環(huán)F2+uF2+…+ukF2上的Type Ⅱ碼

環(huán)F2+uF2+…+ukF2上的Type Ⅱ碼

王永1,2

(1.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009；2.安徽省肥西中學(xué)，合肥231200)

[摘要]給出一種構(gòu)造環(huán)F2+uF2+…+ukF2上任意偶數(shù)長(zhǎng)度的自正交和自對(duì)偶碼的方法.定義了環(huán)F2+uF2+…+ukF2的每個(gè)元素的Euclidean重量并且證明了環(huán)F2+uF2+…+ukF2上的自對(duì)偶碼是Euclidean重量為2k+2倍數(shù)的Type Ⅱ碼.

[關(guān)鍵詞]自對(duì)偶碼； 自正交碼； Euclidean重量； Type Ⅱ碼

[收稿日期]2014-03-11

[中圖分類(lèi)號(hào)]O157.4[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

1引言

多項(xiàng)式剩余類(lèi)環(huán)的結(jié)構(gòu)介于有限域和環(huán)之間，因其具有良好的性質(zhì)，其上的糾錯(cuò)碼理論研究也引起了編碼學(xué)者的關(guān)注.其上的碼被廣泛加以研究[1-5].自對(duì)偶碼是一類(lèi)非常重要的線性碼，許多最優(yōu)的線性碼都來(lái)源于自對(duì)偶碼.此外，自對(duì)偶碼具有豐富的數(shù)學(xué)性質(zhì)，可用于區(qū)組設(shè)計(jì)、模格構(gòu)造等.因此自對(duì)偶碼備受關(guān)注.近年來(lái)，多項(xiàng)式剩余類(lèi)環(huán)上的自對(duì)偶碼的研究也頗多.Bonnecaze等人在[6]中研究環(huán)F2+uF2上的循環(huán)碼及其對(duì)偶碼.

自對(duì)偶碼中有一類(lèi)碼稱(chēng)為T(mén)ype II碼，其具有很好的性質(zhì)，因此更是人們研究的重點(diǎn).文獻(xiàn)[7]研究了環(huán)F2+uF2上的Type II 碼，隨后Ling等人[8]將其推廣到環(huán)F4+uF4.Bestumiya等人[9]將其推廣到更為一般的環(huán)F2m+uF2m上.錢(qián)建發(fā)等人[10]將[7]的結(jié)論推廣到環(huán)F2+uF2+u2F2.最近，Cengellenmis[11]定義了環(huán)F2+uF2+…+umF2(m=2s)上的Type II碼，并研究了其Gray象的性質(zhì).

本文首先給出環(huán)F2+uF2+…+ukF2上任一偶長(zhǎng)的自正交和自對(duì)偶碼的構(gòu)造方法，然后通過(guò)定義環(huán)F2+uF2+…+ukF2中的每個(gè)元素的Euclidean重量證明了環(huán)F2+uF2+…+ukF2上自對(duì)偶碼是Euclidean重量為2k+2倍數(shù)的Type Ⅱ碼.

2基礎(chǔ)知識(shí)

設(shè)環(huán)

R=F2+uF2+…+ukF2，

其中uk+1=0.顯然

F2+uF2+…+ukF2=F2[u]/(uk+1).

環(huán)R是一個(gè)最大理想是(u)的有限鏈環(huán).任意的x∈R，x都可以唯一的表示為

x0+ux1+…+ukxk，

其中xi∈F2，i=0，…，k.

對(duì)于任意

x=(x0，x1，…，xn-1)，y=(y0，y1，…，yn-1)∈n，

定義它們的內(nèi)積為

x·y=x0y0+x1y1+…+xn-1yn-1.

如果兩個(gè)碼字x·y=0，稱(chēng)這兩個(gè)碼字正交.對(duì)R上一線性碼C，其對(duì)偶碼C⊥是與C中的所有碼字正交的所有向量的集合，即

顯然C⊥也是線性碼.如果C?C⊥，稱(chēng)碼C自正交.如果C=C⊥，稱(chēng)碼C自對(duì)偶.如果碼C可以通過(guò)置換它的坐標(biāo)得到另外一個(gè)碼C′，稱(chēng)這兩個(gè)碼置換等價(jià).

R上任一線性碼C都置換等價(jià)于如下矩陣所生成的碼

其中l(wèi)i，0≤i≤k是正整數(shù).Ai，j(0≤i≤k，1≤j≤k+1)是域F2上的矩陣.

定義R上線性碼C的維數(shù)，定義為

dimC=log|R||C|，

其中|R|=2k+1.

