彈簧參與的微小振動(dòng)一定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)嗎

郭 敏 閆誠(chéng)實(shí) 王靖淇 崔景鳳 戴 瑞

（1東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130024；2沈陽(yáng)市第四中學(xué)，遼寧沈陽(yáng) 110023）

1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的充要條件

在一維情況下，振子系統(tǒng)的位置可用單一坐標(biāo)變量x來(lái)表示，設(shè)任意系統(tǒng)的勢(shì)能為U＝U（x），受力為f＝f（x），若x0為穩(wěn)定平衡位置，則有

一般情況下，在平衡位置附近（Δx＝x-x0極?。?，可以將勢(shì)能函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)［1］：

當(dāng)Δx→0時(shí)，若忽略高階無(wú)窮小，則

根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

兩側(cè)同時(shí)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)有

若

此時(shí)系統(tǒng)勢(shì)能為極小值.

需要說明，當(dāng)式（3）不成立時(shí)，如果勢(shì)能對(duì)位置的高階變化率滿足大于零，即那么x0處也是系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置，但此時(shí)f（x）可能不再滿足f（x）＝-kx這種形式，這樣的振動(dòng)也就一定不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)了［4］.

2 彈簧參與的微小振動(dòng)

例1如圖1所示，一個(gè)原長(zhǎng)為l勁度系數(shù)為k的彈簧，將其一端固定，另一端連接質(zhì)量為m中心穿有小孔的質(zhì)點(diǎn)小球，小球套在光滑的水平細(xì)剛性桿上，剛性桿到彈簧固定端的距離剛好等于彈簧的原有長(zhǎng)度l.以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立如圖所示坐標(biāo)軸Ox.外力作用下，小球偏離平衡位置，靜止于x處，某一時(shí)刻，突然撤去外力，系統(tǒng)沿光滑的水平剛性細(xì)桿作微小振動(dòng)［5］.

圖1 套在水平剛性細(xì)桿上的彈簧振子

系統(tǒng)的彈性勢(shì)能可以表示為

彈簧的伸長(zhǎng)量為

由于小球的橫向位移x?l，將勢(shì)能在x＝0處展開有

例2光滑水平面上一個(gè)質(zhì)點(diǎn)小球連接兩個(gè)原長(zhǎng)均為l、勁度系數(shù)均為k的彈簧，將彈簧的另外兩端分別固定，使彈簧處于原長(zhǎng)，并與質(zhì)點(diǎn)小球在同一直線，以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立如圖2（a）所示的坐標(biāo)軸Ox.在外力作用下，小球偏離平衡位置，如圖2（b）所示，靜止于x處，某一時(shí)刻，突然撤去外力，系統(tǒng)將在光滑平面上沿x方向作微小振動(dòng)［6］.

圖2 兩個(gè)彈簧相連的系統(tǒng)

系統(tǒng)的勢(shì)能為

進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開得

例3若在例2的基礎(chǔ)上再加一個(gè)彈簧，3根勁度系數(shù)為k，原長(zhǎng)為l的彈簧互成120°就得到如圖3所示的系統(tǒng)，平衡時(shí)各彈簧均恰好為原長(zhǎng).以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立如圖所示的坐標(biāo)軸Ox.在外力作用下，質(zhì)點(diǎn)小球沿圖中Ox軸方向偏離平衡位置，靜止于x處，某一時(shí)刻，突然撤去外力，系統(tǒng)將在光滑平面上沿x方向作微小振動(dòng)［6］.

圖3 二維對(duì)稱3彈簧振子

系統(tǒng)的總勢(shì)能為

進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開得

例4若在例3的基礎(chǔ)上再加一個(gè)彈簧，4根勁度系數(shù)為k，原長(zhǎng)為l的彈簧互成90°就得到如圖4（a）所示的系統(tǒng).平衡時(shí)各彈簧均恰好為原長(zhǎng)，以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立如圖所示的坐標(biāo)軸Ox.若在外力作用下將質(zhì)點(diǎn)小球沿圖4（a）的x方向移動(dòng)微小距離，撤去外力，系統(tǒng)將在光滑平面上沿x方向作微小振動(dòng)［6］.

系統(tǒng)的總勢(shì)能為

進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開得

圖4 彈簧振子系統(tǒng)

同樣，若在外力作用下將質(zhì)點(diǎn)小球沿圖4（b）中所示的x方向移動(dòng)微小距離，其中角α＝45°，可以得到系統(tǒng)的總勢(shì)能為

變形后進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開得

如果保留低階無(wú)窮小，忽略高階無(wú)窮小時(shí)，此系統(tǒng)的微小振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧振動(dòng).

3 結(jié)語(yǔ)

部分學(xué)生在學(xué)習(xí)彈簧參與的微小振動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生這樣的錯(cuò)誤觀念：①認(rèn)為只要系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)的小振動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，但如例1所示，小球沿光滑的水平剛性細(xì)桿在平衡位置附近作往復(fù)振動(dòng)，但系統(tǒng)不滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的充要條件，其微小振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；②認(rèn)為多個(gè)彈簧參與的微小振動(dòng)，如果其中每個(gè)彈簧產(chǎn)生的作用力為線性回復(fù)力，則系統(tǒng)在平衡位置附近的往復(fù)振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，但如例2所示，每個(gè)彈簧產(chǎn)生的作用力為線性回復(fù)力，但系統(tǒng)不滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的充要條件，其微小振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；③認(rèn)為多個(gè)個(gè)彈簧參與的微小振動(dòng)，不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，但如例3和例4所示，分別有3個(gè)和4個(gè)彈簧參與的微小振動(dòng)，但其系統(tǒng)滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的充要條件，其微小振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).所以在判斷彈簧參與的微小振動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，一定要根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的充要條件進(jìn)行詳細(xì)分析.

［1］趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［2］漆安慎，杜嬋英.力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［3］梁紹榮，劉昌年，盛正華，等.普通物理學(xué)（第四分冊(cè)）力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［4］李棟.物體在穩(wěn)定平衡位置附近的微小振動(dòng)不一定都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)［J］.物理與工程，2006，16（1）：59-61.

［5］林少光，龔善初.彈簧振子非線性振動(dòng)的周期計(jì)算［J］.湖南文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.2009，21（4）：19-22.

［6］廖旭，任學(xué)藻.組合線性彈簧振子中的非線性振動(dòng)［J］.大學(xué)物理，2008，27（2）：25-28.