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    基于超網(wǎng)絡(luò)視角對(duì)上海軌道交通網(wǎng)絡(luò)的研究

    2015-12-20 08:40:26郭進(jìn)利上海理工大學(xué)上海200093
    物流科技 2015年4期
    關(guān)鍵詞:超度鄰接矩陣頂點(diǎn)

    孫 琳,郭進(jìn)利 (上海理工大學(xué),上海200093)

    SUN Lin, GUO Jin-li (University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

    0 引 言

    18 世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉對(duì)七橋問題的建模和分析開創(chuàng)了數(shù)學(xué)中圖論這一分支,此后就有很多學(xué)者利用圖論和復(fù)雜網(wǎng)來(lái)研究實(shí)際問題,來(lái)分析網(wǎng)絡(luò)中存在的問題。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于對(duì)軌道交通的研究更成為熱點(diǎn)問題,惠偉等[1]采用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)以上海和北京公交線路為例通過計(jì)算復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)特征值顯示北京和上海的公交網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性。Latora 等[2]用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)對(duì)波士頓地鐵的網(wǎng)絡(luò)特性進(jìn)行初探。汪濤[3]等對(duì)北京、上海、廣州三個(gè)城市地鐵網(wǎng)絡(luò)特征進(jìn)行比較。楊楊[4]等對(duì)北京公共交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模實(shí)證分析和對(duì)蓄意攻擊做了有效的分析,有些學(xué)者對(duì)上海地鐵當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)和規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)做了特性分析,得出重要節(jié)點(diǎn)不斷向外部轉(zhuǎn)移。以前的研究方式多限于研究節(jié)點(diǎn)與邊同質(zhì)的網(wǎng)絡(luò),無(wú)法完全刻畫現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性的特征,如生態(tài)網(wǎng)絡(luò)和電力網(wǎng)絡(luò),前者節(jié)點(diǎn)不同質(zhì),后者邊不同質(zhì)。隨著交通網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展,出現(xiàn)了鐵路網(wǎng)、公路網(wǎng)、航空網(wǎng)等許多復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò),這些網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)和邊的數(shù)量眾多,結(jié)構(gòu)復(fù)雜,我們已經(jīng)不能用傳統(tǒng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)去研究軌道交通網(wǎng)絡(luò)。

    超網(wǎng)絡(luò)也是一種特殊的復(fù)雜網(wǎng)網(wǎng)絡(luò),它既可完美刻畫現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)特征,本身又為綜合網(wǎng)絡(luò),故超網(wǎng)絡(luò)研究必將成為網(wǎng)絡(luò)研究新潮流。大量學(xué)者對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究,有些人擺脫了還原論的局限性,開始研究網(wǎng)絡(luò)與網(wǎng)絡(luò)之間的影響,超網(wǎng)絡(luò)概念就被提出。對(duì)超網(wǎng)絡(luò)的研究不僅有實(shí)際意義,也為研究系統(tǒng)的復(fù)雜性提出一種新的想法。最早使用超網(wǎng)絡(luò)概念與運(yùn)輸系統(tǒng)的是Y.Sheffi[5],而美國(guó)科學(xué)家A. Nagurney[6]在處理上述交織的網(wǎng)絡(luò),把高于而又超于現(xiàn)存網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)稱為超網(wǎng)絡(luò),使超網(wǎng)絡(luò)的定義開始明確。后來(lái)Berge[7-8]在1970 年提出了什么是超圖的概念,并描述了無(wú)向超圖理論,隨后研究者對(duì)超圖的超回路、著色和t-設(shè)計(jì)[9]等問題進(jìn)行研究。21 世紀(jì),大量研究者將超圖理論以超網(wǎng)絡(luò)的形式用于現(xiàn)實(shí)問題研究,如Bretto[10]用超網(wǎng)絡(luò)于研究圖像的處理,李曉強(qiáng)[11]用超網(wǎng)絡(luò)對(duì)基于變分不等式的電子商務(wù)進(jìn)行研究,Wang Z P[12]等用超網(wǎng)絡(luò)來(lái)研究供應(yīng)鏈,并且構(gòu)建由兩個(gè)制造商、兩個(gè)分銷商和兩個(gè)需求市場(chǎng)組成的供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)模型從而解決了各層次多標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化的問題。

