職高學(xué)生數(shù)學(xué)運算錯誤的分析探究

□浙江省寧波市東錢湖旅游學(xué)校 周紅

職高學(xué)生數(shù)學(xué)運算錯誤的分析探究

□浙江省寧波市東錢湖旅游學(xué)校 周紅

數(shù)學(xué)運算錯誤無所不在，形態(tài)各異。文章從正確選用公式、有效利用條件、整體把握思路、嚴(yán)謹(jǐn)運用概念、瞄準(zhǔn)求解目標(biāo)、學(xué)會驗算技巧等六方面對職高學(xué)生數(shù)學(xué)運算錯誤作了詳細(xì)分析指導(dǎo)；系統(tǒng)地分析錯誤，合理歸類，逐個擊破，希望學(xué)生從有意識地少犯錯誤，到自動化地修正錯誤，多體驗成功的喜悅，從而達(dá)到樂學(xué)會學(xué)的成效。

職高數(shù)學(xué) 運算 錯誤 分析 解決

在近些年的高三數(shù)學(xué)教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力越來越差；有幸會做，也要不幸算錯。表象似乎是中考使用計算器帶來的數(shù)據(jù)處理技能低下，但究其原因，我發(fā)現(xiàn)還有許多深層影響因素。

運算能力是包括分析運算條件、研究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調(diào)整運算的能力，以及實施運算和計算的技能。可見，運算除了是對數(shù)據(jù)、公式的求解，還有對數(shù)據(jù)的處理分析，以及對運算方法和程序的正確選擇。分析數(shù)學(xué)運算錯誤的原因勢必成為提高數(shù)學(xué)運算能力的必要途徑。

一、未能正確選用運算法則和計算公式

數(shù)學(xué)運算要求正確使用各種運算法則，包括不等式、集合、函數(shù)、向量、方冪、指數(shù)、對數(shù)、三角、數(shù)列、排列組合二項式等各個方面的運算法則和計算公式。此外還有幾何內(nèi)容的各種計算公式。學(xué)生對這些法則和公式的使用常有誤用和錯用的情況發(fā)生。

錯因分析：k1k2=-1的確是判斷兩直線是否垂直的條件之一，但這個條件的前提是兩直線的斜率必須存在。本題中這個前提條件不一定成立，故選用k1k2=-1求m導(dǎo)致漏根。基于此分析，正確選用直線方程一般式判斷垂直的條件：A1A2+B1B2=0。

二、對已知條件不會有效利用，缺乏各種簡化計算的技能

【例2】等差數(shù)列｛an｝，a1=500，公差d=-30，求Sn的最大值。

解題分析：一元二次函數(shù)配方求最值往往是學(xué)生解此題的定向思維，但這種機(jī)械方法在此題中顯得運算復(fù)雜：配方引起數(shù)據(jù)龐大，容易引起運算錯誤，結(jié)論的導(dǎo)出危機(jī)重重（除卻計算難度，n∈N*也是學(xué)生常漏的隱形條件，而n=17還是n=18時Sn有最大值也是學(xué)生易糾結(jié)弄錯的關(guān)鍵點）。

另辟蹊徑的解題分析：整體把握該數(shù)列特點：a1=500，公差d=-30，首項為正的遞減數(shù)列，求前n和的最大值即求所有正數(shù)項之和。

簡解：an=500+(n-1)×（-30）=530-30n，

三、列式混亂，欠缺條理，解題思路不清

【例3】：已知△ABC三個頂點A(5，1)，B(-1，2)，C(1，-3)，求△ABC的外接圓方程。

解：設(shè)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

分析：以上解法是高三升大班一位數(shù)學(xué)程度中上的學(xué)生板演過程，很遺憾，盡管她很努力地去創(chuàng)建二元一次方程組，但過程中一次“小小的漏乘”，最終使她功虧一簣，遠(yuǎn)離了正確答案，正所謂“失之毫厘，差之千里”。與這位程度中上學(xué)生相似，在一次模擬考中全班竟有一半學(xué)生在列出三元方程組后無從下手，放棄解答。全班46個學(xué)生最終得出正確答案的竟只有3位！

