非對稱實(shí)矩陣合同的條件

李成博,　胡志廣，　詹華英

(1.天津大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,天津 300072； 2.天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387；

3.天津理工大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系， 天津 300384)

非對稱實(shí)矩陣合同的條件

李成博1,胡志廣2，詹華英3

(1.天津大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,天津 300072； 2.天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387；

3.天津理工大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系， 天津 300384)

[摘要]在工科大學(xué)的線性代數(shù)課程的知識范疇內(nèi)，給出了一類非對稱實(shí)矩陣的合同的判定的一個充分條件,并舉例做具體說明；此項(xiàng)研究回答了工科大學(xué)生在學(xué)習(xí)矩陣合同理論時(shí)經(jīng)常提出的一個疑問,可以作為工科大學(xué)線性代數(shù)教學(xué)的一個合理的補(bǔ)充材料.

[關(guān)鍵詞]非對稱實(shí)矩陣; 合同; 正定實(shí)矩陣; 對角化

1引言

眾所周知，兩個同階實(shí)對稱矩陣實(shí)合同(以下簡稱合同)當(dāng)且僅當(dāng)它們的正負(fù)慣性指數(shù)分別相等，或者說當(dāng)且僅當(dāng)它們的正、負(fù)特征值的個數(shù)分別相等.在第一作者給天津大學(xué)的本科生講授線性代數(shù)課程的過程中，會經(jīng)常講到下面這個習(xí)題：

(A) 相似且合同(B) 相似但不合同(C) 不相似但合同(D) 不相似且不合同

兩個矩陣的特征值相同，容易錯用實(shí)對稱矩陣合同的判定條件得到A與B合同(一個實(shí)對稱矩陣不能合同與一個非對稱實(shí)矩陣).由此，學(xué)生經(jīng)常提問：合同關(guān)系是否只存在于兩個實(shí)對稱矩陣之間？兩個非對稱實(shí)矩陣是否可以合同？如何判定？

為了回答以上問題，本文在工科線性代數(shù)的知識范疇內(nèi)，給出了對稱部分是正定矩陣的兩個非對稱實(shí)矩陣合同的一個充分條件，并舉例做具體說明.

2合同的一個必要條件

設(shè)n階實(shí)方陣A,B都是非對稱的，即A≠AT,B≠BT，其中上標(biāo)T表示方陣的轉(zhuǎn)置.并記As，Aas為矩陣A的對稱和反對稱部分，即

類似的，也用Bs,Bas表示矩陣B的對稱和反對稱部分.為了敘述簡單，用記號A?B表示矩陣A與B合同.

定理1若A?B,則As?Bs.

這個定理可以用來判定兩個非對稱實(shí)矩陣不合同.

下面的例子說明定理1的逆命題不成立.

3兩個非對稱實(shí)矩陣合同的一個判定定理

如前，設(shè)A,B都是非對稱的n階實(shí)矩陣并進(jìn)一步假設(shè)As是正定的.若A?B,則由定理1得Bs正定.由此，不妨也假設(shè)Bs正定.下面討論A?B成立的充分條件.為此，需要用到下面的定理.

定理2[1]設(shè)M是n階實(shí)正定矩陣，N是n階實(shí)對稱矩陣則存在可逆矩陣P滿足

PTMP=En，PTNP=diag(λ1,λ2,…,λn)，

其中λ1,λ2,…,λn是實(shí)數(shù).

定理3設(shè)可逆矩陣P滿足

PTAsP=En，PTBsP=diag(λ1,λ2,…,λn)，

其中每個λi>0.若

則

A?B.

證綜合已知條件，有

=diag(λ1,λ2,…,λn)+PTBasP=PTBsP+PTBasP=PTBP.

這就證明定理的結(jié)論.

為方便起見，給出應(yīng)用定理3來判斷非對稱實(shí)矩陣合同的主要步驟(其合理性請參看后面的定理4).

第一步求解一元n次方程組|Bs-λAs|=0，得到n個正實(shí)根λ1,λ2,…,λn.

第二步對每一個λi(相同的λi只計(jì)算一次即可)，求解線性方程組(Bs-λiAs)X=0，得到通解的表達(dá)式.

