一類具有擴散的捕食－食餌模型正解的存在性

李海俠（寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西寶雞 721013）

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一類具有擴散的捕食－食餌模型正解的存在性

李海俠
（寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西寶雞 721013）

摘 要：在齊次Dirichlet邊界條件下討論了一類擴散的兩食餌和一個捕食者的捕食－食餌模型正平衡態(tài)解的惟一存在性.運用隱函數(shù)定理研究了系統(tǒng)的二重分歧，給出了系統(tǒng)共存解惟一存在的充分條件.最后通過數(shù)值模擬對所得理論結(jié)果進行了驗證和補充.結(jié)果表明，在一定條件下三物種能共存.

關(guān)鍵詞：捕食－食餌模型；分歧；隱函數(shù)定理；數(shù)值模擬

0　引言

文獻［1］提出了如下具有兩個食餌和一個捕食者的捕食－食餌模型：其中u，v和w分別是第一個食餌、第二個食餌和捕食者的濃度.我們假設(shè)第二個食餌v是指數(shù)增長的，于是在沒有捕食者的情況下第二個食餌有很大的供應(yīng)量.因此，捕食者沒有時間尋找第二個食餌.r代表第一個食餌u的增長率和容納量.c和a代表了第一個食餌的最大捕食率和捕食者的半飽和常數(shù).α＝h2/h1和η＝e2/e1，其中h1和h2分別表示捕食者對第一個食餌的每單位捕食量的消化時間和捕食者對第二個食餌的每單位捕食量的消化時間，e1和e2分別表示捕食者對第一個食餌的捕獲率和捕食者對第二個食餌的捕獲率.b代表了第一個食餌u被捕食者w消耗的轉(zhuǎn)化率.β和δ分別代表第二個食餌v的增長率和捕食率.γ是第二個食餌v被捕食者w消耗的轉(zhuǎn)化率.m是捕食者w的死亡率.（1）中的所有參數(shù)都是正常數(shù).在文獻［1］中，作者討論了系統(tǒng)平衡點的存在性以及在這些平衡點處解的穩(wěn)定性.

考慮到捕食者和食餌在不同空間的不均勻分布以及物種有向低濃度物種擴散的自然傾向，則系統(tǒng)（1）成為如下帶有擴散的捕食－食餌模型：這里Ω是RN中帶有光滑邊界Ω的有界區(qū)域.初值u0（x），v0（x）和w0（x）都是連續(xù)函數(shù).系統(tǒng)（2）是一個三物種的捕食－食餌模型.第一個食餌和捕食者之間以Holling－II反應(yīng)函數(shù)相互作用，并且包含了捕食者對第二個食餌的消化時間.第二個食餌和捕食者之間以Lotka－Volterra反應(yīng)函數(shù)相互作用.假設(shè)第一個食餌和第二個食餌之間沒有相互作用.

目前，兩物種捕食－食餌模型的研究比較多，比如文獻［2－4］.但三物種的捕食－食餌模型研究并不多見，尤其是具有擴散的齊次Dirichlet邊界條件下的捕食－食餌模型研究甚少，如文獻［5－7］，其中文獻［5，6］研究了三物種的捕食－食餌模型的正解的若干性質(zhì).

本文主要研究系統(tǒng)（2）的平衡態(tài)系統(tǒng)共存解的存在條件.討論具有擴散的捕食－食餌模型共存解的存在性常見的方法有不動點指標理論和單重分歧理論.然而，尋找系統(tǒng)（3）共存解的先驗估計具有很大的難度，因此本文采用不常見的方法空間分解法和隱函數(shù)定理來研究系統(tǒng)（3）共存解的存在性.

當(dāng)系統(tǒng)（3）沒有食餌時，（3）成為典型的帶有Holling－II反應(yīng)函數(shù)的具有擴散的兩物種捕食－食餌模型.文獻［8］利用不動點指數(shù)和分歧理論得到了共存解存在的充分和必要條件.文獻［9，10］在齊次Neumann邊界條件下也研究了此類模型.

為給出重要的結(jié)果，首先給出一些預(yù)備知識.

