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    另類“數(shù)形結(jié)合”幫助學(xué)生理解幾何證明*
    ——由平行四邊形判定教學(xué)引發(fā)的一點思考

    2015-12-26 06:54:39廣東省廣州市景中實驗中學(xué)吳穎接
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年16期
    關(guān)鍵詞:皮亞杰初學(xué)四邊形

    ☉廣東省廣州市景中實驗中學(xué) 吳穎接

    ☉廣東省廣州市第七十八中學(xué) 梁 倩

    另類“數(shù)形結(jié)合”幫助學(xué)生理解幾何證明*
    ——由平行四邊形判定教學(xué)引發(fā)的一點思考

    ☉廣東省廣州市景中實驗中學(xué) 吳穎接

    ☉廣東省廣州市第七十八中學(xué) 梁 倩

    恩格斯曾說過:“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中量的關(guān)系與空間形式的科學(xué).”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)意義,又揭示其幾何直觀,使數(shù)量的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起,充分利用這種結(jié)合,尋找解題思路,使問題化難為易、化繁為簡,從而得到解決.其實按筆者的理解,初中的幾何證明就是一個數(shù)形結(jié)合的好例子.它讓學(xué)生用文字與符號,對圖形進行分析與解釋.讓學(xué)生在思考圖形的來龍與去脈的過程中,逐步學(xué)會邏輯思考,慢慢學(xué)會理性思維.但也因此讓許多學(xué)生感到十分頭痛,易產(chǎn)生畏難情緒.

    一、原由

    在2014年初二下學(xué)期的數(shù)學(xué)教學(xué)中,筆者所任教的初二(1)班的學(xué)生學(xué)習水平較低.當教到“平行四邊形”時,按傳統(tǒng)要求,如果證明時要用到初學(xué)的定理,必需要寫理由.這種做法的原因是:為了加強學(xué)生對初學(xué)定理的記憶與理解.但幾何課上,筆者察覺學(xué)生不是心不在焉,就是無精打采,更甚的有一兩個在打瞌睡.到了測驗時,他們的水平自然是不過關(guān)的.這讓筆者相當苦惱.筆者試想原因何在?經(jīng)觀察,他們的原因可能有以下幾個:(1)不理解;(2)有點理解,但由于定理過多,容易產(chǎn)生混淆;(3)證明的過程太長,再加上要寫明理由(注1),嫌煩瑣,不想寫,久而久之,生疏不會寫.面對這一難題,筆者反復(fù)思量,結(jié)果從全等三角形的幾個判定的表述中,得到啟發(fā).

    全等三角形的幾個判定,其表現(xiàn)形式極為簡潔,它甚至將判定簡化成為字母.如:SSS、SAS、ASA、AAS.這幾個定理的簡寫,給全等三角形的教與學(xué)帶來很大的幫助.讓初學(xué)幾何的學(xué)生,在閱讀時更容易得到清晰的形象,而在書寫證明表達時,則可以更簡便清楚地寫出證明的過程.而有些老師甚至會形象地教學(xué)生,尖尖的A就是角,而S就是邊,以此幫助學(xué)生記憶.

    二、轉(zhuǎn)化

    因為全等三角形的判定具有簡潔性、形象性,使絕大部分學(xué)生對全等三角形的判定的基礎(chǔ)運用是比較容易理解與記憶的.所以筆者認為,四邊形邊的判定應(yīng)該也可以進行類似的簡化.利用平行四邊形的表達符號“?”,筆者把平行四邊形的五個判定方法分別進行了以下的簡化:

    (1)如圖1,兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.(同向箭頭的兩直線表示為平行關(guān)系)

    (2)如圖2,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.(同向加標注的兩直線表示為相等關(guān)系)

    (3)如圖3,一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

    (4)如圖4,兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

    (5)如圖5,兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

    圖1

    圖2

    圖3

    圖4

    圖5

    相類似地,特殊平行四邊形的判定也可以類似地進行簡化.

