大學(xué)物理課程中“高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”教學(xué)——以應(yīng)用為導(dǎo)向

大學(xué)物理課程中“高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”教學(xué)——以應(yīng)用為導(dǎo)向

賴國忠梁雄

(福建龍巖學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院, 福建 龍巖364012)

摘要本文給出了為大學(xué)物理課程學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的教學(xué)中的3個“應(yīng)用性”原則, 指出教學(xué)重點應(yīng)放在讓學(xué)生理解微分與導(dǎo)數(shù)、積分以及矢量運算幾個方面的思想與方法, 特別要讓學(xué)生理解: 微分表示變量的微小變化; 導(dǎo)數(shù)在幾何上表示函數(shù)曲線上切線的斜率, 而且導(dǎo)數(shù)中分子和分母兩個微分是既相關(guān)聯(lián)又可以分開的量; 積分的本質(zhì)意義是求和, 把物理問題轉(zhuǎn)化為積分問題通常包括兩個過程, 一是積分區(qū)域無限細(xì)分, 其目的在于“化變?yōu)椴蛔儭? 二是無限求和. 通過不定積分與定積分的關(guān)系可以幫助學(xué)生快速計算一些簡單被積函數(shù)的積分. 講述積分的過程中, 可以引入微分方程的概念及分離變量法求解的思想. 矢量運算中的難點是標(biāo)量積與矢量積的區(qū)別以及矢量求導(dǎo). 前者可通過力做功及力矩的概念幫助學(xué)生加深理解. 而矢量求導(dǎo)可以結(jié)合曲線運動中的速度、加速度的計算讓學(xué)生理解其思想與方法.

關(guān)鍵詞大學(xué)物理; 數(shù)學(xué)準(zhǔn)備; 思想方法; 應(yīng)用

收稿日期:2014-10-28；修回日期: 2014-12-26

基金項目:福建省自然科學(xué)

通訊作者:賴國忠, 男，教授, 從事薄膜技術(shù)研究和物理教學(xué). zhglai55@163.com

THE TEACHING OF ADVANCED MATHEMATICS FOUNDATION IN COLLEGE PHYSICS—TAKING APPLICATIONS AS THE ORIENTATION

Lai GuozhongLiang Xiong

(School of Physics and Electromechanical Engineering, Longyan University, Longyan, Fujian 364012)

AbstractThree applicability principles are given for the teaching of mathematical foundation, which is preparative for college physics. Its keystone must be putted on letting the students understand the ideologies and methods of differential coefficient, integration, and vector operations. Specially, the following views must be let students to know. Namely, differential coefficient expresses the tiny change of variable. On geometry, a derivation is the slope of the tangent line for a curve. The numerator and denominator of a derivation are both associative and separable. Integrating is substantially equivalent to sum. It contains two processes for translating a physical problem into integration, which are fractionizing and sum illimitably. In case of the function integrated is simple, the relation between definite integration and indefinite integral will be helpful to students. When telling about integration, the ideas of differential equation and variables separation can be introduced. The difficulties of vector operation include the difference between scalar product and vector product, and the derivation of vector. The concepts of work and moment can be used to understand the former difficulty. Calculation of velocity and acceleration in curvilinear motion can be used to let students understand the thought and technique of derivation of vector.

Key wordscollege physics; mathematical provision; thought method; application

近代物理學(xué)的書寫語言是數(shù)學(xué)[1].數(shù)學(xué)是物理的基礎(chǔ),是研究物理學(xué)的工具[2]. 所以, 很多院校都在大學(xué)物理課程開設(shè)之前開設(shè)相應(yīng)的高等數(shù)學(xué)[2], 也有很多院校大學(xué)物理課程與高等數(shù)學(xué)課程是同步開設(shè)的,要在大學(xué)物理課程中正式講授大學(xué)物理內(nèi)容體系之前講授相關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ), 但因總學(xué)時有限,學(xué)生不可能完全理解相關(guān)知識, 往往不知道如何應(yīng)用高等數(shù)學(xué)求解物理問題,導(dǎo)致大學(xué)物理學(xué)習(xí)效果不明顯、質(zhì)量不高.本文以應(yīng)用為導(dǎo)向, 討論在大學(xué)物理學(xué)課程之前, 應(yīng)該如何精選教學(xué)內(nèi)容, 用少量的學(xué)時讓學(xué)生比較正確地理解大學(xué)物理學(xué)中最重要的兩種數(shù)學(xué)模式——矢量與微積分[3],化解學(xué)生對相關(guān)知識的神秘感,提升學(xué)生把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.