除了計算能力薄弱之外，最重要原因是學(xué)生解方程組缺乏層次性和條理性，導(dǎo)致列式凌亂，交代不清，將算式胡亂迭代穿插，頻頻失誤，導(dǎo)致半途而廢。一般說來，當(dāng)未知元較多、方程個數(shù)較多時，宜對式子加以編號，對式子變形或變換前，先作整體統(tǒng)籌規(guī)劃，明確解答過程中各式的因果關(guān)系，切忌迷失方向，瞎撞亂碰。

思路分析：第一步：用加減消元法消去F（因為三個方程中F的系數(shù)均為1，消F要比學(xué)生板演時消D簡單得多，這是對三個方程先作整體思考而得出的正確判斷，學(xué)生之所以沒想到，不是因為想不到，而是有拿來就做的壞習(xí)慣，給自己一分鐘的思考時間條理就會清楚許多；二式相減時，注意同類項配對相減，可簡化計算，減少錯誤的發(fā)生率）；第二步：解關(guān)于D,E的二元一次方程組，則水到渠成。

四、推理說明欠周全，甚至邏輯混亂

【例4】bn=32n，求數(shù)列｛bn｝的前n項和。

學(xué)生解答：b1=9，b2=81，b3=729，｛bn｝是等比數(shù)列，q=9，

分析：答案雖然是對的，但縱視解答過程，通過前三項就說明｛bn｝由特殊推出一般結(jié)論，犯了說理不足、邏輯推理不嚴(yán)密的問題。

∴｛bn｝是等比數(shù)列，q=9，b1=32=9，

五、審題欠慎，概念模糊，弄錯解答目標(biāo)

【例5】某班要從五名運動員中選四名參加4×100米接力跑，其中甲必須跑第一棒，乙不能跑第四棒，問共有多少種不同排法種數(shù)。

錯誤分析：學(xué)生的解法思路很簡單，按限制對象分二步：第一步先排乙，有2種排法；第二步從剩余3人中任選2人排另二個位置，有種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有=12種排法。

如此分析卻與題意相違：乙不跑第四棒代表他一定被選中？題意是乙可以被選中也可以落選，但如果選中必不跑第四棒，顯然審題出錯，解答錯誤也無可避免。

正解：按限制位置分二步：第一步先排第四棒，有3種排法；第二步排第二和第三棒，有種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理，有=18種排法。

六、變形或運算失誤，欠缺估算和驗算的技能，不能及時修正錯誤

【例6】已知數(shù)列｛an｝前n項和Sn=n2+2n+5，求an。

錯解：n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+2n+5-（n-1）2+2(n-1)+5=6n+7，n=1時，a1=13與S1=8不符，

分析：顯然，在二式相減時因缺乏整體思想，學(xué)生漏寫了括號，導(dǎo)致結(jié)論錯誤。但是學(xué)生如果只需簡單驗算：a2=S2-S1=13-8=5與a2=6×2+7=19不符，就能察覺錯誤，及時修正。

在數(shù)學(xué)運算中，犯錯誤的機(jī)會很多，需要學(xué)生的細(xì)心，更需要用心。為了盡可能地避免和防止犯錯，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算能力，教師需要明確：掌握算理是培養(yǎng)運算能力的基礎(chǔ)；重視口算是培養(yǎng)運算能力的關(guān)鍵；有效練習(xí)是培養(yǎng)運算能力的手段；養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣更是培養(yǎng)運算能力的途徑。運算能力的提高也將帶來思維的創(chuàng)造性和應(yīng)用性，在數(shù)學(xué)運算能力的提高中將逐漸系統(tǒng)地養(yǎng)成從事腦力勞動的習(xí)慣——計劃自己的工作，尋找完成工作的合理途徑，對結(jié)果進(jìn)行批判評價。這也是提高數(shù)學(xué)運算能力的終極目標(biāo)。