    基于軌道交通網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性,本文從超網(wǎng)絡(luò)視角對(duì)上海軌道交通進(jìn)行研究,得到用超網(wǎng)絡(luò)的度分布和聚類系數(shù),分析軌道交通網(wǎng)絡(luò)的特性,并提出一些規(guī)劃建議。

    1 超網(wǎng)絡(luò)的定義

    目前對(duì)超網(wǎng)絡(luò)的研究還處于起步階段,有一些概念還沒有得到公認(rèn)。但是已經(jīng)有人從不同的視角來(lái)定義超網(wǎng)絡(luò)。目前對(duì)超網(wǎng)絡(luò)的定義有兩種。

    1.1 H. Frank 等在文獻(xiàn)[13]中給出的定義

    超網(wǎng)絡(luò)里的節(jié)點(diǎn)表示給定集合的網(wǎng)絡(luò),而邊和弧表示在給定集合中的結(jié)合移動(dòng)和結(jié)合偏好,超網(wǎng)絡(luò)唯一地表示由規(guī)則支配的所有結(jié)合移動(dòng)和偏好。

    1.2 用超圖來(lái)定義超網(wǎng)絡(luò)

    超圖[14]定義:設(shè)V={v1,v2,…,vn}是一個(gè)有限集。若:(1)

    則稱二元關(guān)系H=(E,V)為一個(gè)超圖。V的元素v1,v2,…,vn稱為超圖頂點(diǎn),E={e1,e2,e3,…,en}是超圖的邊集合,集合e的元素eI={Vi1,Vi2,…,Vij}(i=1,2,3,…,m)稱為超圖的邊。如果兩個(gè)頂點(diǎn)屬于同一條超邊,則稱這兩個(gè)頂點(diǎn)鄰接;如果兩條超邊的交集不空,稱為兩條超邊鄰接。如果一個(gè)超圖H的任意兩條超邊至多有一個(gè)公共點(diǎn),則稱H為簡(jiǎn)單超圖。

    1.3 超網(wǎng)絡(luò)相關(guān)定義

    1.3.1 關(guān)聯(lián)矩陣[14]定義

    一個(gè)圖G= V,()E的關(guān)聯(lián)矩陣B滿足下面條件:(1)B的每一行與G的頂點(diǎn)相關(guān); (2)B的每一列與G的邊相關(guān)聯(lián);(3) 如果第j個(gè)邊與第i個(gè)頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián),那么bij=1。

    有n個(gè)頂點(diǎn)的聯(lián)通圖G的關(guān)聯(lián)矩陣的秩是n-1。在上海軌道交通中,每一行與軌道交通站點(diǎn)有關(guān),每一列與軌道交通線路有關(guān),如果行中的站點(diǎn)在列中的線路中則在關(guān)聯(lián)矩陣中寫1 否則寫0。

    1.3.2 鄰接矩陣[14]

    一個(gè)圖G= V,()E的鄰域矩陣S,滿足下列條件:(1)S的每一行與G的頂點(diǎn)相關(guān);(2)S的每一列與G的頂點(diǎn)相關(guān);(3) 如果頂點(diǎn)vi與vj之間存在一個(gè)關(guān)系,即存在一個(gè)弧,鏈接著頂點(diǎn)vi與vj,那么sij=1;存在兩個(gè)弧sij=2;否則,sij=0。

    在上海軌道交通超網(wǎng)絡(luò)中,鄰接矩陣的每行和每列都與站點(diǎn)有關(guān),在站點(diǎn)與站點(diǎn)之間由地鐵形成的線路相連,當(dāng)行中的站點(diǎn)與列中的站點(diǎn)在同一條線(一條弧) 中,則Aij=1。當(dāng)行中站點(diǎn)與列中站點(diǎn)在共同的兩條線路(兩條弧) 中則Aij=2,如果兩個(gè)站點(diǎn)沒有在共同的線路中,則Aij=0。上海軌道交通的鄰接矩陣A如下。

    當(dāng)A22=0 表示兩個(gè)站點(diǎn)是同一個(gè)站點(diǎn);