1應(yīng)用性原則

因受學(xué)時限制, 這里的“應(yīng)用性”包含3方面的含義: 一是不追求數(shù)學(xué)定義、定理的嚴(yán)格條件, 而注重各種運算的實際意義及其應(yīng)用; 二是不追求學(xué)生對運算的熟練, 注重把物理問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)問題的思想方法, 能比較自然地接受并應(yīng)用相關(guān)思想和方法, 而對大學(xué)物理學(xué)習(xí)過程中可能遇到的微分積的具體計算等內(nèi)容在大學(xué)物理的教學(xué)過程中根據(jù)實際需要穿插進(jìn)行講述; 三是通過微積分、矢量及其運算的定義、物理意義、幾何意義, 消除學(xué)生對微分、導(dǎo)數(shù)、積分等運算符號及矢量運算的神秘感, 強(qiáng)化其直觀性和應(yīng)用性.

2教學(xué)內(nèi)容及應(yīng)突破的知識點

2.1　微分與導(dǎo)數(shù)

由變速直線運動中質(zhì)點的位移隨時間變化的函數(shù)關(guān)系x=x(t)求質(zhì)點瞬時速度的實例, 可得到導(dǎo)數(shù)的定義式

對于這個定義,需要強(qiáng)調(diào)如下幾個方面:

(1) 符號dt和dx分別是Δt→0和Δx→0的極限條件下的表示,稱為時間的微分和位移的微分. 微分只是一種運算,這種運算是對變量的增量取無限小的極限,用變量前面的符號“d”表示,與其他的運算都要用運算符來表示在思想上并無區(qū)別.

(2) 導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)對自變量的變化率. 在一個物理過程中,如果要分析一個量隨另一個量的變化率,就應(yīng)考慮求導(dǎo)數(shù)；而在幾何上它表示函數(shù)曲線上一點的切線的斜率.在函數(shù)的極值點,導(dǎo)數(shù)值為零,當(dāng)要考慮一個物理量何時取得極值時,也應(yīng)先找到導(dǎo)數(shù)為零的位置或時刻.

(3) 大學(xué)物理與中學(xué)物理最大的區(qū)別在于中學(xué)物理通常研究的是穩(wěn)恒量和離散量,大學(xué)物理所研究的基本都是連續(xù)量和變量[2].只要是連續(xù)變化的量,且變化量充分小,都可以表示為微分的形式. 結(jié)合實例, 要引導(dǎo)學(xué)生注意這樣一種事實，物理量y隨另一個物理量x變化的規(guī)律y=f(x)大致可以分為兩類: 一是物理量隨空間坐標(biāo)的變化關(guān)系,如物質(zhì)的密度ρ隨空間的連續(xù)變化；二是物理過程中物理量之間的客觀關(guān)系,如物體運動的位移、速度隨時間變化的關(guān)系.

(4) 一般來說,一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是原來的自變量的函數(shù),導(dǎo)數(shù)實際上是導(dǎo)函數(shù)的簡稱,因而,還可以定義二階甚至更高階導(dǎo)數(shù).

2.2　積分學(xué)

積分通常分為定積分和不定積分兩種,在數(shù)學(xué)上通常先講不定積分再講定積分.但是,筆者認(rèn)為,為大學(xué)物理課程做準(zhǔn)備的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的教學(xué)中,先介紹定積分更能讓學(xué)生理解積分的本質(zhì)意義,也更有利于今后把相關(guān)物理問題轉(zhuǎn)化為積分問題.

(1) 定積分的本質(zhì)是求和. 這可以結(jié)合數(shù)列求和的情況進(jìn)行對比討論.在求數(shù)列的前n項和的過程中,自變量的取值是分立的,所以用了求和號,但現(xiàn)在自變量是在一個區(qū)域內(nèi)連續(xù)變化,求和是對無限多個小曲邊梯形面積求和,這時就把求和號改成了積分號.

