不用求導含參數(shù)的三階收斂迭代方法

不用求導含參數(shù)的三階收斂迭代方法

裕靜靜，江平

(合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，合肥230009)

[摘要]基于弦截法和Steffensen迭代法，本文提出了求解非線性方程f(x)=0的兩種帶有參數(shù)的迭代算法，這兩種算法不帶有導數(shù)，且經(jīng)過收斂性分析證明至少是三階收斂的，最后用數(shù)值試驗驗證了本文兩種迭代算法的有效性和優(yōu)越性.

[關鍵詞]牛頓迭代； 弦截法； Steffensen迭代法； 非線性方程

[收稿日期]2014-10-12

[基金項目]中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項(J2014HGXJ0077)

[中圖分類號]O241.7[文獻標識碼]A

1引言

科學發(fā)展中經(jīng)常用到非線性方程，我們知道牛頓迭代法(CN)[1]是求解非線性方程f(x)=0的經(jīng)典算法.近年來，科學家們提出了很多種對牛頓迭代法進行改進的算法，如文獻[2-4]，但是這些算法需要調(diào)用導數(shù)值.對于復雜函數(shù)而言，求導比較困難，無疑增加了計算量，于是科學家們又研究了不用求導的改進算法，例如對弦截法的改進還有不動點的改進.由楊明波等人在文獻[5]中提出的求解非線性方程的二重弦截法，它的收斂階為2.618.還有吳新元[6]提出的兩族新的牛頓類方法.文獻[7]和[8]中，鄭權在文獻[6]的基礎上，提出了具有參數(shù)的不帶導數(shù)的平方收斂的歐拉型迭代法，它的收斂階是二階的.文獻[9]中Mehdi Dehghan和Masoud Hajarian所提出的幾種不用求導的平方收斂和三階收斂的迭代法.本文基于文獻[6]和[9]提出了兩種含有參數(shù)的收斂迭代算法，這兩種新算法不需要求導數(shù)，且收斂性分析證明它們至少三階收斂，也通過數(shù)值試驗證明了它們的有效性.

2不用求導含有參數(shù)的迭代格式

本文所提出的兩種算法，它們的迭代格式為

(1)

以及

(2)

其中μ∈R，下面給出新迭代格式的推導過程.

首先給出一個動力系統(tǒng)

(3)

其中U(x*)為x*的鄰域，可見方程f(x)=0的根x*是動力系統(tǒng)(3)平衡點，反之也是一樣的.利用不同的數(shù)值方法求解(3)可以得到不同的求根方法，現(xiàn)在用Euler方法對其進行積分可得到

(4)

因為求導帶來不便，可以用差商

代替(4)中的導數(shù)f′(xn)，可得到

(5)

令(5)中h=1，則(5)變?yōu)?/p>

(6)

迭代格式(6)正是[4]中鄭權提出的帶參的不帶導數(shù)的平方收斂的迭代算法格式.根據(jù)上述的迭代格式，我們可以繼續(xù)改進，與弦截法的迭代格式

結合，得到一個新的迭代格式

(1)

其中μ∈R.

類似地，如果采用差商

代替(4)中的導數(shù)f′(xn)，那么根據(jù)迭代格式(1)的推導過程，可以得到另一種不用求導含參數(shù)的迭代格式，如下所示

(2)

(1)和(2)就是本文所要討論的兩種不用求導含參數(shù)的三階收斂迭代格式，下面對它們進行收斂性分析.

3收斂性分析

(7)

如果所選取的參數(shù)

證設xn在x*的去心鄰域內(nèi)，令en=xn-x*，由帶Peano余項的Taylor公式得

(8)

(9)

由(8)以及泰勒公式展開可得

(10)

由(9)，(10)可得

μf2(xn)+f(xn+f(xn))-f(xn)

(11)

因此利用輾轉(zhuǎn)相除法，由(9)和(11)可得

(12)

由(12)可知

所以可以得到f(yn)在x*處的泰勒展開式為

所以可得

(13)

以及

(14)

由(13)和(14)利用輾轉(zhuǎn)相除法可得

由此可得

(15)

根據(jù)誤差方程的定義以及(15)可知

(16)

(17)

定理2的證明過程參照定理1即可得出結論.

4數(shù)值試驗

(i)f1(x)=cosx+e-x,x*=1.74613953040801;

(ii)f2(x)=cosx-x,x*=0.73908513321516;

(iii)f3(x)=2sinx-1,x*=0.52359877559830;

(iv)f4(x)=x3-1,x*=1.00000000000000.

測試結果如表1所示：

表1　迭代次數(shù)的比較表

5結束語

通過表1中的迭代次數(shù)可知，本文的兩種迭代算法不管μ取何值，都比經(jīng)典牛頓法和Steffensen加速法的收斂效果要好，而且當取得的μ值使得斂速估計r*=0時，收斂效果更好.本文所給出的兩種迭代算法不需要求導數(shù)值，而且可以調(diào)節(jié)參數(shù)μ使得收斂速度改變.通過比較可知，第二種迭代算法的效果比第一種略好.通過計算效率指數(shù)可知，格式(1)的效率指數(shù)是1.4422，格式(2)的效率指數(shù)是1.316，而牛頓迭代法和弦截法的效率指數(shù)是1.414，更加驗證了本文迭代算法的有效性.

[參考文獻]

[1]朱曉臨. 數(shù)值分析[M].合肥:中國科學技術大學出版社，2010.

[2]Ozban A Y. Some new variants of Newton’s method[J]. Appl Math Lett， 2004， 17:667-682.

[3]Weerakoon S， Fernando T G L. A variant of Newton’s method with accelerated third-order convergence [J]. Appl Math Lett， 2000， 13:87-93.

[4]Changbum Chun. Construction of third-order modifications of Newton’s method[J]. Appl Math and Comp， 2007， 189:662-668.

[5]楊明波. 求解非線性方程的二重弦截法[J]. 河南師范大學學報，2010， 38(3): 14-16.

[6]吳新元. 對牛頓迭代法的一個重要修改[J]. 應用數(shù)學與力學，1999， 20(8): 863-866.

[7]鄭權. 具有參數(shù)的不帶導數(shù)的平方收斂的迭代法[J]. 計算數(shù)學，2003， 25(1):107-112.

[8]鄭權. 斯蒂芬森-牛頓類迭代法的二階收斂性[J]. 吉林大學學報，2003，41(2): 134-139.

[9]Mehdi Dehghan， Masoud Hajarian. Some derivative free quadratic and cubic convergence iterative formulas for solving nonlinear equations[J].Appl Math and Comp， 2010， 29:19-30.

Third-order Convergent Iterative Method with

Parameter without Derivation

YUJing-jing，JIANGPing

(School of Mathematics， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China)

Abstract:According to the secant method and Steffensen iterative method， this paper puts forward two iterative methods with parameters for solving the approximate solution of nonlinear equations f(x)=0.The two algorithms are without derivative， and we know that the two methods are at least convergent to order three through the convergence analysis and proof. Their effectiveness is validated with numerical test.

Key words: Newton’s iterative method; secant method; Steffensen iterative method; nonlinear equation