引理1［11］令p（x）∈C（珚Ω），λ1（p）是如下特征值問題－Δψ＋p（x）ψ＝λψ，x∈Ω，ψ＝0，x∈Ω的主特征值，則λ1（p）連續(xù)依賴p，λ1（p）是簡單的.而且，如果p1≤p2，p1p2，則λ1（p1）＜λ1（p2）.為了簡單起見，我們定義λ1（0）為λ1，相應(yīng)于λ1的主特征函數(shù)記為ψ1且‖ψ1‖2＝1.

考慮如下的非線性問題如果r＞λ1，則（4）有惟一正解.記惟一正解為Θr，則Θr關(guān)于r嚴格遞增且連續(xù)可微.而且Θr≤r.因此，系統(tǒng)（3）當(dāng)r＞λ1時有弱半平凡解（Θr，0，0）.

1　正解的存在性和不存在性

1.1 正解的存在性

在本小節(jié)，利用隱函數(shù)定理和空間分解討論系統(tǒng)（3）的正解的存在性.我們同時以β和m為分歧參數(shù)，研究系統(tǒng)（3）從半平凡解（Θr，0，0）分歧出來的二重分歧.

選擇p＞N，令E＝｛W2，p（Ω）∩W1，p0（Ω）｝3，F(xiàn)＝｛Lp（Ω）｝3，其中

W1，p0（Ω）＝｛u∈W1，p（Ω）：u＝0，x∈Ω｝.

令珘u＝u－Θr.定義映射G：E×R×R→F為其中則對所有的β和m，G（0；β，m）＝0.

令L（β，m）是（3）在（Θr，0，0）的線性化算子，則L（β，m）＝由Θ的單調(diào)性可知λ關(guān)于r是連續(xù)的

r嚴格遞減函數(shù).當(dāng)r＝λ時，當(dāng)

1r→∞時，趨于λ－b.因此，如果b＞1λ1，則存在r＊＞λ1，使得.這說明，如果－m＞λ1－b，則對任意的r＞r＊，都存在m＊使得

注：本節(jié)假設(shè)b＞λ1恒成立.

簡單起見，記L（λ1，m＊）為L.而且，直接計算可知G珦U（0；λ1，m＊）＝L.不難算出L的核空間ker（L）＝span｛Y1，Y2｝，其中Y1＝（0，ψ1，0）T，Y2＝（φ1，0，φ1）T，這里φ1是如下問題的惟一正解：，x∈Ω，φ＝0，x∈Ω 且，則dim（ker（L））＝2.再令L＊是L的伴隨算子，則，｝，這里），則由Fredholm選擇公理L值域為R（L）＝｛（ω1，ω2，ω3）∈F：（ω2，ψ1）2＝（ω3，φ1）2＝0｝，則codim（R （L））＝2.于是Crandall－Rabinowitz分歧定理［12］失效，因此我們用隱函數(shù)定理和空間分解的方法來研究系統(tǒng)（3）的正解的存在性.

對于珦U∈F，定義投影P為分解空間E＝E1＋E2，這里E1＝PE，且分解空間F＝F1＋F2，其中F1＝ker（L＊），F(xiàn)2＝（I－P）F.則由投影的定義知E1＝ker（L），F(xiàn)2＝R（L）.

方便起見，記L1＝D（χ，τ1，τ2）?。?，0，0；0）.最后，我們證明連續(xù)線性映射L1：E2×R×R→F是同構(gòu)映射.設(shè)L1（χ珘，τ珓1，τ珓2）＝0，因為F＝F1＋F2，所以和Lχ珘＝0.而和是線性無關(guān)的且σ∈（0，π2），所以τ珓1＝τ珓2＝0.又從Lχ珘∈R（L）可知χ珘＝0.因此，L1是單射.又因為F＝F1＋F2＝ker（L＊）＋R（L），并且L1：E2×R×R→F，所以由（6）式和可知L1是滿射，這說明連續(xù)線性映射L1是雙射，即同構(gòu).因此可用隱函數(shù)定理解方程?。é?，τ1，τ2；s）＝0.也就是說，由隱函數(shù)定理可知存在一個連續(xù)可微函數(shù)（珔χ（s），珋τ1（s），珋τ2（s）），定義在s的一個小鄰域內(nèi)使得珔χ（0）＝0，珋τ1（0）＝0，珋τ2（0）＝0，并且?。ǐ叇郑╯），珋τ1（s），珋τ2（s）；s）＝0.設(shè)則滿足珡U（s）＝（珔u（s），珔v（s），珡w（s））的（珡U（s），珋β （s），珡m（s））是G（珦U；β，m）＝0的解.因為φ1＜0，所以由正解u的先驗估計可知滿足＾U（s）＝（珔u（s）＋Θr，珔v（s），珡w（s））（ε＞s＞0）的（＾U（s），珋β（s），珡m（s））是系統(tǒng)（3）的正分歧解.