第三步對第二步中的每一個線性方程組，可以選取合適的基礎(chǔ)解系并把這些基礎(chǔ)解系中的向量作為列向量組成一個n階方陣P，使得

PTAP=En，PTBP=diag(λ1,λ2,...,λn).

第四步驗(yàn)證

是否成立.如果成立，則得到A?B.

解寫出兩個矩陣的對稱和反對稱部分

和

最后，容易驗(yàn)證

所以，由定理3得矩陣A與B相合.

4注釋與延伸

(i) 兩個非對稱實(shí)矩陣A,B合同的一個等價(jià)刻畫是它們的對稱部分As,Bs和反對稱部分Aas,Bas同步合同,即存在(同一個)可逆矩陣P,使得

PTAsP=Bs,PTAasP=Bas.

這個問題不同于實(shí)對稱矩陣的合同，難度大，還沒有十分滿意的結(jié)果.本文的目的不是給出非對稱矩陣合同的深入完整的研究，而是像本文開始提到的那樣，在工科大學(xué)的線性代數(shù)課程的知識范疇內(nèi)，給出相對容易的一個合同的判定定理并舉出實(shí)例，希望可以作為工科大學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)對稱矩陣合同理論的一個補(bǔ)充材料.

(ii) 當(dāng)對稱部分As,Bs都正定時(shí)，可以分別做滿秩線性替換X=P1Y，X=P2Y，使得

不妨從一開始就假設(shè)As=Bs=En,也就是說，

A=En+Aas，B=En+Bas.

所以，理論上來說，判斷A,B合同的問題化為了Aas,Bas(正交)合同的問題.而由正規(guī)實(shí)矩陣的結(jié)論，兩個反對稱矩陣(正交)合同當(dāng)且僅當(dāng)特征多項(xiàng)式相同[2].

(iii) 下面這個定理保證了前面提到的應(yīng)用定理3來判斷非對稱矩陣合同的步驟中第一步和第三步總是可以實(shí)施的.

定理4設(shè)A是正定矩陣，B是實(shí)對稱矩陣，則存在可逆矩陣P=[X1,X2,…,Xn]滿足

BXi=λiAXi，

其中λ1,λ2,…,λn是實(shí)數(shù)，且PTAP=En,PTBP=diag(λ1,λ2,…,λn).

證設(shè)A=STS，則

|B-λA|=|A|·|(ST)-1BS-1-λEn|，

因?yàn)閷?shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，得到|B-λA|=0有n個實(shí)根，設(shè)為λ1,λ2,…,λn.對于任一個λi，考慮其對應(yīng)的線性方程組(B-λiA)X=0，由實(shí)二次型理論(或者用施密特正交化方法)可以選取一個基礎(chǔ)解系Xi1,Xi2,…,Xik，滿足

而對于兩個不同的λi,λj，任取X,Y分別為線性方程組

(B-λiA)X=0，(B-λjA)X=0

的解，則

λiXTAY=XTBY=YTBX=λjYTAX=λjXTAY=0.

這樣取得的解向量組成矩陣P，即是定理中要求的矩陣.

[參考文獻(xiàn)]

[1]天津大學(xué)數(shù)學(xué)系代數(shù)教研組.線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2010:253-254.

[2]孟道驥.高等代數(shù)與解析幾何(下)[M].北京:科學(xué)出版社,2010.

ConditionsontheCongruenceofNon-symmetricRealMatrices

LI Cheng-bo1，HU Zhi-guang2，ZHAN Hua-ying3

(1.DepartmentofMathematics,SchoolofScience,TianjinUniversity,Tianjin300072China;

2.SchoolofMathematicalScience,TianjinNormalUniversity,Tianjin300387,China;

3.DepartmentofMathematics,SchoolofScience,TianjinUniversityofTechnology,Tianjin300384,China)

Abstract:InthescopeofknowledgeofengineeringLinearAlgebracourses,asufficientconditionisgiventodeterminethecongruenceofaclassofnon-symmetricrealmatricesandanconcreteexampleisalsogiven;ThisresearchprovidesananswertoaquestionforengineeringundergraduateswhentheystudythetheoryofcongruenceofmatricesandcanbetakenasareasonableadditionalmaterialfortheLinearAlgebrateachinginengineeringuniversities.

Keywords:non-symmetricrealmatrices;congruence;positivedefiniterealmatrices;diagonalization

[中圖分類號]O13

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)04-0079-04