(2) 定積分包括兩個過程: 一是“無限細(xì)分”,通過把自變量的增量無限變小,使自變量的變化區(qū)域分成無限多個無限小區(qū)域,在每個小區(qū)域內(nèi),連續(xù)變化的函數(shù)值的變化量也很小,可以用區(qū)域內(nèi)任一點的函數(shù)值代替小區(qū)域內(nèi)各點的函數(shù)值,分別得到自變量的微元和函數(shù)增量的微元,這實際起到了“化變?yōu)椴蛔儭钡淖饔?；二是“無限求和”的過程,即對無限多個無限小的函數(shù)增量的微元求和.只有無限細(xì)分,才能化變?yōu)椴蛔?；只有先無限細(xì)分才能進(jìn)行無限求和.所以,積分號內(nèi)必定會出現(xiàn)微分號.求和是對微元求和,沒有微元就談不上求和.而積分號下漏寫微分號是學(xué)生常見的錯誤.只有讓學(xué)生充分體會到定積分的這種思想和方法,才能在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)過程中正確地應(yīng)用定積分解決實際問題,不容易出現(xiàn)積分號下漏寫微分號的常見錯誤.

(3) 用“化變?yōu)椴蛔儭钡乃枷胫笇?dǎo)學(xué)生在把物理問題轉(zhuǎn)化為積分問題時, 積分微元的選取. 例如, 要求如圖1所示半圓形均勻薄板的質(zhì)心的y坐標(biāo)時, 只有按圖中陰影所示選取積分微元才能實現(xiàn)“化變?yōu)椴蛔儭?

圖1　計算均勻半圓形薄板的質(zhì)心

(4) 定積分與不定積分的關(guān)系

不定積分在數(shù)學(xué)上是求一個函數(shù)的原函數(shù). 若能求得函數(shù)F(x)的原函數(shù)f(x),則定積分

在物理上, 如果從微分的思想能夠得到一個物理量y的微小增量與另一個物理量x的微小增量的關(guān)系dy=g(x)dx,則也可以借用定積分表示求和的思想, 直接寫出∫dy=∫g(x)dx, 這時只要說明積分后會出現(xiàn)任意常數(shù)c出現(xiàn)的原因,并通過實例說明實際問題中這個常數(shù)的確定方法.

討論定積分與不定積分的關(guān)系的另一個目的在于, 利用學(xué)生中學(xué)已有的一些基礎(chǔ), 引導(dǎo)學(xué)生在看到一些比較簡單的被積函數(shù)時去聯(lián)想什么樣的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)會等于這個被積函數(shù), 這個聯(lián)想的結(jié)果就是被積函數(shù)的原函數(shù). 這樣有助于學(xué)生做一些簡單的積分運算.

(5) 積分運算與求解微分方程. 關(guān)于微分方程, 很多專業(yè)的高等數(shù)學(xué)并不詳細(xì)講授這部分內(nèi)容. 而物理上很多情況下把實際問題轉(zhuǎn)化成積分問題之前, 實際上還隱含了微分方程的建立和求解問題. 所以, 結(jié)合積分的教學(xué), 可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)难由? 為大學(xué)物理的學(xué)習(xí)打下更好的基礎(chǔ).

例如, 質(zhì)點作直線運動, 其加速度為a, 要求其速度v. 因為

由于該方程中出現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)(或說微分),被稱為微分方程. 而求解微分方程最基本的方法是分離變量法.

2.3　矢量

大多數(shù)情況下, 物理量可以表征為標(biāo)量或矢量, 因此, 物理問題的求解就成了滿足物理規(guī)律下的矢量和標(biāo)量運算的綜合運算. 建立物理中的矢量模式,對每個矢量賦予現(xiàn)實意義,使數(shù)學(xué)與物理學(xué)掛鉤,是從初等物理向高等物理教學(xué)過渡中的一個重要環(huán)節(jié)[3].事實上,作為一種數(shù)學(xué)工具,用矢量來描寫那些既有大小又有方向且遵從平行四邊形法則的物理量及其變化規(guī)律,十分方便[4].

矢量部分的難點是矢量的乘法,它涉及標(biāo)量積、矢量積.這部分內(nèi)容中,可以先以直角坐標(biāo)系中的矢量為例,介紹矢量的標(biāo)量積、矢量積及其幾何意義,然后重點說明以下幾點.