    如矩形的判定:

    (1)?+對角線相等——對角線相等的平行四邊形是矩形.

    (2)?+90°——有一個90度角的平行四邊形是矩形.

    (3)3個90°——有三個90度角的四邊形是矩形.

    菱形的判定:

    (1)?+鄰邊相等——一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

    (2)?+對角線垂直——對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

    (3)4邊等——四條邊都相等的四邊形是菱形.

    這種用簡圖代替定理的表述文字的做法,筆者給了它一個名稱:“以圖代理”.

    如此,學(xué)生在書寫相關(guān)證明的理由時,可以用這些簡圖代替相應(yīng)的文字理由.小小的簡圖,把長長的文字簡略掉了.筆者的學(xué)生都感覺很開心,對于平行四邊形的很多題目,他們就不再覺得很難了,特別是在初學(xué)這些幾何定理時,這種做法,對記憶定理和區(qū)分這些定理有相當大的幫助.(當然,初學(xué)時,還是要求學(xué)生看簡圖,背定理,以鞏固和加深理解)

    三、應(yīng)用與反思

    不僅學(xué)生使用這些圖形方便,而且在后面解題時,筆者發(fā)現(xiàn)這些簡圖還有更重要的作用.讓我們看一看以下運用簡圖的證明過程.

    圖6

    例1已知:如圖6,AD平分∠BAC,E、F分別為AB、AC上的點且DE∥AC,DF∥AB.求證:四邊形AEDF為菱形.

    證明:因為DE∥AC,DF∥AB,

    又因為AD平分∠BAC,

    所以∠EAD=∠FAD.

    因為DE∥AC,

    所以∠FAD=∠EDA,

    所以∠EDA=∠EAD,

    所以四邊形AEDF是菱形.(?+鄰邊相等)

    通過上面的例題可以看出,上題中的“以圖代理”的做法,既簡化了書寫,又形象地用圖像代替定理的文字表達,幫助了學(xué)生理解記憶定理.而實際上這種做法,是將原圖中無關(guān)的線段省去,并將重要的線段與角抽取出來進行分析,它就完成了一次較完整圖形的抽象過程.這使學(xué)生明白幾何的證明,就是將原圖進行分拆,然后抽取出關(guān)鍵的基本圖形出來后再重組,并用之對原圖進行解釋的過程.

    另外,根據(jù)皮亞杰的兒童認知心理學(xué)的理論,兒童認知新事物的能力分為四個階段,而初中學(xué)生的認知水平應(yīng)屬于第三階段末、或第四階段(注2).而新皮亞杰學(xué)說則認為,個體是有差異的.在同一年齡段,有些人的認知還在第三階段,有些人卻已在第四階段了.而且常識告訴我們,在同一班中,學(xué)生的認知能力總會有人更強,而有些人則更弱一些.能力較強的學(xué)生,能開始脫離具體事物,具有較好的抽象能力,這部分學(xué)生的數(shù)學(xué)能力較強,并不用老師太費心.但相當多的學(xué)生的認知能力尚處于認知能力第三階段末,他們處于具體事物運算階段,太抽象的東西對他們來講,是很困難的(注3).所以如果能以“圖”代“理”進行教學(xué),這些簡圖可以幫助他們對幾何圖形進行抽象的思考.使他們明白復(fù)雜的圖形是由幾個簡單的“基礎(chǔ)”圖形組成,只要在原圖中把這些基礎(chǔ)圖形找出來,證明的思路就可以相應(yīng)建立.所以筆者覺得,這種以“圖”代“理”的做法,對這一階段思維能力較弱的學(xué)生來理解和鞏固幾何知識有重大的幫助.