    當(dāng)A23=2 表示第2 個(gè)站點(diǎn)和第3 個(gè)站點(diǎn)有兩條共有的線路;

    當(dāng)A2811=0 表明第281 個(gè)站點(diǎn)和第1 個(gè)站點(diǎn)沒有在共同的線路中。

    2 超網(wǎng)絡(luò)度

    對(duì)上海軌道交通286 個(gè)站點(diǎn)14 條線路進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到其度分布。

    2.1 節(jié)點(diǎn)度

    節(jié)點(diǎn)度[15](Node Hyperdegrees) 節(jié)點(diǎn)連接的頂點(diǎn)數(shù)計(jì)為d()i,在軌道交通網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)是每個(gè)站點(diǎn),超邊是每條地鐵線路,節(jié)點(diǎn)度描述的是一個(gè)站點(diǎn)與其他站點(diǎn)的連接程度。上海市軌道交通超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度分布和累計(jì)度分布如圖1、圖2 所示。

    由圖1 可以看出節(jié)點(diǎn)度大部分在20 到40 之間,說明上海軌道交通網(wǎng)絡(luò)站點(diǎn)之間的連通程度還是很小,可以計(jì)算出上海軌道交通所有節(jié)點(diǎn)度的平均值為31.51049,可以參考這個(gè)數(shù)值對(duì)包含站點(diǎn)少的線路進(jìn)行調(diào)整和改造。由圖2y=2.1408e-0.0577x可知節(jié)點(diǎn)度的累計(jì)分布符合指數(shù)分布。

    2.2 節(jié)點(diǎn)超度

    節(jié)點(diǎn)超度[15](Node Hyperdegrees) 節(jié)點(diǎn)的超度定義為包含該節(jié)點(diǎn)的超邊個(gè)數(shù), 記為dH()i。在軌道交通網(wǎng)絡(luò)中,每個(gè)站點(diǎn)是節(jié)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)超度指的是有多少條超邊經(jīng)過同個(gè)站點(diǎn)。上海市軌道交通超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)超度的分布和累計(jì)超度分布如圖3、圖4 所示。

    由圖3 可知,軌道交通網(wǎng)大部分站點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)超度值為1,占整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的80%以上,表明大部分站點(diǎn)只有一條軌交線路經(jīng)過。經(jīng)計(jì)算,該網(wǎng)絡(luò)的平均節(jié)點(diǎn)超度為1.188811,說明可換成的站點(diǎn)還是比較少。圖4 雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中對(duì)散點(diǎn)圖的擬合表明,節(jié)點(diǎn)度的累計(jì)概率分布p(k)服從冪律分布。網(wǎng)絡(luò)的擬合結(jié)果為y=1.3885x-3.8216,可見從節(jié)點(diǎn)超度分析可得上海軌道交通網(wǎng)絡(luò)具有無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特性。

    計(jì)算軌道交通超網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)超度和節(jié)點(diǎn)度按照節(jié)點(diǎn)超度的前11 個(gè)站點(diǎn)列表如表1 所示。

    從表1 可知,按節(jié)點(diǎn)超度從大到小排列,前11 個(gè)站點(diǎn)相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)度如表1 所示。經(jīng)統(tǒng)計(jì),節(jié)點(diǎn)度和節(jié)點(diǎn)超度排名前10 的站點(diǎn)相同,金沙江站節(jié)點(diǎn)超度是第11,但節(jié)點(diǎn)度不是排名前11,說明13 號(hào)線路可以增加站點(diǎn)。由表1 可知前10 個(gè)站點(diǎn)節(jié)點(diǎn)度和節(jié)點(diǎn)超度都很大,所以這幾個(gè)站點(diǎn)是上海軌道交通的重要站點(diǎn),應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)這幾個(gè)站點(diǎn)的保護(hù),從而使整個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)高效率運(yùn)行。