3環(huán)R上偶長(zhǎng)自對(duì)偶碼的構(gòu)造

由環(huán)R的特殊性知，在R中一定存在一個(gè)元素t使得t2=1，如12=1，(1+uk)2=1等等.這一事實(shí)將在下面構(gòu)造R上偶長(zhǎng)自對(duì)偶碼中用到.

引理3.1[12]在環(huán)F2+uF2+…+ukF2上，當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，環(huán)F2+uF2+…+ukF2上一定存在自對(duì)偶碼；當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，環(huán)F2+uF2+…+ukF2上存在自對(duì)偶碼當(dāng)且僅當(dāng)碼長(zhǎng)n是偶數(shù).

由上述引理知，不論k取何值，環(huán)R上一定存在偶長(zhǎng)的自對(duì)偶碼.下面給出環(huán)R上任一偶長(zhǎng)的自對(duì)偶碼的統(tǒng)一構(gòu)造.

定理3.2設(shè)G0=(ri)是環(huán)R上長(zhǎng)度為偶數(shù)n的自正交碼C0的生成矩陣(不需要標(biāo)準(zhǔn)型)，其中ri是G0的行向量，1≤i≤r.設(shè)X=(x1，…，xn)∈Rn且在R中X·X=1.假設(shè)yi=X·(ri)，1≤i≤r，則由

生成的碼是R上長(zhǎng)度為n+2的自正交碼.

證只需證G的任兩行是相互正交的.

(i) 第一行顯然是自正交的，因?yàn)樵赗里X·X=1，即X·X+1=0.

(ii) G的第一行正交于G的任(i+1)行，1≤i≤r-1.因?yàn)?/p>

(1，0，x1，…xn)·(yi，yi，(ri))=yi+(xi，…xn)·(ri)，

再根據(jù)假設(shè)yi+(xi，…xn)·(ri)=0.

(iii) G的任(i+1)行正交于G的任(j+1)行，1≤i，j≤r-1.因?yàn)樵赗里

yiyj+yiyj+(ri)·(rj)=0.

推論3.3設(shè)G0=(ri)是環(huán)R上長(zhǎng)度為偶數(shù)n的自正交碼C0的生成矩陣(不需要標(biāo)準(zhǔn)型)，其中ri是G0的行向量，1≤i≤r.設(shè)X=(x1，…，xn)∈n且在R里X·X=1.假設(shè)yi=X·(ri)，1≤i≤r，那么由

生成的碼是R上長(zhǎng)度為n+2的自正交碼.

是一整數(shù).

定理3.6設(shè)G0=(ri)是環(huán)R上長(zhǎng)度為偶數(shù)n的自對(duì)偶碼C0的生成矩陣(不需要標(biāo)準(zhǔn)型)，其中ri是G0的行向量，1≤i≤r. 設(shè)X=(x1，…，xn)∈Rn且在R里X·X=1.假設(shè)yi=X·(ri)，1≤i≤r，那么由

生成的碼是R上長(zhǎng)度為n+2的自對(duì)偶碼C.

例3.1當(dāng)k=2時(shí)，設(shè)

在環(huán)F2+uF2+u2F2上，由G0生成的碼是長(zhǎng)度為2的自對(duì)偶碼.那么根據(jù)定理2.6，可以構(gòu)造

生成長(zhǎng)度為4的自對(duì)偶碼.以此類(lèi)推可以構(gòu)造環(huán)F2+uF2+u2F2上任意偶長(zhǎng)的自對(duì)偶碼.

4環(huán)F2+uF2+…+ukF2上的TypeⅡ碼

定義環(huán)F2+uF2+…+ukF2中的每個(gè)元素的Euclidean重量：0；1和1+u+…+uk-1+uk；u和u+u2+u3+…+uk；…；1+u+…+uk-1和1+uk；uk分別為0，12，22，…，(2k-1)2，(2k)2.一般地，對(duì)于任意x∈R，

x=x0+ux1+…+ukxk，

其中xi∈{0，1}，i=0，…，k，定義x的Euclidean重量為

環(huán)(F2+uF2+…+ukF2)n上每個(gè)碼字c的Euclidean重量記為WE(c)等于c的每個(gè)分量的Euclidean重量的和.定義環(huán)F2+uF2+…+ukF2上的TypeⅡ碼為環(huán)F2+uF2+…+ukF2上所有碼字的Euclidean重量是2k+2倍數(shù)的自對(duì)偶碼.特別地，當(dāng)k=0時(shí)，其為標(biāo)準(zhǔn)TypeⅡ碼定義.

Φ∶(F2+uF2+…+uk+1F2)n→(F2+uF2+…+ukF2)n，

Φ(c1，c2，…，cn)=(c1(moduk+1)，c2(moduk+1)，…，cn(moduk+1)).

對(duì)(F2+uF2+…+uk+1F2)n上任一長(zhǎng)為n的碼C，記其在該映射下的象為Φ(C).

