數(shù)形結(jié)合明結(jié)構(gòu)，以退為進獲思路
——2015年廣東廣州中考卷第25題解析與反思

☉江蘇省連云港市花果山中學(xué) 劉文燕

數(shù)形結(jié)合明結(jié)構(gòu)，以退為進獲思路
——2015年廣東廣州中考卷第25題解析與反思

☉江蘇省連云港市花果山中學(xué) 劉文燕

函數(shù)是中考考查的重點內(nèi)容，函數(shù)考題也是考查數(shù)形結(jié)合的重要知識背景，各地考卷中也充分挖掘函數(shù)在數(shù)形結(jié)合上的考查功能，本文關(guān)注2015年廣東廣州卷第25題，從數(shù)形結(jié)合的角度講解思路，并反思此類問題的教學(xué)思考，與同行研討.

一、考題展示及思路突破

考題（2015年廣東廣州中考卷第25題）已知O為坐標(biāo)原點，拋物線y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸相交于點A（x1，0）、B（x2，0），與y軸交于點C，且O、C兩點之間的距離為3，x1· x2＜0，|x1|＋|x2|＝4，點A、C在直線y2＝-3x＋t上．

（1）求點C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)y1隨著x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍；

（3）將拋物線y1向左平移n（n＞0）個單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，直線y2向下平移n個單位，當(dāng)平移后的直線與P有公共點時，求2n2-5n的最小值．

思路突破：（1）利用y軸上點的坐標(biāo)性質(zhì)表示出C點坐標(biāo)，再利用O、C兩點間的距離為3寫出點C的兩種可能的坐標(biāo).

（2）先將點C的兩種可能的位置（0，3）或（0，-3）分別代入直線y2＝-3x＋t，可求出對應(yīng)的t的值，于是可以求出相應(yīng)的點A的坐標(biāo)；當(dāng)點A的坐標(biāo)求出之后，結(jié)合“x1·x2＜0，|x1|＋|x2|＝4”又得出點B的坐標(biāo).最后再把兩組不同的點A、B、C的坐標(biāo)信息代入拋物線y1＝ax2＋bx＋c中，即可求出解析式，從而問題獲得突破.

（3）由第（2）問的求解，仍然分兩種情況討論，

①若c＝3，則y1＝-x2-2x＋3＝-（x＋1）2＋4，y2＝-3x＋3，得出y1向左平移n個單位后，則解析式為y3＝-（x＋1＋n）2＋4，y2向下平移n個單位后，則解析式為y4＝-3x＋3-n，到此之后，為了更好地理解，我們從“形”的角度進行分析：

在圖1中，分別畫出了y1＝-（x＋1）2＋4，y2＝-3x＋3的圖像，在圖2中，分別畫出了平移之后的y3＝-（x＋1＋n）2＋4， y4＝-3x＋3-n圖像.

圖1

圖2

再結(jié)合圖像分析，拋物線平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，在圖2中，該圖形P就是在對稱軸左側(cè)的部分，如果平移之后的直線與P有公共點，則拋物線的頂點P一定在Q點（直線與拋物線對稱軸交點）上方，這時把拋物線對稱軸x＝-1-n分別代入拋物線、直線解析式，應(yīng)該有yP≥yQ，得不等式-（-1-n＋1＋n）2＋4≥-3（-1-n）＋3-n，解出n的取值范圍.

②若c＝-3，則y1＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，y2＝-3x-3，y1向左平移n個單位后，則解析式為y3＝（x-1＋n）2-4，y2向下平移n個單位后，則解析式為y4＝-3x-3-n，同樣，我們也從“形”的角度進行分析：

圖3

圖4

在圖3中，分別畫出了y1＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，y2＝-3x-3的圖像，在圖4中，分別畫出了平移之后的y3＝（x-1＋n）2-4，y4＝-3x-3-n的圖像.

結(jié)合圖像分析，拋物線平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，在圖4中，該圖形P就是在對稱軸右側(cè)的部分，如果平移之后的直線與P有公共點，則拋物線的頂點P一定在Q點（直線與拋物線對稱軸交點）下方，這時把拋物線對稱軸x＝1-n分別代入拋物線、直線解析式，應(yīng)該有yP≤yQ，得不等式（1-n-1＋n）2-4≤-3（1-n）-3-n，解出n的取值范圍.

值得注意的是，當(dāng)n的取值范圍求出之后，還需要用題目中的規(guī)定“n＞0”檢驗，從而把確認(rèn)之后的n的取值范圍用于求2n2-5n的最小值.

規(guī)范解答：（1）令x＝0，則y＝c，故C（0，c）.

因為OC的距離為3，所以|c|＝3，即c＝±3，所以點C的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-3）.

（2）因為x1x2＜0，所以x1，x2異號.

①若C（0，3），即c＝3，把C（0，3）代入y2＝-3x＋t，則0＋t＝3，即t＝3，所以y2＝-3x＋3.

把A（x1，0）代入y2＝-3x＋3，則-3x1＋3＝0，即x1＝1，所以A（1，0）.

因為x1，x2異號，x1＝1＞0，所以x2＜0.

因為|x1|＋|x2|＝4，所以1-x2＝4，解得x2＝-3，則B（-3，0）.