    圖1 軌道交通超網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度分布

    圖2 軌道交通超網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度的累計(jì)概率分布

    圖3 超網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)超度的概率分布

    圖4 超網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)超度的累計(jì)概率分布

    表1 站點(diǎn)節(jié)點(diǎn)度和節(jié)點(diǎn)超度對(duì)比表

    2.3 邊超度

    邊超度[15](Hyperedge Degrees) 如果兩條超邊有相同節(jié)點(diǎn),則這兩條超邊通過該節(jié)點(diǎn)相連。邊超度為與該超邊相連的其它超邊的數(shù)。上海市軌道交通超網(wǎng)絡(luò)的邊超度的分布和累計(jì)超度分布如圖5、圖6 所示。

    由圖5 可知邊超度是9 的線路占的比例最大,其次是邊超度為7 的線路。說明有些線路與其他線路之間的聯(lián)系很少,比如5 號(hào)線和16 號(hào)線。像邊超度比較小的線路可以成為以后規(guī)劃的重點(diǎn)線路。經(jīng)計(jì)算網(wǎng)絡(luò)的平均邊超度為6.571429,可以看出邊與邊之間的聯(lián)系還比較少,對(duì)小于平均邊超度的線路應(yīng)進(jìn)行調(diào)整和改造。對(duì)于邊超度較大的線路進(jìn)行重點(diǎn)保護(hù),以免被蓄意攻擊,導(dǎo)致整個(gè)交通的癱瘓。

    3 軌道交通超網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)

    H=(V,E)表示一個(gè)簡(jiǎn)單超圖,節(jié)點(diǎn)集V={v1,v2,…,vN},超邊集E={E1,E2,…,Em},鄰接矩陣A(H)是對(duì)稱方陣,元素aij為連接節(jié)點(diǎn)vi和vj的超邊條數(shù),主對(duì)角線上的元素為零。假設(shè)H是有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)單超圖,它的鄰接矩陣A是一個(gè)是對(duì)稱矩陣,因此存在一個(gè)正交矩陣U=uij,使得A=UDUT,其中:D=diag(λ1,λ2,…,λn),U的列向量是與A的特征值相對(duì)應(yīng)的正交向量。

    設(shè)vi和vj是超圖H的兩個(gè)節(jié)點(diǎn),A是H的鄰接矩陣,那么H中長(zhǎng)度為k的從vi到vj的路徑(對(duì)應(yīng)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),也稱為vi-vj鏈) 的個(gè)數(shù)就可以用矩陣Ak第i行第j列的元素值來(lái)表示。

    圖5 邊超度的概率分布

    圖6 邊超度的累計(jì)概率分布

    H中長(zhǎng)度為k的vi-vj鏈的條數(shù)為因此,H中長(zhǎng)度為k的所有鏈的條數(shù)為:

    H中從vi開始最后又回到vi的長(zhǎng)度為k的閉合鏈的條數(shù)則由給出,是Ak的第i個(gè)對(duì)角線元素的值:

    那么H中長(zhǎng)度為K的閉合鏈的總條數(shù)就是:

    聚類系數(shù)的理論來(lái)源是社會(huì)學(xué)文獻(xiàn)中的傳遞系數(shù):

    其中分子中的6 表示一個(gè)三角形可以形成6 條長(zhǎng)度為2 的路徑,從而保證當(dāng)圖KN是完全連通圖時(shí)C2(G)=1。由于上面的結(jié)論只適合沒有重邊的簡(jiǎn)單圖,因此當(dāng)所研究的網(wǎng)絡(luò)中有重邊時(shí)就將其化為簡(jiǎn)單圖再計(jì)算聚類系數(shù),所以將(4) 式推廣到超網(wǎng)絡(luò)中可以得到超網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)[16]如下:

    其中超三角形是由三個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)和三條不同的超邊組成的一個(gè)序列其中這三個(gè)點(diǎn)彼此相連而長(zhǎng)度為2 的路徑則形如vi,Ep,vj,Eq,vk的序列。

    我們可以用長(zhǎng)度為3 的閉合鏈的個(gè)數(shù)來(lái)計(jì)算超網(wǎng)絡(luò)中超三角形的個(gè)數(shù),但是必須減去不能形成超三角形的長(zhǎng)度為3 的閉合鏈(假超三角形) 的個(gè)數(shù)。

