的第一個(gè)難點(diǎn)，以及考慮常數(shù)C的合理選擇，簡(jiǎn)化運(yùn)算，能更好地掌握分部積分。

參考文獻(xiàn)

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[責(zé)任編輯、校對(duì)：周千]

Indefiniteintegraldivisionofintegralmethod

FAN Mei

(DepartmentofHigherVocationalEducation,WuxiTVUniversity,Wuxi214011,China)

Abstract：Integration by parts is one of the important methods of indefinite integral, and also a difficulty of indefinite integral. In teaching, teachers can accurately determine which function is u and which one is dv through the simple and feasible method, and then quickly determine v through the convenient algorithm and technique.

Keywords：indefiniteintegral;integrationbyparts;highervocationalcollege;highermathematics