“越是簡(jiǎn)單的往往越是本質(zhì)的”
——“因數(shù)與倍數(shù)”概念教學(xué)的幾點(diǎn)思考

□江蘇省蘇州市相城經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)澄陽(yáng)小學(xué) 周明

“越是簡(jiǎn)單的往往越是本質(zhì)的”
——“因數(shù)與倍數(shù)”概念教學(xué)的幾點(diǎn)思考

□江蘇省蘇州市相城經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)澄陽(yáng)小學(xué) 周明

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。概念教學(xué)在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中起著舉足輕重的作用，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中重要的一部分。蘇教版（國(guó)標(biāo)本）教材根據(jù)兒童的生活經(jīng)驗(yàn)及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在五下第三單元集中呈現(xiàn)了因數(shù)、倍數(shù)、公因數(shù)、公倍數(shù)等一些概念。筆者認(rèn)為在形成概念的教學(xué)過(guò)程中，首先要根據(jù)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和學(xué)生的認(rèn)知水平，在學(xué)生豐富了感性認(rèn)識(shí)后，順?biāo)浦鄣亟沂靖拍?，化繁為?jiǎn)，水到渠成。

一、充分直觀感受，理解“依存”意義

【教學(xué)片段1】初步認(rèn)識(shí)因數(shù)和倍數(shù)。

師：（課件出示）用12個(gè)同樣大的小正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，想想，有幾種拼法？把拼出來(lái)的情況用一個(gè)算式表示出來(lái)。（生獨(dú)立完成）

交流得出：4×3=12，2×6=12，1×12=12。

師：根據(jù)4×3=12，聯(lián)系我們以前學(xué)過(guò)的知識(shí)，你想到了什么呢？

生1：我想到了12÷3=4、12÷4=3。

生2：12是3的4倍，12是4的3倍。

追問(wèn)：既然這樣，我們可以認(rèn)為12是3的什么數(shù)？12是4的什么數(shù)？

很自然地得出：12是3的倍數(shù)，12也是3的倍數(shù)。

師：反過(guò)來(lái)，4和3是12的什么數(shù)？

指出：4和3都是12的因數(shù)。

練習(xí)1：在2×6=12的算式中，你能說(shuō)說(shuō)2、6、12之間的關(guān)系嗎？

練習(xí)2：判斷對(duì)錯(cuò)——3×5=15的算式中，3是因數(shù)，15是倍數(shù)。

強(qiáng)調(diào)：倍數(shù)和因數(shù)的相互依存性，誰(shuí)也離不開(kāi)誰(shuí)。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)，是一種基于數(shù)學(xué)活動(dòng)的發(fā)現(xiàn)層面的教學(xué)，教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)造充分地從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)。如以上例子，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生“拼擺長(zhǎng)方形”的操作活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)識(shí)、體驗(yàn)和理解的過(guò)程。這一過(guò)程是學(xué)生自主操作、積極思考的過(guò)程，學(xué)生只有經(jīng)歷了這一系列復(fù)雜、有意義的思維活動(dòng)，才能使枯燥、抽象的“因數(shù)”、“倍數(shù)”的概念牢牢根植于頭腦中。同時(shí)，教學(xué)中倍數(shù)、因數(shù)的引入了無(wú)痕跡，極其自然：由“倍”的概念深入到“倍數(shù)”的概念，乘數(shù)就是相應(yīng)積的因數(shù)。學(xué)生在教師積極構(gòu)建的教學(xué)過(guò)程中，就已經(jīng)利用原有的概念主動(dòng)地“吸納”新概念，將所學(xué)知識(shí)融為一體。

二、突出內(nèi)涵、外延，扎實(shí)構(gòu)建新知

概念的內(nèi)涵是指這個(gè)概念所反映的一切對(duì)象的共同本質(zhì)屬性。公倍數(shù)是幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，公因數(shù)是幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，可見(jiàn)“幾個(gè)數(shù)公有的”是公倍數(shù)和公因數(shù)這兩個(gè)概念的本質(zhì)屬性。小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念，由于受學(xué)生年齡、知識(shí)、認(rèn)知水平等因素的制約，缺乏完整性，即缺乏完整的內(nèi)涵和外延。教學(xué)時(shí)，應(yīng)借助各種教學(xué)手段，不斷充實(shí)內(nèi)涵，擴(kuò)展外延，滲透數(shù)學(xué)思想方法，真正揭示概念的本質(zhì)屬性。