    假超三角形形成的原理:假超三角形三個(gè)頂點(diǎn)在同一條超邊里。所有三條邊都是同一條超邊Ei的假超三角形個(gè)數(shù)為ti其中為超邊Ei1,Ei2,…,Eij交的基數(shù)用ai1,ai2,…,aij表示。因此假超三角形個(gè)數(shù):

    同理在計(jì)算長(zhǎng)度為2 的路徑時(shí),需要計(jì)算兩個(gè)節(jié)點(diǎn)在同一條超邊Ei的長(zhǎng)度為2 的假的路徑數(shù),p=6t所以超網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)由(1)、(3)、(5)、(6) 式可以得:

    整理上式可得:

    在地鐵網(wǎng)絡(luò)中超網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣是286 行286 列的矩陣,由鄰接矩陣A通過Matlab 編程計(jì)算可以得到正交矩陣u=u286,286和其相對(duì)應(yīng)的特征值和特征向量,從而得到:

    把式(9)、(10)、(11)、(12) 代入公式(8) 中可以得到:

    式(13) 中C2(H)為整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù),可以反映整個(gè)超網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的緊密性網(wǎng)絡(luò)的聚類一般在[0,1]之間,相對(duì)于中間值0.5 是比較小的,另外我們用超網(wǎng)絡(luò)來(lái)計(jì)算2020 地鐵規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)得到0.4763668932,相對(duì)來(lái)說目前網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)比較小,表明目前網(wǎng)絡(luò)的密集度比較差,這也與我國(guó)軌道交通建設(shè)處于初級(jí)階段的情況相符。還需要更多的發(fā)展過程。

    4 結(jié)論和展望

    基于超網(wǎng)絡(luò)方法研究上海市軌道交通網(wǎng)絡(luò),通過分析和研究得到以下結(jié)論:

    (1) 從節(jié)點(diǎn)度分布和節(jié)點(diǎn)超度分布可以看出,上海軌道交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)超度為前10 的站點(diǎn),節(jié)點(diǎn)度的大小也是前10,從超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度和節(jié)點(diǎn)超度都可以得到世紀(jì)大道、東方體育館、曹楊路、徐家匯、鎮(zhèn)平路、人民廣場(chǎng)、虹橋路、金沙江路、中山公園、宜山路站點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)度和節(jié)點(diǎn)超度都很大,說明這幾個(gè)站點(diǎn)是關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。但是兩種度的值又不是相同的。其中節(jié)點(diǎn)超度的累計(jì)度分布跟復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的累計(jì)度分布都符合冪律分布。節(jié)點(diǎn)超度度大的站點(diǎn)是關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),如果對(duì)度大的這些站點(diǎn)進(jìn)行蓄意攻擊,整個(gè)網(wǎng)絡(luò)會(huì)癱瘓。目前對(duì)超網(wǎng)絡(luò)的蓄意攻擊還沒有深入的研究,在后續(xù)的文章中會(huì)對(duì)超網(wǎng)絡(luò)的蓄意攻擊做出解釋。

    (2) 從邊超度分布可以看出1、2、4、8、11 號(hào)線邊超度較大,應(yīng)重點(diǎn)保護(hù)這幾條線,保證這幾條線路的可靠性。對(duì)于邊超度較小的線路應(yīng)該進(jìn)行改造和擴(kuò)展,來(lái)使整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的輻射半徑增大。

    (3) 從聚類系數(shù)可以看出目前上海軌道交通的密集程度比較小,隨著城鎮(zhèn)人口的增加應(yīng)加強(qiáng)對(duì)我國(guó)軌道交通的建設(shè)。

    用超網(wǎng)絡(luò)研究軌道交通還處于起步階段,對(duì)于一些超網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)特征還沒有確切的定義。隨著線路的增加用超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)超度來(lái)研究交通網(wǎng)絡(luò)更加方便??梢詫⒊W(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于全國(guó)鐵路網(wǎng)絡(luò),同樣比用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來(lái)研究全國(guó)鐵路網(wǎng)絡(luò)方便。當(dāng)然也可以用超網(wǎng)絡(luò)來(lái)研究公交網(wǎng)絡(luò)甚至航空網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于公交和地鐵網(wǎng)絡(luò)的換乘也提供了很好的思路。

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