活用信息技術強化初中幾何概念教學

☉浙江師范大學教師教育學院 路亞飛 葛麗雅 朱 哲

活用信息技術強化初中幾何概念教學

☉浙江師范大學教師教育學院 路亞飛 葛麗雅 朱 哲

隨著21世紀研究的熱點——“信息技術”滲透到各行各業(yè)，近些年關于教育信息化的研究也越來越多.《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010～2020年）》中指出信息技術融入到教育領域，會產(chǎn)生重大影響，教師需要密切關注.而數(shù)學教育作為教育領域的重要模塊，扮演著教育信息化研究的主流角色.

數(shù)學是研究數(shù)量關系與空間形式的科學，其中教學板塊中的幾何模塊是空間形式的主要部分.初中幾何作為義務教育階段必修的內容，能夠幫助學生形成科學的世界觀與理性精神，培養(yǎng)學生良好的思維習慣，進而提高學生的演繹推理與邏輯思維能力.同時，它也是一種理解、描述并聯(lián)系現(xiàn)實空間的工具，為學生的各種創(chuàng)造性活動提供豐富的素材.［1］而數(shù)學概念的學習作為數(shù)學的邏輯思維學習的起點，是學生認知結構形成的基礎，是學生形成數(shù)學思維的核心，是學生在數(shù)學學習過程中不可或缺的部分.［2］其中幾何概念是數(shù)學概念的重要組成部分.在幾何概念的教學中，信息技術作為“橋梁”，縮短了現(xiàn)實概念與抽象概念的距離.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》同樣明確提出：“借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變的簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果，并且能夠幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用”.

數(shù)學概念的教學一般包括概念的引入、概念的理解、概念的鞏固與概念的應用，以下依次從這四個方面探究關于信息技術對初中數(shù)學概念教學的強化作用.

一、創(chuàng)設問題情境，豐富概念引入

數(shù)學概念的傳統(tǒng)教學模式是給出概念定義，強調概念注意點，概念教學過程中缺少多樣化的直觀材料作為輔助，結果未深化學生對概念的理解.［3］而信息技術可以提供豐富、直觀、動態(tài)的教學材料，彌補了傳統(tǒng)教學的不足，豐富數(shù)學概念的引入，輔助教師進行數(shù)學概念教學，從而加強學生對數(shù)學概念的感知.

案例1菱形概念.

分析1：在菱形概念教學時，由“菱形是指一組鄰邊相等的平行四邊形”可知，菱形概念的“生長點”是平行四邊形.教師從平行四邊形概念延伸，貫穿四邊形知識體系，加深學生對數(shù)學概念的感知.

問題1：由菱形概念可知，平行四邊形通過鄰邊相等可變形為菱形，如果將這種變形進行相似推廣，能夠發(fā)現(xiàn)什么新問題？

分析2：根據(jù)類比思想，可順利提出下列問題：

（1）把平行四邊形的一個角拉成特殊的直角，能夠得到什么樣的圖形？

（2）把平行四邊形的一個角拉成直角，并使鄰邊相等，能夠得到什么樣的圖形？

把黑板畫圖與口頭講授作為數(shù)學概念引入媒介的傳統(tǒng)教學，在激發(fā)學生興趣、豐富概念感知等方面很難實現(xiàn).但教師借助多媒體技術與教育軟件，可以在概念轉變過程中為學生直觀、動態(tài)地展示基于平行四邊形的變形過程，幫助學生優(yōu)化知識結構（如圖1），突破傳統(tǒng)概念引入方式，調動學生積極性的同時引導學生充分理解菱形的概念，促進了概念的“生長”.

操作：（如圖1）利用GeoGebra軟件畫出平行四邊形ABCD，再分別建立邊長AB=a（長度）、∠DAB=β=α（角度）兩個滑動變化參數(shù).通過改變a與α的數(shù)值，使∠DAB與邊長AB的值發(fā)生變化，觀察圖形變化過程，并選取邊BC與AD記錄移動痕跡.

圖1

分析3：在平行四邊形中，依次通過改變滑動變化參數(shù)α的數(shù)值，使∠DAB的角度發(fā)生變化，動態(tài)展示平行四邊形向矩形的過渡過程；通過改變滑動變化參數(shù)a的數(shù)值，使邊長AB的值發(fā)生變化，動態(tài)展示平行四邊形向菱形轉變的過程；在變化后得到的菱形中，通過改變滑動變化參數(shù)α的數(shù)值，變化∠DAB的角度，動態(tài)展示菱形向正方形的變化過程.在直觀演示圖形變化的操作過程中選取一條邊的移動痕跡作記錄分析，加深學生對引入概念的理解，提高學生的數(shù)學思維能力.