【教學(xué)片段2】認(rèn)識(shí)公因數(shù)。

1.出示例9。

2.哪種紙片能正好鋪滿(mǎn)這個(gè)長(zhǎng)方形呢？

3.匯報(bào)交流。追問(wèn)：為什么邊長(zhǎng)6厘米的正方形正好鋪滿(mǎn)這個(gè)長(zhǎng)方形呢？

4.討論：還有哪些邊長(zhǎng)是整厘米數(shù)的正方形紙片也能正好鋪滿(mǎn)這個(gè)長(zhǎng)方形？指出：只要正方形的邊長(zhǎng)既是12的因數(shù)，又是18的因數(shù)，就能鋪滿(mǎn)。

5.既是12的因數(shù)又是18的因數(shù)的數(shù)有哪幾個(gè)？（1、2、3、6）

6.揭示概念。（板書(shū)：公因數(shù)）

這樣的活動(dòng)安排，不僅有利于吸引學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程，而且有利于幫助他們感受不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，不斷改善學(xué)習(xí)方式。

三、運(yùn)用練習(xí)深化數(shù)學(xué)概念，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

本單元只教學(xué)兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)、最小公倍數(shù)和兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)、最大公因數(shù)。因?yàn)檫@些是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在約分和通分時(shí)應(yīng)用最多。只要這些基礎(chǔ)知識(shí)掌握得扎實(shí)，即使遇到三個(gè)分?jǐn)?shù)的通分，學(xué)生也能靈活處理。而要使概念內(nèi)化于學(xué)生頭腦中，就要有目的明確的練習(xí)。因此在設(shè)置練習(xí)時(shí)，一定要有針對(duì)性，做到有的放矢，使練習(xí)真正有助于學(xué)生理解新學(xué)的概念，有利于發(fā)展學(xué)生的思維。為此，我設(shè)置了如下教學(xué)片段。

【教學(xué)片段3】公倍數(shù)和公因數(shù)的對(duì)比式練習(xí)。

回顧：一個(gè)數(shù)的因數(shù)（倍數(shù)）的個(gè)數(shù)是有限（無(wú)限）的，那么兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)（公倍數(shù)）的個(gè)數(shù)是怎樣的呢？有沒(méi)有最小公因數(shù)（公倍數(shù)）？有沒(méi)有最大公因數(shù)（公倍數(shù)）？

練習(xí)1：請(qǐng)完成下面兩個(gè)表格，并說(shuō)說(shuō)你有什么發(fā)現(xiàn)？

發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。

發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：當(dāng)兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)。

數(shù)學(xué)中的有些概念沒(méi)給出定義，是通過(guò)描述或舉例說(shuō)明的方法給出的，如這里的練習(xí)1就是如此。所以在形成概念的教學(xué)過(guò)程中，需要把所學(xué)概念準(zhǔn)確、精煉、及時(shí)地概括出來(lái)，使其條理化，便于學(xué)生記憶。在讓學(xué)生概括所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律時(shí)，我先讓學(xué)生動(dòng)腦總結(jié)，學(xué)生總結(jié)準(zhǔn)確的我給予肯定、表?yè)P(yáng)，不準(zhǔn)確的我及時(shí)糾正，予以鼓勵(lì)。即使再枯燥的概念只要通過(guò)學(xué)生自己“加工”，也會(huì)變得別有一番滋味。片段3就是為了幫助學(xué)生分清容易混淆的概念而設(shè)計(jì)的對(duì)比練習(xí)，在此我運(yùn)用了概念教學(xué)中的比較發(fā)現(xiàn)法，這是一種讓學(xué)生自主探索的好方法。比較發(fā)現(xiàn)法可以使學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)間的異同和關(guān)系，防止知識(shí)間的割裂與混淆，使學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)概念。

總之，如果教師用心去尋找課堂教學(xué)中的資源和契機(jī)，概念教學(xué)就不會(huì)再單一、枯燥。只要教師富有智慧，概念的本質(zhì)往往就會(huì)在簡(jiǎn)單明了的教學(xué)中“誕生”，也就不會(huì)出現(xiàn)教學(xué)概念時(shí)的冗繁、乏味。