    四、效果與拓展

    在平行四邊形判定的教學(xué)中,應(yīng)用這種以“圖”代“理”的方法,筆者所任教初二(1)班的幾何成績有了相當大的提高,在學(xué)期的期末考試中,初二(1)班比另一老師教的初二(3)班多了近5分,其中(1)班為81.8,(3)班為77.3.(注4)

    在期末考之后,筆者思考到,以“圖”代“理”,數(shù)形結(jié)合的這種方法,不但可以在“平行四邊形的判定”中應(yīng)用,而且在其他的幾何內(nèi)容也可以用到.如初一的“平行線的判定”,到初三“圓”的學(xué)習,都可以用到.如平行線與圓的一些重要定理,可嘗試作如下表示.

    (1)如圖7,內(nèi)錯角相等,兩直線平行.

    (2)如圖8,同位角相等,兩直線平行.

    (3)如圖9,同旁內(nèi)角相等,兩直線平行.

    (4)如圖10,垂徑定理.

    (5)如圖11,圓周角等于同弧所對的圓心角的一半.

    (6)如圖12,同弧所對的圓周角相等.

    圖7

    圖8

    圖9

    圖10

    圖11

    圖12

    這些簡圖,在學(xué)生初學(xué)這些定理時,可以幫助他們更方便地書寫證明過程,同時也能更好地記憶定理,更直觀地讓學(xué)生明白,證明幾何題實質(zhì)上是一個分解圖形.讓他們明白,學(xué)幾何并不是死背定理.證明應(yīng)該是一個將復(fù)雜的圖形拆分為幾個基本的圖形后,并對之進行解釋的過程.這對他們明白幾何是怎樣建構(gòu)公理體系的過程,這對學(xué)生的邏輯分析能力,都有著很大的幫助.

    注1:在中考,幾何證明的理由是不用書寫的.但在初學(xué)一個幾何定理時,按傳統(tǒng)要求,在初學(xué)應(yīng)用時,要以文字的形式書寫幾何定理.但學(xué)生往往嫌煩瑣,不愿寫,但矛盾的是,如果不要求學(xué)生書寫幾何理由,學(xué)生對定理忘記得很快,遺忘率非常高.

    注2:皮亞杰將兒童思維的發(fā)展劃分為四個大的年齡階段.這四個階段分別是:

    (1)感知運動階段(從出生到兩歲左右).這一階段是思維的萌芽期,是以后發(fā)展的基礎(chǔ).皮亞杰認為這一階段的心理發(fā)展決定著未來心理演進的整個過程.

    (2)前運算階段(兩歲左右到六七歲).這一階段又稱前邏輯階段,這時兒童開始以符號作為中介來描述外部世界,表現(xiàn)在兒童的延緩模仿、想象或游戲之中.

    (3)具體運算階段(六七歲到十一二歲).在這個階段,兒童已有了一般的邏輯結(jié)構(gòu).

    (4)形式運算階段(十一二歲到十四五歲).此時兒童的智慧發(fā)展趨于成熟,思維能力已超出事物的具體內(nèi)容或感知的事物,思維具有更大靈活性.

    注3:根據(jù)廣州中考數(shù)學(xué)的相關(guān)數(shù)據(jù),滿分為150分的考試中,每年10萬考生,有近1萬的考生數(shù)學(xué)成績在30分以下.

    注4:在初二上學(xué)期末,(1)班與(3)班的數(shù)學(xué)成績基本相同,相差不到1分.

    1.【瑞士】皮亞杰,著.心理發(fā)生和科學(xué)史[M].姜志輝,譯.上海:華東師范大學(xué)出版社,2005.

    2.【瑞士】皮亞杰,著.發(fā)生認識論原理[M].北京:商務(wù)印書館,1981.

    3.【瑞士】皮亞杰,著.可能性與必然性[M].熊哲宏,譯.上海:華東師范大學(xué)出版社,2005.H

    *本文系廣州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃(第二批)課題《初中數(shù)學(xué)有意義學(xué)習的課堂教學(xué)實踐研究》(課題編號12B063)的研究成果之一.

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