上面的討論表明了系統(tǒng)（3）的正分歧解的存在性.下面給出系統(tǒng)（3）的正分歧解惟一存在的充分條件.

定理1 若r＞r＊＞λ1，－m＞λ1－b，則（λ1，m＊，Θr，0，0）是系統(tǒng)（3）的分歧點，而且在點（λ1，m＊，Θr，0，0）的鄰域內(nèi)系統(tǒng)（3）有惟一正解.

1.2 正解的不存在性

本小節(jié)給出系統(tǒng)（3）正解不存在的充分條件.

定理2 如果r≤λ1或β≤λ1，那么系統(tǒng)（3）沒有正解.

證明：假設(shè)系統(tǒng)（3）有正解（u，v，w），則由系統(tǒng)（3）的第一個方程和引理1可得這說明r＞λ1，與已知r≤λ1矛盾.同理，由系統(tǒng)（3）的第二個方程和引理1得0＝λ1（δv－β）＞λ1（－β），這說明β＞λ1，與已知β≤λ1矛盾.因此，如果r ≤λ1或β≤λ1，那么系統(tǒng)（3）沒有正解.

2　數(shù)值模擬

這一節(jié)做一些數(shù)值模擬來驗證和補充第一節(jié)的理論分析.在一維空間Ω＝（0，l）上利用Matlab和有限差分格式來模擬系統(tǒng)（2），選擇用二階有限差分格式刻畫空間變量，用Crank－Nicholson方法近似時間變量.取l＝10，此時λ1≈0.098 7.

（1）參數(shù)c的影響.取a＝5，α＝0.1，η＝0.5，b ＝2，γ＝0.5，β＝0.1，r＝2，m＝0.3，δ＝0.5.從大量的數(shù)值模擬可以觀察出當(dāng)c增大時，u和w的濃度減少，而v的濃度增加，如圖1所示.

（2）參數(shù)δ的影響.取c＝2，除δ外其余參數(shù)值與（1）相同.從大量的數(shù)值模擬可以觀察出δ當(dāng)增大時，u和v的濃度減少，而w的濃度增加，如圖2所示.

圖1　參數(shù)c的影響

圖2　參數(shù)δ的影響

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Existence of positive solutions for a predator－prey model with diffusion

LI Hai－xia
（Institute of Mathematics and Information Science，Baoji University of Arts and Sciences，Baoji 721013，China）

Abstract：The uniqueness and existence of positive steady－state solutions for a diffusive twopreys and one－predator predator－prey model are discussed under homogeneous Dirichlet boundary conditions.The bifurcation from a double eigenvalue for the system is investigated by virtue of the implicit function theorem and the sufficient conditions for the uniqueness and existence of coexistence states are obtained.Finally，some numerical simulations are presented to verify and complement the theoretical results.The results show that the three species will coexist under certain conditions.

Key words：predator－prey model；bifurcation；the implicit functional theorem；numerical simulations

作者簡介：李海俠（1977－），女，陜西寶雞人，講師，博士，研究方向：偏微分方程計算及其可視化

基金項目：陜西省教育廳專項科研計劃項目（14JK1035）；寶雞文理學(xué)院重點科研計劃項目（ZK12042，ZK15039）

收稿日期：2015－04－05

文章編號：1000－5811（2015）04－0182－05

文獻標志碼：A

中圖分類號：O175.26