(1) 標(biāo)量積與矢量積是完全不同的乘法,實際使用時要認(rèn)真加以區(qū)別,特別是標(biāo)量積的運算符,即兩個矢量之間的點號不是可有可無的.另外,標(biāo)量積滿足交換律,而矢量積在交換參與運算的兩個矢量時,結(jié)果會相差一個負(fù)號,表示得到的新矢量的方向相反.

(2) 沒有物理意義的數(shù)學(xué)矢量可以對給定的坐標(biāo)作任何的分解, 但是物理問題中的分解卻是有現(xiàn)實研究意義的, 而不是隨意的. 另一方面, 應(yīng)該通過實例說明, 不同的物理情景選擇用來分解的坐標(biāo)系不同, 但在不同坐標(biāo)系中進(jìn)行矢量分解后, 運算的結(jié)果都是一致的.

(3) 矢量的標(biāo)量積和矢量積運算在大學(xué)物理中有很多實際應(yīng)用,典型的例子是力作功用標(biāo)量積計算；而力對定點或定軸的力矩、質(zhì)點運動時對定點或定軸的角動量則應(yīng)該用矢量積來計算,包括確定它們的方向.

(4) 在數(shù)學(xué)上沒有定義矢量的除法, 在作業(yè)中要引起重視.

2.4　矢量導(dǎo)數(shù)

很多物理量都是矢量,所以引入矢量導(dǎo)數(shù)的計算思路也是應(yīng)該重點掌握的內(nèi)容.

在計算矢量導(dǎo)數(shù)時,通常要先選擇坐標(biāo)系.在直角坐標(biāo)系中,因為坐標(biāo)軸方向的單位矢不會變化,只要將矢量在坐標(biāo)軸上進(jìn)行投影,求出各分量的導(dǎo)數(shù)后就能得出結(jié)果.但有時在曲線坐標(biāo)系中討論物理問題有其便利之處,這部分內(nèi)容的深入應(yīng)用有待于在大學(xué)物理課程內(nèi)容中逐步強(qiáng)化,但在作為大學(xué)物理做數(shù)學(xué)準(zhǔn)備的課程中,為引起學(xué)生的興趣和重視,可舉幾個典型例子.例如,質(zhì)點作曲線運動,設(shè)質(zhì)點的位置矢量為r(t),則由,利用幾何圖像,很容易說明,當(dāng)Δt→0,Δr的方向是位矢r(t)處曲線的切線方向,所以,質(zhì)點作曲線運動時,速度的方向就是曲線的切線方向；又如,在質(zhì)點作勻速圓周運動時,設(shè)在t時刻質(zhì)點的速度為(t),在t+Δt時刻質(zhì)點的速度為(t+Δt).因速率不變,由(t)和(t+Δt)及Δ構(gòu)成等腰三角形,根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°以及,當(dāng)Δt→0時,(t+Δt)與(t)的夾角趨于零,Δ⊥,所以,在勻速圓周運動中,質(zhì)點的加速度只有法向分量且指向圓心.實際上, 這是矢量導(dǎo)數(shù)的一個重要特征: 即使矢量的大小不改變而僅僅方向改變,矢量的增量也不為零,因而其導(dǎo)數(shù)也就不為零. 若用A表示這種矢量,則這一事實可表示為=0.

3結(jié)語

以應(yīng)用為導(dǎo)向,介紹了大學(xué)物理與高等數(shù)學(xué)課程同步開出的課程設(shè)置方案中,在大學(xué)物理課程中學(xué)習(xí)物理知識之前應(yīng)準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,主要包括微分、積分、矢量及其運算,指出對各部分內(nèi)容應(yīng)重點放在引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想和方法,學(xué)會把實際物理問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)模式,并結(jié)合物理實例學(xué)習(xí)這些思想方法.

參考文獻(xiàn)

[1]路甬祥. 百年物理學(xué)的啟示[J]. 物理,2005,34(7): 467-472.

[2]郝卜, 呼方濤, 王猛, 等. 淺析大學(xué)物理中高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用技巧[J]. 科技信息,2010,21: 659.

[3]胡南. 數(shù)學(xué)模式與物理世界——剖析建立數(shù)學(xué)模式對大學(xué)物理教學(xué)的重要性[J].物理與工程,2004,24(6): 46-48.

[4]漆安慎,杜嬋英, 包景東.力學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社,2012: 461.

■