二、直觀動態(tài)呈現(xiàn)，深化概念理解

為了加強對概念的理解，有效策略之一是利用圖文并茂，從復雜的圖形中提煉出基本圖形，［4］一般采用具體的實物或簡化的模型和利用多媒體技術模擬操作這兩種方式.它們都能直觀展示操作過程，但數(shù)學是一門抽象性較強的學科，數(shù)學概念尤其是抽象的典型代表，即使利用實物有時也很難展示數(shù)學概念中的元素，以及它們之間的關系.但是功能多樣、資源豐富的信息技術能夠多方位地展示數(shù)學概念的形成過程，細化概念中涉及的元素，以及它們之間的相互關系，彌補了傳統(tǒng)方式的不足，能增強學生對數(shù)學概念的理解.

案例2同位角、內錯角、同旁內角概念.

分析1：對于同位角、內錯角、同旁內角概念的學習，需要把三者聯(lián)系起來，幫助學生理解三者的聯(lián)系與區(qū)別，加深對概念的掌握.三者的概念具有抽象的特點，如同位角的概念為“兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，被截的兩直線的同一方向，這種位置關系的角叫做同位角”，因此學生很難直接理解.而教師普遍的教學是直接在黑板上畫出三條相關直線，在圖中對概念中的所有元素進行拆分，直接向學生灌輸了三者的概念.教師表面化的概念教學，導致學生自認為完全掌握同位角，然而往往在內錯角與同旁內角概念學習時就會出現(xiàn)混亂.教師發(fā)現(xiàn)問題后，只能臨時進行補充，導致學生對數(shù)學概念的碎片化學習.

但利用信息技術可以從本質上詮釋概念中的三條直線及它們之間的相互關系.

操作1：如圖2，利用GeoGebra軟件任意畫出三條直線a、b、c，圖中是直線a、b被直線c所截，對于所形成的不同角用不一樣的顏色標示來加以區(qū)分，分別為∠1、∠2等依次類似.

問題1：圖2中三條直線a、b、c形成的角中，哪些是同位角、內錯角與同旁內角，分別對應的截線是哪條，被截線是哪兩條？

分析2：本題是最簡單的同位角、內錯角與同旁內角的判斷，目的讓學生了解它們的特征，同時滲透同位角、內錯角與同旁內角的關鍵點是找出相應的直線.

圖2

圖3

操作2：如圖3，通過縮小、移動改變三條直線a、b、c的位置，使直線a與直線b相交的“盲點”向學生展示出來，體現(xiàn)直線的無限性.

問題2：在三條直線a、b、c改變后所形成的角中，哪些是同位角、內錯角與同旁內角，分別對應的截線是哪條，被截線是哪兩條？

分析3：本題設計是在原題基礎上提升難度，問題1中的同位角、內錯角與同旁內角很容易再次找出，新增加的角會對學生產(chǎn)生一定的挑戰(zhàn).通過教師的引導，讓學生逐漸意識到找出截線的重要性.

操作3：如圖4，在三條直線a、b、c相交的封閉區(qū)間中增加一條線段，使“場面”復雜化.

圖4

分析4：根據(jù)同位角、內錯角及同旁內角的概念，結合變式直線，由淺入深，層層遞進，引導學生指出同位角、內錯角、同旁內角，以及對應的直線，滲透直線的無限性特征，幫助學生抓住概念的本質，加深對概念的理解，同時促進學生對知識學習的整體性與連貫性.最后在三條直線相交的封閉區(qū)間中增加一條線段，帶領學生在復雜情況下找出其中的同位角、內錯角、同旁內角及其對應直線，幫助學生聯(lián)系到書本上的線段、射線、直線組成的圖形中的同位角、內錯角、同旁內角，升華對概念的理解.

三、加強實踐操作，促進概念鞏固

數(shù)學概念教學的最高境界不是讓學生理解概念，而是能讓學生在數(shù)學概念教學過程中，抓住概念的本質，能夠獨立運用簡短的語言符號概括出數(shù)學概念，鞏固概念學習.數(shù)學概念包括內涵與外延兩個組成部分，各自占有重要地位.對于一些數(shù)學概念，教師通過傳統(tǒng)教學很難讓學生把握概念的內涵與外延，完成對數(shù)學概念的概括.

案例3中心對稱概念.

分析1：課本中關于中心對稱圖形給出的概念是“把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形”.教師幫助學生理解圖形經(jīng)過不同角度旋轉的變換情況是學生能否掌握中心對稱圖形概念中的重要部分.傳統(tǒng)的講授法進行概念教學時，往往通過黑板畫圖或實物演示，旋轉180°這個特殊角度時可操作性比較強，對于其他不同的角度卻很難準確地呈現(xiàn)出旋轉后的圖形與之前圖形的重合情況.

