線性規(guī)劃的教學(xué)模式探討

苗連英　逄世友

摘要：線性規(guī)劃是運籌學(xué)的核心內(nèi)容，求解線性規(guī)劃的單純形法在理論上已趨于成熟，應(yīng)用也越來越廣泛。為了使學(xué)生更容易、更深刻地理解這種算法及其理論基礎(chǔ)，本文給出了一種循序漸進的教學(xué)模式。這種模式也適用于運籌學(xué)其他內(nèi)容的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：單純形法；循序漸進；教學(xué)模式

中圖分類號：G642.0 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）45-0036-04

運籌學(xué)是二戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一門應(yīng)用學(xué)科，它廣泛應(yīng)用現(xiàn)有的科學(xué)技術(shù)知識和數(shù)學(xué)方法，解決實際中提出的一些問題，為決策者選擇最優(yōu)策略提供定量依據(jù)，其內(nèi)容包括：規(guī)劃論（線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃等）、圖論與網(wǎng)絡(luò)分析、對策論、排隊論、存儲論、決策論、排序與統(tǒng)籌方法等[1]。運籌學(xué)的實際應(yīng)用涉及生產(chǎn)計劃、運輸問題、人事管理、庫存管理、市場營銷、財務(wù)和會計等方面。另外，還應(yīng)用于設(shè)備維修、更新和可靠性分析，項目的選擇與評價、工程優(yōu)化設(shè)計、環(huán)境保護等問題中。據(jù)統(tǒng)計，50%數(shù)學(xué)建模問題與運籌學(xué)內(nèi)容相關(guān)，可以用運籌學(xué)的方法解決。另外，為各大高校數(shù)次爭得榮譽的建模隊伍，長期以來一直接受運籌學(xué)相關(guān)知識的培訓(xùn)。

運籌學(xué)中最主要的分支是線性規(guī)劃。線性規(guī)劃模型是前蘇聯(lián)著名經(jīng)濟學(xué)家康托羅維奇于1939年提出的，這一重大發(fā)現(xiàn)使他獲得了諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。1947年G.B.Dantzig提出求解線性規(guī)劃的單純形法。針對退化問題，1952年A.Charner和W.W.Cooper[2]給出了攝動法，1954年G.B.Dantzig，A.Orden和P.Wolfe[3]提出了字典序方法，1976年G.G.Bland[4]提出了Bland法則，這些方法都能避免循環(huán)發(fā)生。線性規(guī)劃理論上已趨于成熟，應(yīng)用也越來越廣泛。事實上，運籌學(xué)中許多問題都可以或需要用線性規(guī)劃模型來描述或近似地描述，如運輸問題——求解運輸問題的表上作業(yè)法本質(zhì)上就是單純形法，并且這種方法充分展示了單純形法的魅力。求最短路、最小費用最大流的問題都可以用線性規(guī)劃模型來解決。求解指派問題的匈牙利法本質(zhì)上也是單純形法[5]。矩陣對策問題最后轉(zhuǎn)化成求解線性規(guī)劃。學(xué)習(xí)運籌學(xué)的先修課程主要有線性代數(shù)、微積分、概率論與數(shù)理統(tǒng)計。事實上，運籌學(xué)不僅應(yīng)用了這些學(xué)科，也從理論上進一步發(fā)展了這些學(xué)科。

單純形法是建立在一系列理論基礎(chǔ)之上的。首先，如果線性規(guī)劃的可行域非空，則它是一個凸集，這個結(jié)論很容易證明。線性規(guī)劃的可行域的頂點與基可行解之間是一一對應(yīng)的，所以其頂點個數(shù)有限，這個結(jié)論與單純形法的關(guān)系不大，其證明可以省略。其次，線性規(guī)劃若有可行解，則一定有基可行解，這個結(jié)論是很重要的，為了更好地理解它的證明，我們先看下面的例子。

進一步講，若線性規(guī)劃有最優(yōu)解，其最優(yōu)解一定可以在其可行域的頂點上找到，也就是在其基可行解中找到，這樣就把一個從無限個可行解中找最優(yōu)轉(zhuǎn)化成在有限個可行解中找最優(yōu)。這是單純形法的理論基礎(chǔ)。為了更好地理解這一重要結(jié)論的證明，我們看下一個例子。

X2的正分量的個數(shù)是2。由于P2，P4線性無關(guān)，所以X2是基可行解。這樣我們就找到了一個最優(yōu)解也是基可行解。一般地，若X2的正分量對應(yīng)的系數(shù)列與線性相關(guān)，繼續(xù)上述過程，直到找到基可行解為止。

從基可行解中找最優(yōu)解所用的方法是單純形迭代法。那么，如何判斷一個線性規(guī)劃是否有最優(yōu)解？如何判斷一個基可行解是否是最優(yōu)解？在一個基可行解不是最優(yōu)的情況下如何迭代到下一個與其相鄰的更好的基可行解？為回答這些問題，我們舉例說明。

先講特例再引入最優(yōu)性判別定理、基可行解的改進定理以及單純形法的迭代步驟，學(xué)生就容易理解。即使針對有些專業(yè)的學(xué)生講解這些定理的證明，也容易接受。

總之，現(xiàn)代社會信息量大，大學(xué)生需要學(xué)習(xí)的課程很多，用于預(yù)習(xí)或復(fù)習(xí)的時間就很少，這樣上課時間就尤為珍貴，教師應(yīng)該如何講，才能使學(xué)生當(dāng)堂聽明白所授內(nèi)容，這是一個必須思考的問題。其實，運籌學(xué)這門學(xué)科更側(cè)重的是應(yīng)用，數(shù)學(xué)理論并不難，之所以有人覺得難學(xué)，是因為沒有把握一種好的學(xué)習(xí)方法。本文針對單純形法給出了一種循序漸進的教學(xué)模式，實踐證明這種模式能使學(xué)生更容易的理解課堂內(nèi)容，有利于激發(fā)學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在輕松掌握數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上，能更好地探討運籌學(xué)的經(jīng)典案例的建模和求解，加強學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力和創(chuàng)新能力。

參考文獻：

[1]《運籌學(xué)》教材編寫組.運籌學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.

[2]Charnes，A.And Cooper W.W.，The stepping stone method of explaining linear programming calculations in thansportation problems，Management Science，1954，（1）：49-69.

[3]Dantzig，G.B.，Orden.A.and Wolfe.P.，Note on linear programming，Pacific J.Math.1955，（5）：183-195.

[4]Bland，G.G.，New finite pivoting rules of Simplex method，Math.Of Operations Research，1977，（2）：103-107.

[5]Hamdy，A.Taha，Operations Research-An Introduction[M].北京：人民郵電出版社，2007.

基金項目：2014年度江蘇省研究生教育教學(xué)改革研究與實踐課題，《運籌學(xué)》立體化教學(xué)平臺建設(shè)；2014年中國礦業(yè)大學(xué)精品資源共享課：《運籌學(xué)》

作者簡介：苗連英（1966-），女，中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院教授，主要從事運籌學(xué)教學(xué)和科研工作。