超幾何分布的數(shù)字特征和概率計算的探討

超幾何分布的數(shù)字特征和概率計算的探討

李玉萍1，劉心馨2

(1.鄭州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，鄭州450044;2.華中師范大學(xué)計算機(jī)學(xué)院，武漢430079)

[摘要]用定義法、性質(zhì)法、概率母函數(shù)法三種方法探索了超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差的求法，同時又給出了超幾何分布、二項分布、泊松分布和正態(tài)分布之間的近似關(guān)系，從而解決了超幾何分布的概率計算問題.

[關(guān)鍵詞]期望； 方差； 概率母函數(shù)； 二項分布； 泊松分布

[收稿日期]2015-01-09;[修改日期]2015-05-11

[基金項目]河南省科技廳軟科學(xué)計劃項目 (132400410697)

[中圖分類號]O212[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

超幾何分布是產(chǎn)品計數(shù)抽樣檢驗、可靠性問題中常常遇到的一類重要的數(shù)理統(tǒng)計模型.然而國內(nèi)概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材中，有的教材給出相關(guān)例題，沒有提到超幾何分布的名稱，有的教材只是簡單地給出它的定義以及與二項分布的區(qū)別.很少有教材涉及到這種分布的數(shù)字特征問題，因此本文對超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差來做進(jìn)一步的探討和研究，進(jìn)一步地為了解決超幾何分布的概率計算問題，探索了超幾何分布、二項分布、泊松分布和正態(tài)分布之間的近似關(guān)系.下面給出超幾何分布的定義

定義設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為

其中d=max(0，n+M-N)，r=min(n，M)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，N，M的超幾何分布，

記為

X~h(n，N，M).

1超幾何分布的數(shù)字特征

1.定義法求期望與方差

(i)

(ii)由于

所以

2.性質(zhì)法求期望和方差

對于超幾何分布，構(gòu)造一個抽產(chǎn)品模型：設(shè)N件產(chǎn)品中有M件次品，從中任取n件進(jìn)行檢查，求查得的次品數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差.

(i) 設(shè)

(1)

則

Xi01PN-MNMN

則

故

注① 隨機(jī)變量和的期望等于期望的和，這里并不要求和中的隨機(jī)變量相互獨立；

② X的分布為

所以X的期望為

由上面的計算得

③ 若X表示n次有放回地抽取所得次品數(shù)，則

(ii)

(2)

(3)

從而對1≤k≤j≤n有

(4)

因此，Xk與Xj的協(xié)方差為

(5)

由(3)，(5)可以得到服從超幾何分布的隨機(jī)變量X的方差為

(6)

2概率母函數(shù)法求期望和方差

先引入母函數(shù)的定義和性質(zhì)

定義設(shè)X是概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上定義的N上取值的隨機(jī)變量，N={0，1，2，…}，則稱E(tX)為隨機(jī)變量X的概率母函數(shù)，記為

性質(zhì) φ′X(1)=E(X)，φ″X(1)=E[X(X-1)]，Var(X)=φ″X(1)+φ′X(1)-[φ′X(1)]2.

若把超幾何分布的概率母函數(shù)記為φ(M，N-M，n，t)，則

在這里，記(M)[i]=M(M-1)…(M-i+1)，φ(M，N-M，n，t)對t求導(dǎo)數(shù)得

運用概率母函數(shù)的性質(zhì)得

(7)

(ii)DX =E(X2)-[E(X)]2=φ″(N，M，n，1)+φ′(N，M，n，1)-[φ′(N，M，n，1)]2

(8)

3超幾何分布的概率計算問題

對于超幾何分布，當(dāng)抽取的個數(shù)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于產(chǎn)品總數(shù)N時，每次抽取后，其次品的概率變化很小，即不放回與放回抽樣差別不大.于是，n固定，N無限增大，有下面的結(jié)論：

定理1

(9)

(10)

當(dāng)n充分大，p足夠小，np的大小適中，二項分布的計算的有關(guān)問題可用泊松分布近似計算.

定理3設(shè)在獨立實驗序列中，事件A在各次試驗中發(fā)生的概率為p (0

(11)

其中x為任意實數(shù)，p+q=1.

當(dāng)n充分大時，服從二項分布的隨機(jī)變量ηn近似地服從正態(tài)分布N(np，npq).

綜上，在超幾何分布的概率計算問題中，由式(9)知只要N≥10n，就可用二項分布近似計算.而二項分布的概率計算問題中，當(dāng)n充分大時的計算也相當(dāng)復(fù)雜.由式(10)知，當(dāng)N≥10，p≤0.1，就可用泊松分布近似計算；當(dāng)n→∞時，就可用正態(tài)分布來近似計算.至此有了三種分布的近似關(guān)系，超幾何分布的概率計算問題就得到了很好的解決.

[參考文獻(xiàn)]

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Explore the Digital Characteristic and Hypergeometric

Distribution Probability Calculation

LIYu-ping1，LIUXin-xin2

(1.School of Mathematics and Statistics，Zhengzhou Normal University， Zhengzhou 450044，China;

2. College of Computer Sciece and Technology， Central China Normal University ，Wuhan 430079， China)

Abstract:Expectation and variance of the hypergeometric distribution is explored by using the definition， the nature and generating function method， and the approximate relationship between the hypergeometric distribution， geometric distribution， Poisson and normal distribution is obtained， which solve the hypergeometric distribution probability calculation.

Key words: expectation; variance; Poisson distribution; binomial distribution; probability generating function