但是通過使用教學軟件的輔助操作，結合多媒體技術的直觀化、動態(tài)化的展示，可以幫助學生形象化地理解中心對稱圖形的內涵與外延.

操作：如圖5，利用GeoGebra軟件畫出中心對稱圖形ABCD，對其進行旋轉操作，利用α的數(shù)值標記∠BOE的度數(shù)記錄旋轉的角度，同時保留中心對稱圖形ABCD中點A、B的旋轉痕跡，圖中保留了0°、90°、180°、347°的截圖記錄.

圖5

分析2：在中心對稱圖形ABCD的旋轉過程中，記錄點A、B的旋轉痕跡，觀察旋轉效果，引導學生發(fā)現(xiàn)中心對稱圖形ABCD中的點A與對稱點C始終在以對稱中心點O為圓心的圓周上，且線段AC就是該圓的直徑，直觀展示出中心對稱圖形的本質屬性.圖例中選取了0°、90°、180°、347°的記錄，包括原始圖形、特殊旋轉圖形與普通旋轉圖形，直觀與動態(tài)的展示幫助學生體會中心對稱圖形概念的本質與非本質特征，促進學生對數(shù)學概念進行概括，鞏固中心對稱圖形概念的學習.

四、聯(lián)系現(xiàn)實生活，強化概念應用

數(shù)學概念的應用是在對概念的學習、理解基礎上進一步的認識，是數(shù)學思維的現(xiàn)實回歸，同時也是檢驗數(shù)學概念掌握程度的重要方法.教師可利用教材或自己編寫習題，考查學生對概念的應用情況.概念的應用包括兩個部分：一個是掌握書本知識，利用數(shù)學概念解決類似問題；另一個是深入理解數(shù)學概念，解決現(xiàn)實中的問題.第一類問題，問題情境要求較低，教師在傳統(tǒng)教學環(huán)境中能夠完成.對于第二類問題，教師很難呈現(xiàn)實際情境指導學生利用概念解決現(xiàn)實問題.信息技術可在其中發(fā)揮舉足輕重的作用，技術的直觀性，能深化對數(shù)學概念的理解；技術的可操作性，能提高學生的數(shù)學思維能力；技術的動態(tài)性，能激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣.

案例4“角”概念的應用.

分析：小學已經(jīng)接觸過淺層次的“角”：兩條有公共端點的射線所組成的圖形；初中數(shù)學中是基于旋轉給出“角”的概念：由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形就叫做角，其中起始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊.角概念的變化是為高階段數(shù)學學習奠定基礎.對于角概念變化的價值，教師一般的教學方式是舉例角度大于180°時，與小學階段的概念就產(chǎn)生認知沖突，如時鐘中指針旋轉超過一周所形成的角度大于180°.教師在黑板上畫圖解釋，很難直觀展示矛盾，但通過信息技術可以直觀、動態(tài)地呈現(xiàn)問題情境.

操作：如圖6，首先利用教學α=289°軟件GeoGebra畫出一個圓，兩條射線a、b，起始位置重合，移動射線b圍繞定點O旋轉，利用α的數(shù)值直觀展示旋轉角度，記錄射線a、b的旋轉角度與射線b的蹤跡.

圖6

五、對信息技術的認識

信息技術能夠幫助教師擺脫傳統(tǒng)數(shù)學教學的局限性，其直觀化、動態(tài)化、可視化等優(yōu)勢能輔助教師進行初中數(shù)學概念教學，從而幫助學生深層次理解數(shù)學概念的內涵.通過對信息技術的充分利用也能豐富教學方式，為學生提供輕松、自由的學習環(huán)境，促進學生的自主學習，提高數(shù)學思維能力.但教師需要意識到，信息技術只是一種教學工具，教師在課堂教學時，根據(jù)教學需要的不同必須活用信息技術，引導學生理解數(shù)學中抽象的概念.信息技術本身是枯燥的，教師需要自身完全掌握信息技術，實現(xiàn)信息技術、學情與教學內容的有機整合，才能發(fā)揮活用信息技術的作用.

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2.劉華祥.中學數(shù)學教學論［M］.武漢：武漢大學出版社，2003.

3.邵光華，章建躍.數(shù)學概念的分類、特征及其教學探討［J］.課程·教材·教法，2009（7）.

4.紀紅芳.“舉案說法”談幾何概念教學九大策略［J］.中學數(shù)學（下），2013（6）.H