引理4.1環(huán)F2+uF2+…+uk+1F2上任一自正交碼C的象的Euclidean重量是是2k+2倍數(shù).

證設(shè)c=(x0，x1，…，xn-1)∈C，對(duì)于任意的xi∈F2+…+uk+1F2，xi均可以唯一地表示為xi，0+uxi，1+…+uk+1xi，k+1.即

xi=xi，0+uxi，1+…+uk+1xi，k+1

其中0≤xi，j≤1，0≤i≤n-1，0≤j≤k+1.由于c是自正交的.即

xi·xi=(xi，0+uxi，1+…+uk+1xi，k+1)2=0.

故當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，WE(Φ(x))是2k+3的倍數(shù)，當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，WE(Φ(x))是2k+2的倍數(shù).

引理4.2設(shè)C是F2+uF2+…+uk+1F2上任一自正交碼，則Φ(C⊥)?Φ(C)⊥.

證設(shè)v∈C⊥，則對(duì)任意的w∈C，都有v·w=0.所以，Φ(v)·Φ(w)=0.由v和w的任意性，可得Φ(C⊥)?Φ(C)⊥.

由引理3.1和3.2直接得到下面的結(jié)論.

定理4.3C是F2+uF2+…+uk+1F2上任一自正交碼，那么Φ(C)是F2+uF2+…+ukF2上的自正交碼并且其所有碼字的Euclidean重量是是2k+2倍數(shù).

定理4.4設(shè)C是F2+uF2+…+uk+1F2任一長(zhǎng)為n的線性碼且型為{l0，l1，…，lk+1}，則Φ(C)是F2+uF2+…+ukF2上長(zhǎng)為n的線性碼且型為{l0，l1，…，lk}.

證知C的任一碼字是其生成矩陣的行向量的線性組合，則Φ(C)的任一碼字是由C的生成矩陣的行向量的線性組合模去uk+1而得到.從而Φ(C)的生成矩陣是

則Φ(C)是F2+uF2+…+ukF2上的TypeⅡ碼.

因此Φ(C)是自對(duì)偶的.由引理3.1，Φ(C)是TypeⅡ碼.

[參考文獻(xiàn)]

[1]Qian J， Zhang L， Zhu S. (1+u)-constacyclic and cyclic codes over F2+uF2[J]. Appl. Math. Lett.， 2006， 19: 820-823.

[2]Abualrub T， Siap I. Constayclic codes over F2+uF2[J]. J. Franklin. Inst.， 2009， 346: 520-529.

[4]Dinh H Q. Constacyclic codes of length 2sover Galois extension rings of F2+uF2[J]. IEEE Trans. Inform. Theory， 2009， 55(4): 1730-1740.

[5]Dinh H Q. Constacyclic codes of length psover Fpm+uFpm[J]. J. Algebra， 2010， 324: 940-950.

[6]Bonnecaze A， Udaya P. Cyclic codes and self-dual codes over F2+uF2[J]. IEEE Trans. Inform. Theory， 1999， 45 (4): 1250-1255.

[7]Dougherty S T， Gaborit P， Harada SoléP M. Type II codes over F2+uF2[J]. IEEE Trans. Inform. Theory， 1999， 45 (1): 32-45.

[8]Ling S， SoléP. Type II codes over F4+uF4， Europ[J]. J. Combinatorics， 2001， 22: 983-997.

[9]Bestumiya K， Ling S， Nememmzo F R. Type II codes over F2m+uF2m[J]. Discrete Mathematics， 2004， 275: 43-65.

[10]Qian J， Zhang L， Yin Z. Type II codes over F2+uF2+u2F2[J]. Processing of IEEE Information Theory Workshop， 2006:21-23.

[11]Cengellenmis Y. Type II codes over F2+uF2+u2F2+u3F2+…+umF2.Int. [J]. J. Contemp. Math. Science， 2010， 5(12): 595-602.

[12]湯道安，朱士信，唐永生. F2+uF2+…+ukF2上的自對(duì)偶碼[J]. 合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)， 2010，33(3)： 478-480.

Type Ⅱ Codes Over F2+uF2+…+ukF2

WANGYong1,2

(1.School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China;

2. Feixi Middle School in Anhui Province, Hefei 231200)

Abstract:A method of constructing self-orthogonal and self-dual codes of any even length over F2+uF2+…+ukF2 is given in this paper. Euclidean weight of each element in F2+uF2+…+ukF2 is defined and self-dual codes over F2+uF2+…+ukF2 are proved to be Type II codes with Euclidean weights a multiple of 2k+2.

Key words: self-dual codes; self-orthogonal codes; euclidean weight; type Ⅱ codes