窺一木而見森林
——以“平面圖形的面積”復習例談思維導圖的運用

□深圳市寶安區(qū)西鄉(xiāng)街道共樂小學 溫展鉅

窺一木而見森林
——以“平面圖形的面積”復習例談思維導圖的運用

□深圳市寶安區(qū)西鄉(xiāng)街道共樂小學 溫展鉅

復習課承載著回顧與整理、溝通與生長的獨特功能。“一問一答+鞏固練習”的炒冷飯模式，雖能“溫故”卻很難“知新”。怎樣才能讓學生在復習課中既“溫故”又“知新”呢？下面我以“平面圖形的面積”為例，與大家分享利用思維導圖引導學生進行自主探索的一些嘗試。

課前我先讓學生按要求畫出平面圖形面積相關知識的思維導圖。（要求：請你嘗試整理已學過的平面圖形面積的相關知識，你能從中發(fā)現它們之間的聯(lián)系嗎？把你的發(fā)現用思維導圖的形式呈現出來吧?。?/p>

一、迅速再現，做好重建準備

【課堂實錄】

師：我們這節(jié)課一起復習平面圖形的面積，首先我們來回顧一下什么是圖形的面積？怎樣計算圖形的面積？

生1：物體表面或封閉圖形的大小叫做它們的面積。

生2：S長方形＝長×寬。

生3：S正方形＝邊長×邊長。

……

生7：S圓＝πr2。

師：還有補充嗎？

生8：如果知道圓的直徑或周長，也可以先求出圓的半徑，再求出圓的面積。

師：關鍵要知道圓的半徑。

讓學生迅速回顧平面圖形的面積公式及相關概念，不僅照顧到了全體學生，還為后續(xù)的討論奠定了基礎。但這種簡單的識記性知識的回顧并不是本節(jié)課的重點，溝通與發(fā)展才是復習課的主旨。

二、充分商議，搭建基礎框架

師：我們剛剛回顧了平面圖形的面積計算公式，請根據你繪制的思維導圖在小組內進行討論——平面圖形的面積之間有什么聯(lián)系？

學生小組討論（10分鐘）。

每個學生心中對平面圖形的面積都有自己的理解方式，通過充分的交流、碰撞，甚至辯駁，學生的思維可以越辯越明，知識框架越發(fā)清晰。

師：接下來請準備好的小組上臺與大家分享你的發(fā)現。

小組1：（1）S長方形＝長×寬，把平行四邊形剪拼成一個長方形；剪拼后，平行四邊形的底相當于長方形的長，高相當于長方形的寬，推出：S平行四邊形＝底×高。（2）正方形是特殊的長方形，它的長和寬相等，所以S正方形＝邊長×邊長。（3）將兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形，此時，三角形的面積等于拼成后的平行四邊形面積的一半，所以S三角形＝底×高÷2。（4）兩個完全相同的梯形可以拼成一個平行四邊形，拼成的平行四邊形的底等于梯形的（上底+下底），平行四邊形的高等于梯形的高，我們可以推出S梯形＝（上底+下底）×高÷2。（5）把圓沿著半徑平均分成若干份，可以拼成一個近似的長方形，長方形的長相當于圓周長的一半，長方形的寬相當于圓的半徑，可以推導出S圓＝πr2。

從長方形的面積推導出平行四邊形的面積公式，再推導出其他圖形面積公式，這條路徑與我們在新課學習時是相同的。所以，這個推導過程也是絕大多數學生都能掌握的，也是這節(jié)課中學生要達到的基本要求。

三、張揚個性，突顯不同風格

在“平面圖形的面積”復習中，平面圖形的面積公式本身對于學生來說都屬于舊知。那么各圖形之間的轉化、推導方向就不一定是那么單一了，每一個圖形都可能成為思維的起點。

師：剛才這一組同學以長方形的面積公式為起點，推導出其他圖形的面積。不僅與我們分享了各圖形的面積之間的聯(lián)系，還理清了圖形內部各知識點的聯(lián)系。掌聲送給他們！還有不一樣的發(fā)現嗎？

小組2：我們是從平行四邊形開始的，S平行四邊形＝ah。長方形和正方形都是特殊的平行四邊形，長方形的長相當于平行四邊形的底，長方形的寬相當于平行四邊形的高，所以S長方形＝ab。同樣的道理，S正方形＝a·a。

小組3：我們組覺得平行四邊形、長方形、正方形都可以當作是上底和下底相等的梯形，三角形就是上底為0的梯形。根據S梯形＝（a+a）×h÷2，可以推出：S平行四邊形＝（a+a）× h÷2＝ah；S長方形＝（a+a）×b÷2＝ab；S正方形＝（a+a）×a÷2＝a2；S三角形＝（0+a）×h÷2＝ah÷2。

師：這一組同學竟然用假設的眼光把平行四邊形、長方形、正方形、三角形都當成“從梯形”，從而根據梯形推導出面積公式。

利用圖形之間的包含關系，把長方形和正方形的面積公式歸結為平行四邊形的面積公式，第三小組更把這種思維推向極致，把長方形、三角形等都納入到梯形的范圍。既溝通了它們之間的聯(lián)系，又節(jié)約了“記憶的成本”。

小組4：我們小組發(fā)現了三角形與圓之間的聯(lián)系。我們可以把圓沿半徑平均切成若干份，每份切得越小，就越接近三角形，把這些三角形擺在一起，就成了許多等高的三角形。三角形的底的和就相當于圓的周長，三角形的高就相當于圓的半徑，圓的面積等于三角形的面積之和：2πr·r÷2＝πr2。

師：你的發(fā)現真了不起！如果沿半徑分成很多份，但不平均分，還能得到這樣的結果嗎？大家可以在課后再研究一下，相信會有更精彩的發(fā)現。

在學生對圓面積的推導過程中，“把圓平均分成若干份，可以拼成一個平行四邊形，分的份數越多，所拼成的圖形就越接近平行四邊形”。學生正是受到它的啟發(fā)，也嘗試著用極限的思想進行大膽嘗試。雖然只有少數學生能做到，但這也足以讓老師和同學們?yōu)橹潎@與興奮。

四、分享感悟，滲透數學思想

師：通過剛才的分享，大家有哪些收獲？

生1：我們發(fā)現每個圖形的面積之間都相互聯(lián)系。

生2：假如我們忘記了某一平面圖形的面積公式，我們可以根據其他圖形的面積公式進行推導。

師：是啊，同學們通過思考，發(fā)現從一個圖形推出其他圖形的面積公式，這其中都蘊含著一種很重要的數學思想——轉化。在圖形轉化的過程中，抓住了“變”與“不變”兩個關鍵。你發(fā)現了嗎？

生3：圖形的形狀變了，而面積不變。

師：抓住面積不變的本質，我們可以把陌生圖形轉化成我們熟悉的圖形，從而推導出新圖形的面積計算公式。立體圖形的體積之間又有怎樣的聯(lián)系呢？請同學們在課后試著也像今天這樣整理出它們之間的聯(lián)系，再與大家進行分享。

復習課，并不一定都要出現很多練習題，甚至搞題海戰(zhàn)術。雖然在這40分鐘內，我們連預設的綜合練習都沒來得及完成，但在這節(jié)課中，學生之間的交流與碰撞、領略與感悟卻頻頻閃耀出美麗、璀璨的思維之花。在復習課中，學生能通過深入一個圖形而發(fā)散至整個網絡，窺一木而見森林，這又有什么可遺憾的呢？