所以y1＝-x2-2x＋3＝-（x＋1）2＋4，則當(dāng)x≤-1時，y隨x增大而增大．

②若C（0，-3），即c＝-3，

把C（0，-3）代入y2＝-3x＋t，則0＋t＝-3，即t＝-3，所以y2＝-3x-3.

把A（x1，0），代入y2＝-3x-3，則-3x1-3＝0，即x1＝-1，所以A（-1，0）.

因為x1，x2異號，x1＝-1＜0，所以x2＞0.

因為|x1|＋|x2|＝4，所以1＋x2＝4，解得x2＝3，則B（3，0）.

所以y1＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，則當(dāng)x≥1時，y隨x增大而增大.

綜上所述，若c＝3，當(dāng)y隨x增大而增大時，x≤-1；

若c＝-3，當(dāng)y隨x增大而增大時，x≥1.

（3）①若c＝3，則y1＝-x2-2x＋3＝-（x＋1）2＋4，y2＝-3x＋3.

y1向左平移n個單位后，則解析式為y3＝-（x＋1＋n）2＋4，

則當(dāng)x≤-1-n時，y隨x增大而增大.

y2向下平移n個單位后，則解析式為y4＝-3x＋3-n，

要使平移后直線與P有公共點，則當(dāng)x＝-1-n時，y3≥y4，

即-（-1-n＋1＋n）2＋4≥-3（-1-n）＋3-n，

解得n≤-1.

因為n＞0，所以n≤-1不符合條件，應(yīng)舍去.

②若c＝-3，則y1＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，y2＝-3x-3.

y1向左平移n個單位后，則解析式為y3＝（x-1＋n）2-4，

則當(dāng)x≥1-n時，y隨x增大而增大.

y2向下平移n個單位后，則解析式為y4＝-3x-3-n，

要使平移后直線與P有公共點，則當(dāng)x＝1-n時，y3≤y4，

即（1-n-1＋n）2-4≤-3（1-n）-3-n，解得n≥1.

二、變式改編

以下本著命題研究的興趣，對該題做出一些個性化的變式改編，提供研討.

變式在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸相交于點A（x1，0）、B（x2，0），與y軸交于點C，且O、C兩點之間的距離為3．

（1）求點C的坐標(biāo)；

（2）若點A、C在直線y2＝-3x＋t上，且x1·x2＜0，|x1|＋|x2|＝4.

①當(dāng)y1隨著x的增大而減小時，求自變量x的取值范圍；

②將拋物線y1向左平移n（n＞0）個單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為“曲線P”，直線y2向下平移n個單位，當(dāng)平移后的直線與“曲線P”有公共點時，求n的取值范圍．

變式意圖：改變后題干表述更簡潔明了，讓學(xué)困生根據(jù)絕對值的“幾何意義”也能順利解出第（1）問，而將部分原有題干條件后置到第（2）問小題干中，考慮到原考題第（3）問“求2n2-5n的最小值”只是增加解題層次的一種附加式設(shè)問，式子“2n2-5n”與前面無甚關(guān)聯(lián)，本著削枝強干的目的，直接求n的取值范圍.

三、教學(xué)思考

由于廣州卷這道考題是全卷最后一題，且沒有配圖，就是網(wǎng)上流傳的一些參考答案也沒有提供圖像分析，而從追求提升此類問題解題教學(xué)的效益來看，數(shù)形結(jié)合的分析、講解是很重要的；此外就考題的三個并列式設(shè)問來看，引導(dǎo)學(xué)生體會并列式問題背后的遞進式求解策略也是提供解題能力的關(guān)鍵，以下就圍繞這兩個方向做出進一步的闡釋.

1.數(shù)形互助，借助圖像直觀揭示問題的結(jié)構(gòu)

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，有些數(shù)學(xué)適應(yīng)性較弱的學(xué)生面對諸如上文中的文字函數(shù)題往往感到抽象晦澀，這時如果能借助圖像直觀思考，常常能讓更多的學(xué)生看清問題的結(jié)構(gòu)，而且又能加深對符號表達簡潔性、嚴(yán)謹(jǐn)性的認(rèn)識.

2.以退為進，借助上一問解答思考后續(xù)問題

中考綜合題常常有2～3個問題，多以并列式問題居多，然而這些并列式問題并非簡單拼湊，而是形異質(zhì)同，互為暗示與啟示，又層層推進.理解上述命題特點之后，再看廣州卷考題的三個設(shè)問，就不難發(fā)現(xiàn)，第（1）問啟發(fā)了我們對于C點的兩種可能位置要分類討論；而由此出發(fā)，第（2）問則需要分類討論出兩種可能的函數(shù)解析式，并且思考了開口向下（上）拋物線的增減性，題中“y1隨著x的增大而增大”的訓(xùn)練考查，恰恰又啟發(fā)著第（3）問中“平移后y隨著x的增大而增大的部分為P”.

1.章建躍．中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（3～5）．

2.許衛(wèi)兵．簡約：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的理性回歸［J］．課程·教材·教法，2009（5）.

3.羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)的領(lǐng)悟［M］．鄭州：河南科學(xué)技術(shù)出版社，1997．

4.劉東升．“并列”式問題與“遞進”式求解——由一則解題教學(xué)案例說起［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（8）.

5.【美】波利亞.怎樣解題［M］．閻育蘇，譯．北京：科學(xué)出版社，1982.

6.劉東升．關(guān)聯(lián)性：一個值得重視的研究領(lǐng)域［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.H